Вихри вокруг нас
Э.А.Пашицкий
Разнообразные вихревые структуры — от воронки в ванной и водоворота в реке до гигантских вихрей в атмосферах Земли и других планет Солнечной системы — чрезвычайно широко распространены в природе. Так, атмосферные вихри — циклоны и связанные с ними антициклоны — играют важную роль в формировании климата на Земле: они могут в течение недель или даже месяцев определять погоду — проливные дожди и наводнения или жару и засуху — на огромных территориях. Мощные воздушные вихри — торнадо (рис.1,а), тайфуны и ураганы (рис.1,б) — способны причинять большие разрушения на пути своего движения. А Большое Красное Пятно на поверхности Юпитера (рис.1,в), открытое астрономами почти 400 лет назад, по данным американских автоматических космических аппаратов «Пионер» и «Вояджер», тоже оказалось гигантским вихрем, который существует с давних пор в атмосфере этой планеты-гиганта.
Возникает вопрос: как такие вихревые течения могут возникать и сохраняться длительное время в обладающих конечной вязкостью жидких и газообразных средах, в которых должна происходить достаточно быстрая диссипация кинетической энергии всякого упорядоченного движения? Не нарушается ли при этом один из основных законов природы — второе начало термодинамики, согласно которому
© Пашицкий Э.А., 2011
Эрнст Анатольевич Пашицкий, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент Национальной академии наук Украины, главный научный сотрудник Института физики НАН (Киев). Основные научные интересы лежат в области теории сверхпроводимости и сверхтекучести, физики поверхности, гидродинамики и физики плазмы. Лауреат Государственной премии УССР в области науки и техники.
все процессы в нашем макроскопическом, классическом мире сопровождаются возрастанием энтропии — меры хаоса и беспорядка?
Мы покажем, что продолжительное существование вихрей в вязких средах обеспечивают особая структура поля гидродинамических скоростей при вихревом движении жидкости или газа, которая удовлетворяет своеобразному принципу минимального производства энтропии, а также обмен веществом и энергией вращательного движения между вихрем и окружающей средой. Иными словами, гидродинамический вихрь в определенных условиях представляет собой открытую, неравновесную и самоорганизующуюся систему. которая зарождается, развивается и в конце концов за счет диссипации энергии умирает в полном соответствии со вторым началом термодинамики.
Гидродинамический портрет воронки
По крайней мере один гидродинамический вихрь хорошо знаком каждому из нас — это водяная воронка, возникающая в наполненном водой большом сосуде (например, ванне), на дне которого открывается небольшое отверстие — сток. Как можно описать ее образование?
При свободном движении жидкости или газа с достаточно малой скоростью, которая гораздо меньше скорости звука в данной среде (1400 м/с для воды, 330 м/с для воздуха), такую жидкость или газ с хорошей точностью можно считать несжимаемыми. В этом случае макроскопические движения среды описываются гидродинамическими уравнениями Навье—Стокса для несжимаемой вязкой жидкости [1].
Однако сначала вспомним более простые уравнения Эйлера для идеальной несжимаемой жидкости, вязкость V которой (т.е. внут-
Рис.1. Природные вихри: а — торнадо (Небраска, США); б — ураган «Каталина» (март 2004 г., NASA, снимок экипажа МКС), в — Большое Красное Пятно на Юпитере (25 февраля 1979 г., «Voyager-1»).
реннее трение между движущимися слоями жидкости) по определению равна нулю. Их частное решение — цилиндрически-симметричный вихревой поток с азимутальной скоростью вращения Vр, которая растет от нуля на оси вихря по линейному закону Vр(г) = юг при удалении от оси до некоторого расстояния г = К0 (внутри сердцевины вихря; ю — угловая скорость «твердотельного» вращения жидкости как целого), а затем убывает
обратно пропорционально r: V„(r) = юЕ0 /г (рис.2,я). При этом должно выполняться условие равновесия между центробежной силой и градиентом давления p, что приводит к распределению давления жидкости по радиусу, показанному на рис.2,б. Как видим, давление на оси вихряp0 меньше, чем давление в окружающей жидкости p„ на больших расстояниях: po =p„ - рюЕ 0 (р = const — плотность жидкости). Это так называемый цикло-строфический режим вращения несжимаемой жидкости с падением давления в центре вихря, зависящим от величины угловой скорости.
