ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 1, с. 48-55
УДК 551.513
ВЕРТИКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА КВАЗИДВУМЕРНОГО ПОЛЯ СКОРОСТИ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ПРОБЛЕМА НЕЛИНЕЙНОГО ТРЕНИЯ
© 2008 г. В. М. Пономарев, А. А. Ханаев, И. Г. Якушкин
Институт физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН 119017 Москва, Пыжевский пер., 3 E-mail: vsl.ponomarev@ifaran.ru Поступила в редакцию 29.05.2007 г., после доработки 31.08.2007 г.
Для описания квазидвумерных вязких течений несжимаемой жидкости построена приближенная теория, учитывающая слабую циркуляцию в вертикальной плоскости и связанную с ней дивергенцию двумерного поля скорости. Анализируется роль нелинейных членов, обусловленных взаимодействием вихревой и потенциальной компонент скорости, и возможность учета соответствующих эффектов в рамках концепции придонного трения. Показано, что нелинейный характер трения является следствием трехмерного характера течения, приводящего к эффективному взаимодействию вихрей с вертикальной и горизонтальной осями. Получена аппроксимация влияния этого взаимодействия в квазидвумерных уравнениях с помощью коэффициента нелинейного трения. Проведено сравнение результатов, следующих из предлагаемого приближения, с данными лабораторных экспериментов по возбуждению пространственно-периодического течения жидкости.
1. ВВЕДЕНИЕ
Проблема генерации и эволюции крупномасштабных течений жидкости представляет большой интерес для многочисленных геофизических приложений. К числу таких течений относятся, например, крупномасштабные вихри различного происхождения в атмосфере и океане. При их описании часто используется квазидвумерное приближение, учитывающее (или, в простейшем случае, не учитывающее) изменение профиля скорости по вертикальной координате. В случае вязкой жидкости учет вертикального изменения профиля скорости приводит в квазидвумерных уравнениях к линейному релеевскому или экмановскому (для вращающейся жидкости) трению. Как показано в [1, 2], эта параметризация, основанная на пуазейлевской зависимости скорости от вертикальной координаты, приводит к результатам, хорошо согласующимся с данными об устойчивости течения Колмогорова.
Очевидно, такая аппроксимация является слишком простой, чтобы быть применимой к широкому классу движений жидкости и прежде всего к течениям с криволинейными линиями тока. Поэтому возникает вопрос о точности перехода от трехмерного описания к квазидвумерному в этом случае, для чего необходимо оценить и параметризовать эффекты, обусловленные циркуляцией в вертикальной плоскости. Связанная
с горизонтальным сдвигом вертикальная завихренность приводит к возникновению вертикальной компоненты скорости, которая проявляет себя как диссипативный фактор. Как правило, при приближенном описании простых течений вертикальная скорость полагается равной нулю, и тогда она возникает при учете нелинейных вихревых взаимодействий, т.е. ее эффект является нелинейным по скорости.
В общем случае характер квазидвумерного движения зависит прежде всего от двух параметров: числа Рейнольдса, определенного по придонному трению Ие = VH2/Lv и числа Экмана Ек = vfH2 [3-6], где V - характерная скорость, Н и Ь - вертикальный и горизонтальный масштабы соответственно, / - параметр Кориолиса и V - коэффициент кинематической вязкости. При умеренных значениях числа Рейнольдса и больших числах Экмана справедлива гипотеза линейного трения, коэффициент которого определяется величиной 2v/H2. При малых числах Экмана слой трения задается величиной Н0 = v/f < Н2. Можно предполагать, что при сильной завихренности, по крайней мере, для течений с криволинейными линиями тока даже в отсутствие внешнего вращения возникает аналог экмановского слоя с высотой зависящей от характеристик течения. В общем случае для решения вопроса о количественном характе-
ре нелинейного трения необходимо детальное аналитическое и численное исследование трехмерной циркуляции жидкости в течениях с малой по сравнению с горизонтальными масштабами глубиной.
