научная статья по теме ВДАВЛИВАНИЕ ГЛАДКОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ШТАМПА В ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЙ СЛОЙ Механика

Текст научной статьи на тему «ВДАВЛИВАНИЕ ГЛАДКОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ШТАМПА В ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЙ СЛОЙ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2009

УДК 539.3

© 2009 г. В.В. КЛИНДУХОВ

ВДАВЛИВАНИЕ ГЛАДКОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ШТАМПА В ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЙ СЛОЙ

Рассматривается осесимметричная контактная задача для трансверсаль-но-изотропного слоя на жестком основания. Задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода относительно контактного давления под штампом. Решение интегрального уравнения ищется методом кол-локации [1]. Приводятся некоторые численные результаты.

Ключевые слова: контактная задача, трансверсально-изотропный слой, интегральное уравнение, напряжения, деформации.

1. Задача о равновесии трансверсально-изотропного слоя под действием осесиммет-ричной нагрузки. Рассмотрим упругий слой толщины к, грани которого параллельны плоскостям изотропии слоя. Нижняя грань слоя либо свободно лежит на подстилающем его полупространстве (задача А), либо жестко соединена с ним (задача В). Пусть на верхней грани слоя по площади некоторого круга радиуса а распределена нормальная осесимметричная нагрузка д(г) (фиг.1).

Граничные условия для задачи А будут иметь вид

ы = 0, тгг = 0, при г = 0 (1.1)

тгг = 0, стг = -д( г) при г = Н (1.2)

а для задачи В:

и = 0, ы = 0 при г = 0 (1.3)

тгг = 0, стг = -д( г) при г = Н (1.4)

7 (г) = д(г) (г < а) и д (г) = 0 (г > а)

Воспользовавшись уравнениями обобщенного закона Гука [2]: бг = (аг - уст^)/Е - V!ст/Е1

6<Р = (стр - VСтг)/Е- ^Стг/Е1, ег = СТУЕ- V1(стг + стр)/Е1 (1.5)

1гг = тгг/^1, Угр = тгр/ @, Угр =

соотношениями Коши для деформаций

ди и ды ди ды ,,

бг = —, б„ = -, бг = —, угг =--\----(1.6)

д г г дг д г дг

и уравнениями равновесия в цилиндрической системе координат г, ф, г:

4* 99

Фиг. 1

даг дтгг аг - а,

дг д г

дт*+да+Ъ = о

дг д г г

- = 0

(1.7)

относительно перемещении и и м> по осям г и г, получим два уравнения:

Т2 , ^ д и , , , п ..д w п ахЬ и + в!— + (аз + Ох)—— = 0

дг2 дгдг

О1 Ь1^ + а4—- + (а3 + О1) —1и = 0

дг2 дг

(1.8)

Здесь ег, Ег, Бф, и стф, тгг — ненулевые компоненты деформации и напряжении в

~ 2 ~

цилиндрической системе координат. Дифференциальные операторы Ь , Ь2, I имеют вид

ь2 = <0- +ь2 = <0- + -1, 7 = д + -

г

- гдг

г

2 г г г2

г г

(1.9)

Константы а1, а2, а3, а4 связаны с упругими постоянными слоя соотношениями: а1 = Е(Е1 - v12E)/Б, а2 = Е(\Е1 + \\И)/Б, а3 = ЕЕ1V!(1 + V)/Б а4 = Е-(1 - V2)/Б, Б = Е1 (1 - V-) - 2Ev-(1 + V)

(1.10)

Перемещения и и ю, входящие в уравнения (1.8), можно выразить через одну функцию х, удовлетворяющую уравнению

в1 Ь^аЬ + О^Х + а4~2(аЬ + О^Х - (а3 + О,)^Ь2х = 0 (1.11)

дг дг дг дг

и представить в виде

■>2 / „2-,

и = -(а з + О, )д-3-, ы = -(а1Ь2 + О^х (1.12)

дгдг у дг

Полученные таким образом две краевые задачи для упругого трансверсально-изо-тропного слоя толщины к (0 < г< к) — задача А (1.1), (1.2), (1.11), (1.12) и задача В (1.3), (1.4), (1.11), (1.12) — могут быть решены с помощью интегрального преобразования Ханкеля

да

Х( г, г) = |х(а, г )а/0(а г) йа (1.13)

0

где J0(x) — функция Бесселя. После подстановки (1.13) в уравнение (1.11) получим относительно функции Х(а, г) обыкновенное дифференциальное уравнение, из которого найдем и саму функцию Х(а, г):

