ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2009, том 45, № 1, с. 7-28
УДК 551.511.61:532.526.4
ВИХРЕРАЗРЕШАЮЩЕЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СМЕШАННОГО ДИНАМИЧЕСКОГО
ЛОКАЛИЗОВАННОГО ЗАМЫКАНИЯ. ЧАСТЬ I. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ, ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ И ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛЕННЫЕ ТЕСТЫ
© 2009 г. А. В. Глазунов
Институт вычислительной математики РАН 119991 Москва, ул. Губкина, 8 E-mail: glazunov@inm.ras.ru Поступила в редакцию 23.05.2008 г., после доработки 22.09.2008 г.
Представлена численная вихреразрешающая модель, предназначенная для расчета нестационарной трехмерной динамики несжимаемой жидкости или газа при очень больших числах Рейнольдса. В модели используется консервативная схема высокого порядка точности и смешанное локализованное замыкание динамического типа. Сравниваются различные подходы к построению динамического замыкания. Обсуждаются характерные особенности расчетов турбулентных течений с применением методологии вихреразрешающего моделирования.
ВВЕДЕНИЕ
Движение нейтрально стратифицированной несжимаемой жидкости или газа можно описать системой дифференциальных уравнений Навье-Стокса. В безразмерном виде в тензорной записи эта система выглядит следующим образом:
дщ dt
dUjUj dxj
d-P + 1 d2U dx; Re dx; dx:
+ Fe
;
dU ; dx;
= 0,
(1)
(2)
где Re - число Рейнольдса: Re =
UL
(V/p )
; U - харак-
терная скорость потока, L - характерный масштаб; (v/p) - молекулярная кинематическая вязкость;
Fi - сумма внешних сил, действующих на частицу жидкости.
Предполагается, что решение системы уравнений (1, 2), дополненной соответствующими граничными условиями, воспроизводит статистические характеристики потока для любых значений Re, в том числе и для развитой турбулентности с Re > ReCr Численной решение систем уравнений, аппроксимирующих (1, 2) с высокой точностью, принято называть прямым численным моделированием (в англоязычной литературе - direct numerical simulation, DNS).
В практических задачах часто приходится иметь дело с потоками, характеризующимися очень боль-
шими числами Рейнольдса Re > 1. Например, для пограничного слоя атмосферы (ПСА) (L ~ 103 м, U~ 101 м/с, (V/p) ~ 10-5 M2/c): Re ~ 109. Оценки пространственного разрешения для прямого моделирования пристеночной турбулентности дают: N ~ Re26 (см. [1]), т.е. численная модель ПСА должна содержать ~1023 расчетных узлов сетки. Поэтому DNS пока остается всего лишь инструментом для детального изучения мелкомасштабной структуры турбулентности. Например, один из наиболее дорогих (с точки зрения потребления компьютерных ресурсов) расчетов турбулентного потока в канале [2] потребовал приблизительно 120 сут непрерывного счета на 2048 процессорах массивно параллельного компьютера Marenostrum. Число Рейнольдса ReT = = uTh/v в этом эксперименте составляло 2003, безразмерное время расчета - tujh - 10.3 (h - полуширина канала), размеры расчетной области в продольном и поперечном направлениях - 8nh и 3nh соответственно. Характерное значение скорости трения для ПСА - uT ~ 0.5 м/с. Если, используя это значение, соотнести размеры области и время в упомянутом расчете с размерами области и временем для турбулентности в ПСА, то получится, что этот численный эксперимент примерно соответствует моделированию движения воздуха в параллелепипеде со сторонами 100 х 38 х 8 см в продолжении 0.8 секунды.
Приемлемой альтернативой прямому численному моделированию является методология вихреразрешающего моделирования (в англоязычной литературе large eddy simulation, LES). Наиболее
распространенный подход к построению LES состоит в следующем.
Введем процедуру фильтрации по пространству, определив оператор фильтрации FA следующим образом:
a ( x, t) = Fa^o. ( x, t),
fao(x, t) = I ga(x - x' )a(xt)dx',
R (3)
J GÂ( x ) dx ' = 1,
где а - подлежащая фильтрации величина, Од - весовая функция фильтра Ед с эффективной шириной фильтрации Д. Од выбирается таким образом,
чтобы фильтр подавлял преимущественно коротковолновые составляющие турбулентного движения с длинами волн X < 2 Д. Заметим, что точного математического определения эффективной ширины фильтрации не существует (частные подходы к построению дискретных фильтров и методам определения их ширины можно найти, например, в работах [3, 4]). В практических приложениях для двух- или трехмерной фильтрации чаще всего используется оператор, являющийся произведением дискретных аппроксимаций соответствующих одномерных фильтров. Потребуем выполнения следующих свойств:
da(x, t) _ da(x, t) da(x, t) _ da(x, t)
(4)
Эх; Эх; дг дг
Заметим, что в данной постановке фильтр не обязан быть идеальным, т.е., вообще говоря: а Ф а.
