МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2009
УДК 539.3
© 2009 г. В.В. КЛИНДУХОВ
ВДАВЛИВАНИЕ ГЛАДКОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ШТАМПА В ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЙ СЛОЙ
Рассматривается осесимметричная контактная задача для трансверсаль-но-изотропного слоя на жестком основания. Задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода относительно контактного давления под штампом. Решение интегрального уравнения ищется методом кол-локации [1]. Приводятся некоторые численные результаты.
Ключевые слова: контактная задача, трансверсально-изотропный слой, интегральное уравнение, напряжения, деформации.
1. Задача о равновесии трансверсально-изотропного слоя под действием осесиммет-ричной нагрузки. Рассмотрим упругий слой толщины к, грани которого параллельны плоскостям изотропии слоя. Нижняя грань слоя либо свободно лежит на подстилающем его полупространстве (задача А), либо жестко соединена с ним (задача В). Пусть на верхней грани слоя по площади некоторого круга радиуса а распределена нормальная осесимметричная нагрузка д(г) (фиг.1).
Граничные условия для задачи А будут иметь вид
ы = 0, тгг = 0, при г = 0 (1.1)
тгг = 0, стг = -д( г) при г = Н (1.2)
а для задачи В:
и = 0, ы = 0 при г = 0 (1.3)
тгг = 0, стг = -д( г) при г = Н (1.4)
7 (г) = д(г) (г < а) и д (г) = 0 (г > а)
Воспользовавшись уравнениями обобщенного закона Гука [2]: бг = (аг - уст^)/Е - V!ст/Е1
6<Р = (стр - VСтг)/Е- ^Стг/Е1, ег = СТУЕ- V1(стг + стр)/Е1 (1.5)
1гг = тгг/^1, Угр = тгр/ @, Угр =
соотношениями Коши для деформаций
ди и ды ди ды ,,
бг = —, б„ = -, бг = —, угг =--\----(1.6)
д г г дг д г дг
и уравнениями равновесия в цилиндрической системе координат г, ф, г:
4* 99
Фиг. 1
даг дтгг аг - а,
дг д г
дт*+да+Ъ = о
дг д г г
- = 0
(1.7)
относительно перемещении и и м> по осям г и г, получим два уравнения:
Т2 , ^ д и , , , п ..д w п ахЬ и + в!— + (аз + Ох)—— = 0
дг2 дгдг
О1 Ь1^ + а4—- + (а3 + О1) —1и = 0
дг2 дг
(1.8)
Здесь ег, Ег, Бф, и стф, тгг — ненулевые компоненты деформации и напряжении в
~ 2 ~
цилиндрической системе координат. Дифференциальные операторы Ь , Ь2, I имеют вид
ь2 = <0- +ь2 = <0- + -1, 7 = д + -
г
- гдг
г
2 г г г2
г г
(1.9)
Константы а1, а2, а3, а4 связаны с упругими постоянными слоя соотношениями: а1 = Е(Е1 - v12E)/Б, а2 = Е(\Е1 + \\И)/Б, а3 = ЕЕ1V!(1 + V)/Б а4 = Е-(1 - V2)/Б, Б = Е1 (1 - V-) - 2Ev-(1 + V)
(1.10)
Перемещения и и ю, входящие в уравнения (1.8), можно выразить через одну функцию х, удовлетворяющую уравнению
в1 Ь^аЬ + О^Х + а4~2(аЬ + О^Х - (а3 + О,)^Ь2х = 0 (1.11)
дг дг дг дг
и представить в виде
■>2 / „2-,
и = -(а з + О, )д-3-, ы = -(а1Ь2 + О^х (1.12)
дгдг у дг
Полученные таким образом две краевые задачи для упругого трансверсально-изо-тропного слоя толщины к (0 < г< к) — задача А (1.1), (1.2), (1.11), (1.12) и задача В (1.3), (1.4), (1.11), (1.12) — могут быть решены с помощью интегрального преобразования Ханкеля
да
Х( г, г) = |х(а, г )а/0(а г) йа (1.13)
0