(1.14)

Х(а, z) = C1 (а) sh (к 1 az) + C2 (а) sh (к 2 а z) + + С3(а) ch (кзаz) + C4 (а) ch (к4az) Константы к (i = 1, ..., 4) удовлетворяют уравнению

к4 - 2Aк2 + B = 0 (1.15)

Рассмотрим случай Л2 — B > 0. Тогда

к1 = л/a + JA^-B, к2 = J A - JA^-B

2

a1a4 - 2a3G1 - a3 n a1 к3 = -к1, к4 = -к2, A = 4-—--3, B = —

2 a4G1 a4

(1.16)

Записав граничные условия задач А (1.1), (1.2) или В (1.3), (1.4) в трансформантах Ханкеля, получим систему линейных уравнений для определения функций С,(а) (, = 1, ..., 4) (различных для задач А и В). Определив С,(а), для нормального перемещения верхней грани слоя получим выражение

a да

w( r'h) =- hi !^(р)р dp \L (и) Jo (Цт) Jo (иг)du

0

(1.17)

0 = -- E , л = E

(к + к2)л/(л - Vl2)( 1 - V2) E

Функция L(u) зависит от механических характеристик слоя и условий контакта слоя с полупространством, является непрерывной при всех 0 < u < да и для обеих задач обладает следующими свойствами:

L(и) = 1 + O(е~2u) (и ^ да), L(и) = ки + O(и3) (и ^ 0, к = const) (1.18)

0

2. Постановка контактной задачи. Пусть жесткий гладкий штамп вдавливается силой P в трансверсально—изотропный слой, лежащий на жестком основании. Условия контакта штампа с поверхностью слоя имеет вид

Н!(г, к) = - 5 + /(г) (0 < г < а) (2.1)

где 8 — поступательное перемещение штампа по оси z под действием вдавливающей силы P; f(г) — функция, описывающая форму основания штампа. Заменив вторые граничные условия в (1.1) и (1.3) условием (2.1), получим две краевые (контактные) задачи со смешанными граничными условиями: контактную задачу A (2.1) (1.1), (1.2), (1.11), (1.12) и контактную задачу B (2.1) (1.3), (1.4), (1.11), (1.12).

Подставив в условие контакта (2.1) вместо w(r, к) выражение (1.17), получим интегральное уравнение первого рода с симметричным ядром относительно неизвестного контактного давления д(г):

а

^ ]9(р)к(р, к) pdp = - 5 + /(г) (0 < г < а)

0 (2.2)

ТО

К(х, у) = ^Ь(и)/0(хи)/0(уи)йи

0

К уравнению (2.2) необходимо добавить условие равновесия штампа

а

Р = 2 (р)р йр (2.3)

0

дающее связь между вдавливающей силой Р и внедрением штампа 8. Если радиус области контакта а неизвестен, его можно определить из условия

9 (а) = 0 (2.4)

3. Метод решения. Интегральное уравнение первого рода (2.2) может быть сведено [3, 4] к следующему интегральному уравнению второго рода с разностным ядром:

а

Р(х) - пр ¡Р(£)М^ ^ = Qg(x) (-а < х < а)

-а то

(3.1)

М(у) = |[ 1 - Ь( и)] ео8 ( иу) йи

0

причем функциир(х) и g(x) четные и связаны с функциями д(г) и 8(г) = 8 — f (г) соотношениями

9(г) = 2 п

- Гр^- , ц{х) = 5(0) + |х| Г5

/2 2 J Пл 2 J /

Vа - г г V \ - г -I 0 ы-

|х|

5'(р ) йр (32)

2 2 0 л/ х - р

Решение интегрального уравнения (3.1) будем искать модифицированным методом Мультоппа—Каландия [1, 5]. Введя следующие безразмерные переменные и функции:

х = х, £ = £, Ф(Х) = рЛох-} , ^) = ^, X = Н

а а 0а а а

запишем уравнение (3.1) следующим образом 1

(3.3)

Ф(Х) -2П_ IФ(£)

+ М

= у(х) (-1 < X < 1)

(3.4)

-1

Здесь и далее штрихи у х и ^ для простоты записи опущены.

