ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2014, № 4, с. 106-111
УДК 550.384.3,519.246.3,519.258
ВЕКОВЫЕ ГЕОМАГНИТНЫЕ ВАРИАЦИИ. МЕТОДЫ СТАТИСТИКИ ПАЛЕОМАГНИТНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ В ОСАДОЧНЫХ ПОРОДАХ
© 2014 г. A. В. Хохлов
Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, г. Москва
E-mail: fbmotion@yandex.ru Поступила в редакцию 16.08.2013 г. После доработки 09.09.2013 г.
Для понимания характера изменчивости в геологическом прошлом магнитного поля Земли требуется математически обоснованный метод проверки статистических гипотез на реальных палеомаг-нитных данных. Как известно, палеомагнитные данные, извлеченные из лавовых потоков, представляют своего рода моментальные фотографии состояний древнего магнитного поля. Будучи весьма фрагментарны во времени и пространстве, они составляют то, что в статистике принято называть выборкой: при тщательном различении лавовых потоков внутренние корреляции в данных отсутствуют. Хорошо известно, что распределения палеомагнитных направлений по осадочным данным отличаются от аналогичных распределений по лавам — это вызвано в первую очередь эффектом осреднения намагниченности за период времени, отвечавший накоплению осадочных слоев в образце. Предполагая известной скорость осадконакопления (для каждого образца), можно указать метод количественной проверки статистической совместимости палеомагнитных данных в осадках и модели вариаций магнитного поля Земли в терминах Большого Гауссовского Процесса. Как оказалось, эффект осреднения вполне может быть учтен на уровне коэффициентов модели БГП и последующая схема тестирования не отличается от схемы тестирования данных, полученных по лавам.
Ключевые слова: главное магнитное поле Земли, палеомагнетизм, вековые вариации, гауссовские случайные процессы, распределения точек на сфере.
DOI: 10.7868/S0002333714040073
ВВЕДЕНИЕ
Пусть задано некоторое модельное описание вековых вариаций магнитного поля Земли в статистических терминах на языке так называемого Большого Гауссовского Процесса (в оригинале Giant Gaussian Process) [Constable, Parker, 1988]. В этих моделях коэффициенты разложения магнитного поля по базису сферических гармоник ведут себя во времени как стационарные гауссовские процессы, и задание конкретной модели сводится к заданию набора математических ожиданий и корреляционных функций для коэффициентов. В предыдущей статье автора [Хохлов, 2012] было показано как работает модель БГП в смысле ее компьютерной реализации: в частности, в любой географической точке возможно получить сколь угодно длинные ряды синтетических данных, которые полностью описываются исходным набором математических ожиданий и корреляционных функций для БГП. Кроме того, автором была обоснована и применена к большой коллекции данных по лавам эпохи Брюнес [Quidelleur et al.,
*ИТПЗ РАН; Грант Министерства Науки и Образования РФ, контракт 14.Z50.31.0017, грант РФФИ 11-05-00601-а и программа фундаментальных исследований ОНЗ РАН № 7 "Геофизические данные: анализ и интерпретация".
1994] схема статистической проверки совместности реальных данных и конкретной модели БГП (см. [КИокЫоу е! а1., 2013]). Эта схема потребовала значительных вычислительных усилий, поэтому автором был написан соответствующий пакет обработки, который (в его текущей версии вместе с пояснениями) можно свободно скачать в Интернете http://geomag.ipgp.fr/down1oad/PSVTTtgz.
Основная идея этой статистической проверки для данных по лавам представлена следующим образом (см., например, [КЪокЫоу е! а1., 2013]):
• Для каждого палеомагнитного образца (с порядковым номером г) рассчитаем предписываемое моделью Констабль—Паркера распределение я,-(и) направлений ^ — точка на на единичной сфере, отвечающая паре "наклонение—склонение") в соответствующей географической точке.
• Внесем необходимые изменения в это распределение направлений, учетом декларированной в терминах а95 ошибки измерения: полученную новую плотность распределения направлений обозначим р.
• Используя плотность р, преобразуем отвечающее образцу направление и{ к паре чисел (р, ) на отрезке [0, 1]: для этого преобразования в англоязычных публикациях был выбран термин
uniformization (выравнивание). Было показано, что совместность данных по направлениям с теоретической плотностью p равносильна совместности преобразованных данных с равномерным в единичном квадрате распределением.
• Применим тест на равномерность точек в единичном квадрате к последовательности пар (Pj, qt). Отклонения от равномерности (если они есть) свидетельствуют о несовместности палео-магнитных данных с моделью БГП. Таким образом можно определить какие именно модели БГП не опровергаются существующими локальными наборами палеомагнитных данных.
• При некоррелированности данных их можно объединять (в заключительном тесте на равномерность) для проверки модели БГП на глобальном или региональном уровнях.
Очевидно, что аналогичная работа с палеодан-ными по осадкам должна включать еще учет эффекта осреднения магнитного поля. Действительно, реализация Большого Гауссовского Процесса задает в каждый момент времени в каждой географической точке вектор магнитного поля, который очевидно меняется во времени. За время накопления слоя осадков достаточного для извлечения образцов, содержащих сведения о палеомагнетизме, поле успевает значимо измениться. Вектор намагниченности образца в силу линейности всей схемы тем самым является осреднением.