где J0(x) — функция Бесселя. После подстановки (1.13) в уравнение (1.11) получим относительно функции Х(а, г) обыкновенное дифференциальное уравнение, из которого найдем и саму функцию Х(а, г):
(1.14)
Х(а, z) = C1 (а) sh (к 1 az) + C2 (а) sh (к 2 а z) + + С3(а) ch (кзаz) + C4 (а) ch (к4az) Константы к (i = 1, ..., 4) удовлетворяют уравнению
к4 - 2Aк2 + B = 0 (1.15)
Рассмотрим случай Л2 — B > 0. Тогда
к1 = л/a + JA^-B, к2 = J A - JA^-B
2
a1a4 - 2a3G1 - a3 n a1 к3 = -к1, к4 = -к2, A = 4-—--3, B = —
2 a4G1 a4
(1.16)
Записав граничные условия задач А (1.1), (1.2) или В (1.3), (1.4) в трансформантах Ханкеля, получим систему линейных уравнений для определения функций С,(а) (, = 1, ..., 4) (различных для задач А и В). Определив С,(а), для нормального перемещения верхней грани слоя получим выражение
a да
w( r'h) =- hi !^(р)р dp \L (и) Jo (Цт) Jo (иг)du
0
(1.17)
0 = -- E , л = E
(к + к2)л/(л - Vl2)( 1 - V2) E
Функция L(u) зависит от механических характеристик слоя и условий контакта слоя с полупространством, является непрерывной при всех 0 < u < да и для обеих задач обладает следующими свойствами:
L(и) = 1 + O(е~2u) (и ^ да), L(и) = ки + O(и3) (и ^ 0, к = const) (1.18)
0
2. Постановка контактной задачи. Пусть жесткий гладкий штамп вдавливается силой P в трансверсально—изотропный слой, лежащий на жестком основании. Условия контакта штампа с поверхностью слоя имеет вид
Н!(г, к) = - 5 + /(г) (0 < г < а) (2.1)
где 8 — поступательное перемещение штампа по оси z под действием вдавливающей силы P; f(г) — функция, описывающая форму основания штампа. Заменив вторые граничные условия в (1.1) и (1.3) условием (2.1), получим две краевые (контактные) задачи со смешанными граничными условиями: контактную задачу A (2.1) (1.1), (1.2), (1.11), (1.12) и контактную задачу B (2.1) (1.3), (1.4), (1.11), (1.12).
Подставив в условие контакта (2.1) вместо w(r, к) выражение (1.17), получим интегральное уравнение первого рода с симметричным ядром относительно неизвестного контактного давления д(г):
а
^ ]9(р)к(р, к) pdp = - 5 + /(г) (0 < г < а)
0 (2.2)
ТО
К(х, у) = ^Ь(и)/0(хи)/0(уи)йи
0
К уравнению (2.2) необходимо добавить условие равновесия штампа
а
Р = 2 (р)р йр (2.3)
0
дающее связь между вдавливающей силой Р и внедрением штампа 8. Если радиус области контакта а неизвестен, его можно определить из условия
9 (а) = 0 (2.4)
3. Метод решения. Интегральное уравнение первого рода (2.2) может быть сведено [3, 4] к следующему интегральному уравнению второго рода с разностным ядром:
а
Р(х) - пр ¡Р(£)М^ ^ = Qg(x) (-а < х < а)
-а то
(3.1)
М(у) = |[ 1 - Ь( и)] ео8 ( иу) йи
0
причем функциир(х) и g(x) четные и связаны с функциями д(г) и 8(г) = 8 — f (г) соотношениями
9(г) = 2 п
- Гр^- , ц{х) = 5(0) + |х| Г5
/2 2 J Пл 2 J /
Vа - г г V \ - г -I 0 ы-
|х|
5'(р ) йр (32)
2 2 0 л/ х - р
Решение интегрального уравнения (3.1) будем искать модифицированным методом Мультоппа—Каландия [1, 5]. Введя следующие безразмерные переменные и функции:
х = х, £ = £, Ф(Х) = рЛох-} , ^) = ^, X = Н
а а 0а а а
запишем уравнение (3.1) следующим образом 1
(3.3)
Ф(Х) -2П_ IФ(£)
+ М
= у(х) (-1 < X < 1)
(3.4)
-1
Здесь и далее штрихи у х и ^ для простоты записи опущены.