Построим для функции ф(х) четный интерполяционный полином Лагранжа по узлам полинома Лежандра Рш + :(х). Такой полином имеет вид

N

ф(х) ^ Ф(0) P2N + 1(х) + 2 у ф(хп) хР2N + 1 (х )

ХР'Ш+ 1 (0) У1 (х2 - х„2)Р^+ 1 (Х„) (P2N +1 (хп) = 0; п = 0, 1, N Х0 = 0)

(3.5)

Разделив выражение хР2М + :(х) — хпР2М + :(хп) на х2 — хп , формулу (3.5) можно представить в виде

N

Ф(X)* у Р21(X)

I = 0

ф (0)

N

2N + 1

( 0)

а + ^ Ф (Хп) а аю + 2 у „, - Ла1,

Р2 N + 1(Хп )

=1

(3.6)

Значения коэффициентов апп определяются из равенств

N

хР2N + 1(х) - XnP2N + 1 (хп )

22 х хп

= у ащРц (х)

(3.7)

I = 0

Пользуясь ортогональностью полиномов Лежандра, на основании (3.6) можно получить следующую квадратурную формулу типа Гаусса по узлам полинома Лежандра

I Ф(£) ^

N

а00 + 2 У -^^хп^а0

Р2 N + 1( 0 ) 00 УР2 N + 1 (хп ) 0

п=1

(3.8)

Вычисляя с помощью (3.8) приближенно интеграл в (3.4) и полагая затем в полученном соотношении х = хт(Р2М + :(хт) = 0), получим относительно значений функции ф(х) в точках хт (т = 0, 1, ..., N систему алгебраических уравнений:

Ф( х-) - ^ -!) + М|)

N

+ 2 у Ф (хп) а0п

, Р2 N + 1(хп )

п=1

(3.9)

= У(х-)

2

п

+

После решения этой системы для функции p(x), связанной с ф(х) соотношением (3.3) и являющейся приближенным решением интегрального уравнения (3.1), получим следующее выражение

N Г\

p (x) = 0 a у a,P2i (JJ (3.10)

i = 0

Коэффициенты a¡, как следует из (3.3), (3.8), примут вид

= Ф(0) йю + 2 У -^Xni_a, (3.11)

i P2N + 1 (0) i0 У P2N +1 (x„) in ( )

n = 1

Подставляя (3.10) в первую формулу (3.2), найдем для функции q(r) следующее выражение

да í i -1

q (г) = ^ У - í- У (-1)i - m -1 х

я ¿-1 I / 2 2 a ^

i = 0 Wa - Г m = 0

(3.12)

х (4 i - 4 m - 1 ) ( 2i - 2 m - 2 )!! p ( X ( 2 i - 2 m - 1) !! 2i - 2 m -1

позволяющее получить приближенное выражение для контактного давления, когда найдено приближенное решение алгебраической системы (3.9).

Условие равновесия штампа (2.3) с учетом ортогональности полиномов Лежандра примет вид

2

P = 40a a0 (3.13)

Условие (2.4), служащее для определения радиуса области контакта, с учетом (3.12) оказывается эквивалентно условию

да

У ai = 0 (3.14)

i = 0

4. Численные результаты. В качестве примера рассмотрен случай внедрения параболического штампа (8(r) = 8 — r2/(2R), R — радиус кривизны штампа в вершине, радиус a области контакта заранее неизвестен). На фиг. 2—3 представлены графики изменения по оси z при r = 0 радиальных <зг (кривая 1) и трансверсальных az (кривая 2) компонент тензора напряжений. Очевидно, Trz = 0 на оси z, поэтому напряжения а„ az являются главными. Кроме того = ar на оси z и эффективное напряжение

сте = ÜJ(a - a)2 + (a2 - a)2 + (^3 - Ст1)2 (4.1)

будет иметь вид

ae = |стг - aj (4.2)

(кривая 3). Фиг. 2 соответствует задаче A, а фиг. 3 соответствует задаче B. Расчеты проведены при следующих параметрах: E = 6.21 ■ 105 кг/см2, E1 = 4.14 ■ 105 кг/см2, G = 2.41 ■ 105 кг/см2, Gx = 1.18 ■ 105 кг/см2, v = 0.29, v: = 0.2. Для сравнения приведены

ф

0.5

z/h

0.5

0 0.72 а/&

Фиг. 3

соответствующие кривые для изотропного материала при тех же значениях вдавливающей силы P и упругими константами E1 = 4.14 ■ 105 кг/см2 и V = 0.29 (штриховые кривые).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05-01-00002а) и АВЦП Минобрнауки (проект 2.1.1/6827).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. 303 с.

2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.

3. УфляндЯ.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967. 402 с.

4. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Факториал, 1998. 288 с.

5. Александров В.М., Клиндухов В.В. Контактные задачи в для двухслойного упругого основания с неидеальной механ

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Механика»