ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2014, том 50, № 4, с. 477-483
УДК 551.465.1
ВИХРЕВАЯ ДИНАМИКА ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
С ОКРУГЛОЙ ВЫЕМКОЙ
© 2014 г. Е. А. Рыжов*, Ю. Г. Израильский**, К. В. Кошель*, ***, **** *Тихоокеанский океанологический институт им. В.И. Ильичева ДВО РАН 690041 Владивосток, ул. Балтийская, 43 E-mail: ryzhovea@poi.dvo.ru **Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН 690041 Владивосток, ул. Радио, 5 ***Дальневосточный федеральный университет 690950 Владивосток, ул. Суханова, 8 **** Институт прикладной математики ДВО РАН 690041 Владивосток, ул. Радио, 7 Поступила в редакцию 06.08.2013 г., после доработки 18.10.2013 г.
В рамках модели баротропной невязкой жидкости исследуется движение точечного вихря и ассоциированная динамика жидких частиц вдоль прямолинейной границы с выемкой в форме дуги окружности, моделирующей береговую линию залива. Используя аналитическое выражение для комплексного потенциала, посредством которого определяется поле скорости, показано, что при прохождении вихря вдоль выемки жидкие частицы начинают двигаться нерегулярно за счет нестационарности поля скорости, генерируемого вихрем. Часть таких частиц, изначально находившихся внутри вихревой атмосферы точечного вихря, за счет нерегулярного движения покидают ее, оставаясь в окрестности выемки. В зависимости от начального положения вихря, а также от параметра, определяющего размер выемки, доля таких жидких частиц от изначально равномерно расположенных в вихревой атмосфере может значительно отличаться. Показано, что наиболее эффективный вынос частиц из вихревой атмосферы происходит в случае более закрытой выемки, притом что в начальном положении площадь вихревой атмосферы должна быть значительно меньше площади выемки.
Ключевые слова: сингулярный вихрь, перемешивание, пассивная примесь, нерегулярная динамика.
Б01: 10.7868/80002351514040117
ВВЕДЕНИЕ
Вихревая динамика вдоль искривленной границы представляет определенный интерес для исследования [1—3]. Данный интерес обусловлен, например, возможностью приложения моделей вихревой динамики к задачам геофизической гидродинамики, таким как исследование процессов переноса и перемешивания примеси в вихревых структурах океана и атмосферы [4—7]. Известно, что вихри ведут себя иначе в близи береговой линии, причем их поведение будет сильно зависеть от ее формы [8, 9]. Хотя модели изолированных вихрей являются достаточно условными, с их помощью, однако, можно получить некоторые представления о синоптической и мезомас-штабной вихревой динамике [9—12].
В самом простом случае, рассматривая баро-тропную невязкую жидкость и принимая в качестве вихревой модели модель точечных вихрей [13] (или в терминологии, принятой в геофизической гид-
родинамике, сингулярных геострофических вихрей [14]), для моделирования движения вихрей вдоль стенки достаточно поставить "отраженный" такой же вихрь локально симметрично относительно стенки, в результате получается пара самораспространяющихся вихрей, для которых несложно сформулировать соответствующий комплексный потенциал. Простейший случай движения точечного вихря вдоль прямолинейной стенки без трения тривиально интегрируется, в результате такой вихрь движется прямолинейно и равномерно. Также хорошо известен случай чередующихся вихрей — пары вихрей одного знака, двигающихся вдоль прямолинейной стенки. Такое движение вихрей является регулярным, хотя и неустойчивым к малым возмущениям [15].
Помимо движения самих вихрей вдоль стенки, также определенный интерес представляет динамика пассивной примеси, находящейся в их окрестности. В случае простого движения вихря
7
477
478
РЫЖОВ и др.
вдоль стенки вокруг него постоянно существует вихревая атмосфера с неизменной формой. Частицы жидкости, находящиеся в ней, движутся регулярно и не могут ее покинуть, так же как и частицы извне не могут в нее проникнуть. Иная картина наблюдается в случае чередующихся вихрей: в связи с тем, что вихри, помимо движения вдоль стенки, вращаются вокруг общего центра завихренности, генерируемое ими поле скорости становится нестационарным, и соответственно жидкие частицы, находящиеся в нем, начинают двигаться нерегулярно. За счет такого нерегулярного движения становится возможным обмен жидкими частицами между вихревой атмосферой и внешним потоком [16].
В настоящей работе анализируется движение вихря и ассоциированная динамика жидких частиц из его атмосферы вдоль стенки с выемкой в форме дуги окружности. Наличие такой границы существенно влияет на его поведение и на ассоциированный перенос жидких частиц из его окрестности при его прохождении рядом с выемкой. Эта конфигурация интересна прежде всего тем, что такая форма границы является простейшей моделью береговой линии заливов, в которых регулярно наблюдается интенсивная вихревая динамика [8, 9].
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим невязкий несжимаемый баро-тропный потенциальный поток, в котором двигается изолированный точечный вихрь нормированной на 2я интенсивности к вдоль незамкнутой границы. Используя метод отражений, т.е. помещая локально симметрично относительно границы вихрь такой же интенсивности, мы имеем следующий комплексный потенциал [13]:
w
= KÍ (ln (Z-Z 0) - ln (Z-Zo)) ,
(1)
где ^ = С (£) — функция от комплексной переменной г, конформно отображающая интересующую нас область потока на верхнюю полуплоскость, С о = С (£о), где г0 — положение вихря, и черта сверху обозначает комплексное сопряжение.