Применяя Ед к системе (1, 2), приходим к системе уравнений, описывающих поведение фильтрованных компонент скорости:
дщ = дщи _ дг- _ др + 1 д% + Ее (5)
дг дху дху дх 1 Ие дх; дху "
дщ дх;
= 0,
T;j = U;Uj U;Uj.
(6)
(7)
Здесь мы формально разделили нелинейный член в правой части (5) на составляющую, зависящую только от фильтрованных компонент скорости, и составляющую, включающую в себя неподдающиеся прямому моделированию исходные компоненты. Определение (7) тензора турбулентных напряжений Ту соответствует наиболее часто встречающемуся в литературе разложению фильтрованного
нелинейного члена на воспроизводимую явно и моделируемую (параметризуемую) составляющие (см. [5, 6]).
Система уравнений (5-7) оказывается незамкнутой, так как выражение (7) содержит исходные нефильтрованные компоненты скорости. В большинстве случаев методология LES предполагает замену реального тензора т на некоторое модельное соотношение Tmod = Tmod( U ). Такие соотношения принято называть "турбулентными замыканиями" или "моделями подсеточной турбулентности" (в англоязычной литературе - subgrid scale (SGS) model).
Можно надеяться, что динамика крупномасштабных составляющих процесса, описываемого системой уравнений (5-6), дополненной выбранным замыканием, будет статистически близка к динамике крупномасштабных составляющих исходной системы в тех случаях если:
1. Мелкомасштабные пульсации имеют универсальную структуру, не зависящую от крупномасштабных нестационарных составляющих турбулентного потока, а поведение крупных вихрей не зависит от мгновенного состояния "подсеточных" пульсаций. Тогда при построении замыкания можно заменить мгновенные реальные "подсеточные силы" на модельные "подсеточные силы", не обязательно совпадающие с реальными, но обеспечивающие в среднем тот же обмен энергией между движениями разных масштабов и вносящие тот же вклад в средний перенос импульса. При наличии и явном воспроизведении части инерционного интервала в трехмерном турбулентном потоке задача построения такого замыкания упрощается. В данном случае наблюдается прямой каскад энергии в сторону мелких масштабов, а мелкомасштабные "подсеточные" вихри, будучи локально изотропными, не вносят вклада в перенос импульса. Поэтому единственной целью "подсеточной" модели является обеспечение потерь кинетической энергии воспроизводимых явно вихрей в соответствии с каскадной передачей энергии к "подсеточной" турбулентности.
2. Подсеточные пульсации и пульсации разрешаемые явно имеют корреляционную связь между собой, достаточно сильную и достаточно простую, чтобы установить функциональную зависимость т(и) - Tmod( U ).
Во многих задачах, для решения которых привлекаются численные LES-модели, первое предположение, наиболее оправданное при явном воспроизведении существенной части инерционного интервала, не может быть выполнено полностью в силу ограничений по пространственному разрешению. Универсальной связи между "подсеточными" и "разрешаемыми" флуктуациями также пока не найдено. В некоторых случаях приемлемые результаты дает комбинация первого и второго подходов к построению "подсеточных" моделей, примером
R
чему могут служить смешанные модели, одна из которых подробно обсуждается и тестируется в данной работе.
Наиболее полный обзор турбулентных замыканий и подходов к построению LES можно найти в монографии [7].
При очень больших числах Рейнольдса влиянием предпоследнего члена в уравнении (5) можно пренебречь. Отметим, что турбулентные замыкания с успехом применяются и для моделирования потоков с относительно небольшими числами Рейнольдса, при этом вязкие напряжения только частично воспроизводятся моделью, а замыкание играет вспомогательную роль, позволяя проводить расчеты с более грубым пространственным разрешением, чем при прямом (DNS) численном интегрировании системы (1, 2).
Основной целью данной работы было построение LES модели, верно воспроизводящей статистические характеристики крупномасштабных составляющих развитого турбулентного течения, ограниченного твердой шероховатой стенкой, при очень больших числах Рейнольдса.
В представленной работе все алгоритмы, включая численную схему и турбулентное замыкание, выбирались таким образом, чтобы обеспечить применимость модели в расчетных областях произвольной конфигурации. Исходя из этого, мы заранее сузили область их выбора следующим образом:
• замыкание не должно использовать априорных сведений о структуре пристеночной турбулентности;
• в модели не должно использоваться предположение о статистической однородности турбулентного потока в тех или иных заранее выделенных пространственных направлениях;
• модель не должна содержать параметризации, неинвариантные относительно поворота системы координат (недопустимо использование двумерных фильтров при моделировании трехмерной динамики).
Ниже приводится краткий обзор некоторых подходов к построению вихреразрешающих моделей, описание предложенной модели и результаты предварительных численных тестов по сравнению различных методов построения динамического замыкания.
1. ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ
ВИХРЕРАЗРЕШАЮЩЕГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ СНИЖЕНИЯ РОЛИ ЧИСЛЕННЫХ ОШИБОК
Название "подсеточные" утвердилось за турбулентными замыканиями благодаря тому, что обычно пространственный фильтр Ед, введенный на
этапе дифференциальной постановки (5-7), никаким образом не фигурирует в результирующей дискретной модели. Таким образом, полагается, что роль фильтра выпол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.