Построим для функции ф(х) четный интерполяционный полином Лагранжа по узлам полинома Лежандра Рш + :(х). Такой полином имеет вид
N
ф(х) ^ Ф(0) P2N + 1(х) + 2 у ф(хп) хР2N + 1 (х )
ХР'Ш+ 1 (0) У1 (х2 - х„2)Р^+ 1 (Х„) (P2N +1 (хп) = 0; п = 0, 1, N Х0 = 0)
(3.5)
Разделив выражение хР2М + :(х) — хпР2М + :(хп) на х2 — хп , формулу (3.5) можно представить в виде
N
Ф(X)* у Р21(X)
I = 0
ф (0)
N
2N + 1
( 0)
а + ^ Ф (Хп) а аю + 2 у „, - Ла1,
Р2 N + 1(Хп )
=1
(3.6)
Значения коэффициентов апп определяются из равенств
N
хР2N + 1(х) - XnP2N + 1 (хп )
22 х хп
= у ащРц (х)
(3.7)
I = 0
Пользуясь ортогональностью полиномов Лежандра, на основании (3.6) можно получить следующую квадратурную формулу типа Гаусса по узлам полинома Лежандра
I Ф(£) ^
N
а00 + 2 У -^^хп^а0
Р2 N + 1( 0 ) 00 УР2 N + 1 (хп ) 0
п=1
(3.8)
Вычисляя с помощью (3.8) приближенно интеграл в (3.4) и полагая затем в полученном соотношении х = хт(Р2М + :(хт) = 0), получим относительно значений функции ф(х) в точках хт (т = 0, 1, ..., N систему алгебраических уравнений:
Ф( х-) - ^ -!) + М|)
N
+ 2 у Ф (хп) а0п
, Р2 N + 1(хп )
п=1
(3.9)
= У(х-)
2
п
+
После решения этой системы для функции p(x), связанной с ф(х) соотношением (3.3) и являющейся приближенным решением интегрального уравнения (3.1), получим следующее выражение
N Г\
p (x) = 0 a у a,P2i (JJ (3.10)
i = 0
Коэффициенты a¡, как следует из (3.3), (3.8), примут вид
= Ф(0) йю + 2 У -^Xni_a, (3.11)
i P2N + 1 (0) i0 У P2N +1 (x„) in ( )
n = 1
Подставляя (3.10) в первую формулу (3.2), найдем для функции q(r) следующее выражение
да í i -1
q (г) = ^ У - í- У (-1)i - m -1 х
я ¿-1 I / 2 2 a ^
i = 0 Wa - Г m = 0
(3.12)
х (4 i - 4 m - 1 ) ( 2i - 2 m - 2 )!! p ( X ( 2 i - 2 m - 1) !! 2i - 2 m -1
позволяющее получить приближенное выражение для контактного давления, когда найдено приближенное решение алгебраической системы (3.9).
Условие равновесия штампа (2.3) с учетом ортогональности полиномов Лежандра примет вид
2
P = 40a a0 (3.13)
Условие (2.4), служащее для определения радиуса области контакта, с учетом (3.12) оказывается эквивалентно условию
да
У ai = 0 (3.14)
i = 0
4. Численные результаты. В качестве примера рассмотрен случай внедрения параболического штампа (8(r) = 8 — r2/(2R), R — радиус кривизны штампа в вершине, радиус a области контакта заранее неизвестен). На фиг. 2—3 представлены графики изменения по оси z при r = 0 радиальных <зг (кривая 1) и трансверсальных az (кривая 2) компонент тензора напряжений. Очевидно, Trz = 0 на оси z, поэтому напряжения а„ az являются главными. Кроме того = ar на оси z и эффективное напряжение
сте = ÜJ(a - a)2 + (a2 - a)2 + (^3 - Ст1)2 (4.1)
будет иметь вид
ae = |стг - aj (4.2)
(кривая 3). Фиг. 2 соответствует задаче A, а фиг. 3 соответствует задаче B. Расчеты проведены при следующих параметрах: E = 6.21 ■ 105 кг/см2, E1 = 4.14 ■ 105 кг/см2, G = 2.41 ■ 105 кг/см2, Gx = 1.18 ■ 105 кг/см2, v = 0.29, v: = 0.2. Для сравнения приведены
ф
0.5
z/h
0.5
0 0.72 а/&
Фиг. 3
соответствующие кривые для изотропного материала при тех же значениях вдавливающей силы P и упругими константами E1 = 4.14 ■ 105 кг/см2 и V = 0.29 (штриховые кривые).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05-01-00002а) и АВЦП Минобрнауки (проект 2.1.1/6827).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. 303 с.
2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.
3. УфляндЯ.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967. 402 с.
4. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Факториал, 1998. 288 с.
5. Александров В.М., Клиндухов В.В. Контактные задачи в для двухслойного упругого основания с неидеальной механ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.