В рассматриваемом случае требуется отобразить бесконечную прямолинейную границу с выемкой в виде дуги окружности на верхнюю полуплоскость. Данное отображение осуществляется стандартно (оно представлено, например, в [17]) посредством суперпозиции дробно-линейных и степенных функций (последовательность отображений показана на рис. 1):
= —, z2 = Zi2-a, Z = b-^,
z + a 1 - z 2
(2)
где величины a = R sin па зависит от радиуса окружности R (все дальнейшие расчеты проводились для R = 1) и угла яа, под которым располагается выемка на границе, а b = 2a определена из
2 - a
условия Z'(z) = 1 при z =
Потенциал движения самого вихря получается за счет удаления из потенциала (1) самовоздействия и имеет вид:
Wo = -кг ln (Zo -Zo) • (3)
Дифференцируя (3), получаем комплексную скорость движения вихря:
V _ dwo
Vo _~T~
dzo
uo - ivo _ —
кг
ir®(zo), (4)
где
Z o-z
zo - a |2-a
dZ o
= Ш(zo) = Z2 (zo
dzo zo2 - a2
(5)
Далее, для того чтобы получить траекторию движения вихря (х0 ), у0 ^)), необходимо проинтегрировать систему уравнений:
dxo dt
= -u
dyo
(6)
Жидкая частица, находящаяся в окрестности точечного вихря, движется согласно потенциалу (1) и ее комплексная скорость имеет вид:
t7 dw . .f 1 V = — = u - iv = кг |
1
, 1Л Л г ТГ(£)• (7)
& ^ - £ о £ - £ о)
Траектория такой частицы также находится с помощью уравнений адвекции, аналогичных (6).
ДВИЖЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ВИХРЯ ВДОЛЬ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЫ
Поведение вихря вдоль прямолинейной границы полностью совпадает с поведением вихря в самораспространяющейся вихревой паре, движение которой досконально изучено [18, 19]. Далее приведем несколько классических результатов, которые потребуются для сравнения с случаем движения вихря вдоль границы с выемкой. Вихрь вдоль прямой границы движется равномерно и прямолинейно на постоянном расстоянии от границы со скоростью , где (х0, у0) — начальная 2уо
координата вихря. Жидкие частицы, движущиеся вместе с вихрем, ограничены областью, называемой вихревой атмосферой, которая является непроницаемой как для частиц внутри нее, так и для частиц снаружи. Таким образом, такой вихрь пе-
©
¿1
| а п
Рис. 1. Последовательность конформного отображения полуплоскости с пристыкованным сегментом окружности на верхнюю полуплоскость.
реносит жидкие частицы, находящиеся в его вихревой атмосфере, на неограниченное расстояние.
Комплексный потенциал такой системы имеет вид (1), где ^ = & Вихревая атмосфера в движущейся вместе с вихрем системе координат всегда имеет две неподвижные точки, располагающиеся на границе. Их координаты легко находятся
(х0 + л/3у0,0), а уравнение границы вихревой атмосферы имеет вид:
(х + Х0) =
(У + У0)2е У0 - (у - У0)
(8)
1 - е
Жидкие частицы, находящиеся в вихревой атмосфере, при движении вихря все время остаются на своих начальных орбитах, т.е. не перемешиваются. Пример траектории жидкой частицы, находящейся в вихревой атмосфере вихря, приведен на рис. 2а, видно, что частица движется регулярно по одной орбите. На рис. 2б представлены жидкие частицы из вихревой атмосферы в начальный момент времени и через промежуток
времени Т = 40. Видно, что ни одна частица не покинула границы вихревой атмосферы.
Далее перейдем к рассмотрению случая границы с полукруглой выемкой.
ДВИЖЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ВИХРЯ ВДОЛЬ ГРАНИЦЫ С ВЫЕМКОЙ
Движение самого вихря вдоль границы с выемкой мало отличается от движения вдоль прямой стенки. Вихрь движется все время в одном направлении, однако вблизи выемки скорость вихря меняется, появляется вертикальная компонента скорости, после прохождения выемки вихрь снова движется почти прямолинейно, и на достаточном удалении от выемки его поведение не отличается от случая прямой границы.
Динамика жидких частиц, однако, претерпевает более серьезные изменения по сравнению со случаем прямой границы. При подходе к выемке вихревая атмосфера начинает меняться в связи с тем, что поле скорости, которое индуцирует вихрь, начинает меняться за счет искривленной границы. Таким образом, поле скорости, в котором находятся жидкие частицы, становится не-
У
У
1
х
У
У
1
Ь
х
х
У
У
РЫЖОВ и др. (а)
Т = 0
Т = 40
(б)
Т = 0
4х
Т = 40
0
2
4
Рис. 2. а — Жирная линия — траектория движения вихря, спиральная линия — траектория движения одной из жидких частиц, заключенных в вихревой атмосфере. б — Жидкие частицы, находящиеся в вихревой атмосфере вихря, двигающегося вдоль прямой стенки, в начальный момент времени и в момент Т = 40.
0
0
2
1
х
(а)
Т = 0
(б)
У,.7
Т = 40
0
2
4
Рис. 3. а — Жирная линия — траектория движения вихря, спиральные линии — траектории движения двух жидких части
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.