В данной работе мы исследуем такого типа течения в постановке задачи, учитывающей вертикальные движения. В определенном смысле полученные результаты аналогичны нелинейной экма-новской накачке жидкости, т.к. они связаны со слагаемыми, описывающими взаимодействие вертикальной завихренности с потенциальной компонентой поля скорости. Однако отметим, что, в отличие от движения жидкости во вращающейся системе, в данном случае знак вертикальной скорости согласуется со знаком вертикальной завихренности, не вызывая нарушения свойств симметрии для вихрей разных знаков. Работа построена следующим образом. В разд. 2 в приближении квазистатики получены уравнения, описывающие течение с точностью до членов порядка дивергенции двумерного поля скорости. В разд. 3 анализируются простейшие решения этих уравнений, в результате мы получаем зависимость коэффициента трения от характеристик квазидвумерного движения. Полученное приближение применяется к анализу результатов лабораторных экспериментов в разд. 4.
которые позволяют использовать для описания течений приближение квазистатики.
Движение жидкости будем описывать с помощью двух переменных - вертикальной завихренности и дивергенции двумерного поля скорости: ю = Юг = дv/дx - ди/ду, 5 = ди/дх + дv/дy и введем функцию тока у и потенциал ф, тогда поле скорости задается уравнениями
Ду = -кV х и = -ю,
Дф = ^и = ^ = -5.
дz
Из (2.1) и (2.2) получаем следующие уравнения для завихренности и дивергенции
дю (дНу дНх\ (. д2 , _ — + | - — I = ^Д + —у |Ю + ^Дв,
дг V дх ду д5 (дНх дН
+
-у1 = v д + ^15 - д( р + ий,
дг V дх ду У V дz И = ю х и.
В предположении, что выполняется условие 5/ю < 1 и р = р(х, у), эти уравнения можно привести к виду
2. ПРИБЛИЖЕНИЕ КВАЗИСТАТИКИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим движение однородной вязкости жидкости, описываемое уравнениями
£+<" х и+к!)(р+и1+
+ VI Д + —г-1и + f,
д ^ Шу и = 0,
(2.1)
(2.2)
f = ^0к х VG(x, у),
(2.3)
^ = víд + -д7Ую - (у, ю) +
дг 1 д^У (2.4)
+ [5ю - Vф • Vю] + V(wVуz) + (ф^ ю) - Дв,
д5 = v(Д + -^2 )5- (ф,ю)-
^ д z
дг
- [ю2 - Vу • Vю] - V(юVфz) - (уz, ю) - (2.5)
- Др - Д|
(Vу)2
+ (у, ф) +
( Уф)'
2 /
где операторы V = 1д/дх + jд/дy, Д = д2/дх2 + д2/ду2, величина f - объемная плотность силы, создающей движение жидкости.
Положим, что внешнюю силу можно представить в виде
где = - амплитуда силы, и рассмотрим
крупномасштабные движения жидкости, предполагая выполнение условий
дд ^ д дх' ду дz'
, ,, да дЬ да дЬ где (а, Ь) = ^-тг- - а нижний индекс z озна-
дх ду ду дх
чает дифференцирование по z.
В уравнениях (2.4), (2.5) фактически сохранены некоторые члены порядка 52, которые не приводят к затруднениям при численном решении этой системы. Структура уравнений такова, что (2.4) описывает перенос и генерацию завихренности вихревой и потенциальной компонентами скорости, а (2.5) определяет генерацию потенциальной компоненты. В пренебрежении потенциальной компонентой скорости (ф = 0) мы получаем уравнение, обычно используемое для построения квазидвумерного приближения.
3. нелинейный режим движения в тонком слое жидкости
Применим полученные выше уравнения к анализу движения в слое жидкости со средней высотой Н, ограниченного снизу подстилающей поверхностью г = 0 и свободной поверхностью г = Н + п (П - возмущение поверхности).