Оказывается, что осреднение векторов за некоторое время т >0 задает вектор, который можно представить реализацией другого Большого Гаус-совского Процесса, а именно такого, коэффициенты которого т-осреднены по сравнению с исходным. Детали реализации этой идеи изложены ниже. Необходимо отметить, что для магнетизма осадочных пород помимо эффекта осреднения имеется и ряд других специальных искажающих факторов (например эффект выполаживания "flattening"), их рассмотрение выходит за рамки этой статьи.
Доказательство этой формулы легко проиллюстрировать для случая, когда сам исходный процесс сам был процессом дискретного времени, а
интегрирование
1 d о +т
- I R(t)dt было арифметиче-
т «о
ским усреднением - R ( 10 + — ). Полагая нуле-n ¿—ч=- \ n )
вым мат. ожидание E [R(t)] = 0 процесса, имеем: D (R ) = E
J=i
n n
Л XXcov
n , ,
J=1 i=1
1 s r ('+n)i « ('+n
i=1
R (( + ¿Ejjt (( + ii
n ! \ n
=1 £ £ ^т
Два типа форм корреляционных функций БГП представляют специальный интерес: экспонен-
_ И
циально убывающая функция Ж(я) = е 1 и убывающая по гауссиане корреляционная функция
Ж(з) = е г ''"}. Соответствующие зависимости дисперсии для процесса т-осреднений
Б(Я) = Б (тД) = 2 ) могут быть вычислены
аналитически:
)=Л ( *+« ^ -1),
о =
*
-ж2 / 2
- 1 + ■
=VnErf (-
(2)
(3)
Я ш I
Обе эти функции при х ^ да убывают как 0(1/х),
на рис. 1 отражено поведение ^Б (Ят) при небольших значениях аргумента т и нормировки X = 1.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ, СВЯЗАННЫЙ С ОСРЕДНЕНИЕМ
Итак, рассматривается стационарный гауссов-ский процесс с (непрерывными) реализациями R(t), для нормировки положим еще а (R(t)) = 1. Рассмотрим процесс т-осреднений RT(tm) (т > 0 ) — стационарный процесс дискретного времени
R
'm
.(tm) = 1 f R(t)dt tm = (1 + т)т.
T J
'm-1 2
Его дисперсия D (RT ) = a (RT ) может быть явно выражена через корреляционную функцию исходного процесса J{(s) = cov ( R(t + s)R(t)) :
т T T
D (RT) = — u - V)dudv = -2 ¡Ж(s)(t - s)ds. (1)
0 0
0
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ ПРИМЕР ОСРЕДНЕНИЯ
Рассмотрим на интервале в 100000 лет случайный процесс Я(?) с корреляционной функцией гаус-совской формы, заданной параметром X = 330 лет, и пусть т равно 3Х = 990 лет. Визуальное сравнение вариаций Я(?) и Я^Уп) легко произвести с помощью рис. 2.
МОДЕЛИ ОСАДКОНАКОПЛЕНИЯ И ОСРЕДНЕНИЕ ПАЛЕОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Типичные размеры палеомагнитного образца для получения данных о древнем магнитном поле составляют 1—2 сантиметра, скорость осадкона-копления, вообще говоря, значительно варьирует-
0
5
10
15
20
25
Рис. 1. Графики зависимости величины ) от па-
раметра т для гауссовской формы корреляционной функции (верхняя кривая) и для экспоненциальной формы корреляционной функции (нижняя кривая).
ся от места к месту, а также зависит от характеристик рассматриваемого материала, поэтому, если мы упрощенно считаем процесс осадконакопле-ния линейным во времени, то образец размера 2 см может отвечать осреднению за период от 20 до 2000 лет. Более точное понимание параметра осреднения опирается на знание скорости осад-конакопления. С другой стороны, сравнение дисперсий осредненного и неосредненного процессов (гипотетическое сравнение синхронных данных по лавам и по осадкам) дает оценку интервала осреднения (а, значит, и скорости осадконакоп-ления) с помощью рис. 1.
В более детальных моделях осадкообразования само понятие скорости осадконакопления также усложняется, имеет смысл (на практике обычно так и делается) оценивать скорость лишь за очень большой промежуток времени. Исследования по-
следнего времени привели к математическим моделям осадконакопления, включающим в себя как рост слоя осадков так и эрозию; весьма общая модель, опирающаяся на стандартный процесс случайного одномерного блуждания, предложена, например, в работе [Strauss, Sadler, 1989] (рассматривались также модели, где вместо стандартного броуновского процесса используется дробное броуновское движение).
Эта модель предполагает, что локальный стратиграфический разрез состоит из участков накопления со средней скоростью u (долговременной характеристикой осадконакопления) и пропусков, отвечающих стертым эрозией слоям. Модель описывает процессы накопления морских осадков: в периоды, когда море отступает, имеет место эрозия слоев накопленной толщи, в остальное время имеет место осадконакопление. Уровень моря моделируется броуновским случайным процессом с нулевым средним: вспомогательная случайная функция времени 2,(t) = max(0, ut + çw(t)) t > 0 определяет толщину накопленного слоя как d(t) = inf {£,($) : s > t}, здесь w(t) обозначает стандартный процесс случайного блуждания с параметром диффузии ç. Плоские сегменты функции d(t) отвечают
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.