Граничные условия формулируются следующим образом. Из условий прилипания при г = 0 следует
ш = 0, 5 = 0. (3.1)
На внешней границе слоя г = Н + п должно выполняться условие непрерывности давления
Р(Н) = £РП,
кроме того, предполагая возмущения верхней границы малыми, можно положить
м>(Н) = 0. (3.2)
Из непрерывности тензора вязких напряжений v(дu/дг + дм>/дх) = 0, v(дv/дг + дм>/дх) = 0 вместе с малостью величины м> следуют условия для завихренности и дивергенции при г = Н
Эю _ о
dz '
Э5 Э z
= 0.
(3.3)
d2A|
Э2Аф _ dz2 =
_ 2E[FoAG(x, у) - V(AyV9)], (3.4)
2 E
V(VyAy) -2 A(V|)2- Ap
(3.5)
V(VyAy) -1 A(V|)2 _
_ 2
~d2A\|)d2A\|) f d2\|) x 2" _ Эx dy2 - VЭхЭу.
(3.6)
_ 2(|x,|y),
которая, как будет видно ниже, фактически определяет взаимодействие вихревой и потенциаль-
ной компонент скорости и нелинейную составляющую трения.
Будем искать приближенное решение (3.4), (3.5) в виде
A| = q(z)AG, A9 = r(z)AS,
(3.7)
(3.8)
где А£ = 2(вх, ву).
Подставляя эти выражения в систему и проектируя первое уравнение на Ав, получаем
2
d q dz
_ 2E[F0 - 2Bqr],
d2r
^ _ 2 E [ q2- Ap ], dz
(3.9)
(3.10)
где 2В = <У(У^Ав) ■ Ав>/<(Ав)2> (здесь угловые скобки 0 означают усреднение по х и у), а Ар определяется условием (3.2).
Представляя решение уравнений (3.9), (3.10) в виде д = д0 + ^ д0 = qdг,
имеем
Применим приближение (2.4)-(3.3) к описанию квазистационарного движения жидкости под действием силы (2.3) полагая F0 = const. Ниже мы перейдем к безразмерной по высоте координате z' = z/H (знак штриха далее опускаем), для простоты выкладок опустим слагаемые учитывающие горизонтальную вязкость и введем параметр E = H2/2v.
Сохраняя основные члены в (2.4)-(2.5), рассмотрим упрощенную систему уравнений (как будет видно из метода решения, членами с производной по z можно пренебречь):
d2
= 2 Е [ ^-2 В (д0 + ) г ],
dг -2 г
— = 2Е[д2 - Ар + 2дод1 + д2], -г
и, пренебрегая в уравнениях квадратичными чле-
2
нами д1г и д1, получаем уравнение для комплексной величины К = д1 + г'В1/2г:
dd-K- /К _ 2E(F0 - iD),
dz2
D _ B1/2(q0 - Ap),
s2 _ 4iEB1/2q0,
s _ (1 + i)So,
(3.11)
r^ t7\1I2T>1I4, ,1/2
So _ (2E) B (qo) .
Из (3.5) следует, что генерация потенциальной компоненты скорости определяется гауссовой кривизной функции тока
Решение (3.11), удовлетворяющее граничным условиям
K(0) _ -qo,
ЭК
dz
_ 0 при z _ 1,
имеет вид
K_
2E(F0 - iD)
[Ц(z) -1 ] - q0^(z),
z) _
chs(z -1) ch s
(3.12)
Из условия Kdz = 0 следует, что q0 и Б определяются решением трансцендентного уравнения
2Е(^о- Ш)(1ш(^) -11 - q0sШ(^) = 0. (3.13)
Выражения (3.12), (3.13) задают решение (3.11) и позволяют определить влияние циркуляции в вертикальной плоскости на течение в горизонтальной плоскости. В простейшем случае для прибл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.