Такая структура вихря впервые была получена почти 200 лет назад Уильямом Джоном Макуор-ном Рэнкином [2]. Как будет показано ниже, для линейной и обратно пропорциональной зависимостей vp от r кинематическая вязкость несжимаемой жидкости в уравнениях Навье—Стокса тождественно обращается в нуль. Поэтому, казалось бы, вихрь Рэнкина может существовать, не затухая, и в вязкой несжимаемой жидкости.
Но в точке излома зависимости азимутальной скорости от r при r = Ео ее вторая производная бесконечна, что формально соответствует нефизическому случаю бесконечной кинематической вязкости жидкости в этой точке (см. ниже). На самом деле вихри, возникающие в реальных вязких жидкостях и газах, имеют плавные (без изломов) профили скоростей и затухают со временем за счет диссипации кинетической энергии. Так обстоит дело с вихрями в так называемых консервативных, замкнутых системах, в которых кинетическая энергия вихревого движения за счет конечной вязкости постепенно переходит в тепло, что приводит к росту энтропии системы. Совершенно иная ситуация с затуханием может возникать в открытых системах со стоком и неограниченным притоком вещества из окружающей среды.
В случае воронки в сосуде формируется затопленная струя с радиусом у дна порядка радиуса отверстия, в которое вода вытекает под действием силы тяжести с возрастающей вертикальной (продольной, аксиальной) скоростью vz, направленной вниз вдоль оси z (рис.3). На место вытекающей воды из внешнего объема в струю поступают новые порции воды благодаря сходящимся радиальным (поперечным) потокам, движущимся со скоростью v, < 0. Скорости Vz и Vr связаны между собой уравнением непрерывности для несжимаемой жидкости (т.е. условием, что среда остается сплошной при всех своих движениях), которое в цилиндрических координатах для аксиально-симметричного течения имеет вид:
д Vr Vr dVz
+ — + = 0. д r r dz
(1)
Если выбрать координатные зависимости для Vr и vz внутри сердцевины вихря в простом виде V, = -рг и vz = ах, где а и в — некоторые парамет-
О.
Рис.2. Распределения азимутальной скорости (а) и давления (б) в вихре Рэнкина.
ры, постоянные или зависящие от времени (см. ниже), уравнение (1) в области г < Ко будет выполняться при условии а = 2р. Во внешней области г > Ко гидродинамические скорости предполагаются имеющими вид рг = -$К0/г и = 0, так что уравнение (1) выполняется тождественно.
Как видим, радиальная скорость непрерывна на границе сердцевины вихря (хотя и претерпевает излом), тогда как аксиальная скорость при хф 0 изменяется скачком. Такой скачок при г = Ко, линейно зависящий от х, вообще говоря, неустойчив. Эта неустойчивость, называемая неустойчивостью тангенциального разрыва скорости [1], приводит к тому, что сколь угодно малые поверхностные возмущения (флуктуации) скорости и давления на границе движущихся с разными скоростями жидкостей нарастают во времени по экспоненциальному закону. В результате на нелинейной стадии развития неустойчивости возникает турбулентная структура в виде почти периодической цепочки вихрей, получившей симпатичное название «кошачьи глазки» [3]. В таком квазистационарном турбулентном приповерхностном слое происходит размытие скачка аксиальной скорости и излома радиальной и азимутальной скоростей, что обеспечивает их плавную радиальную зависимость. Однако, как будет видно из дальнейшего, на границе сердцевины вихря скачок (разрыв) скорости может нарастать во времени, что приводит к неожиданным и до сих пор детально не изученным эффектам.
Для азимутальной компоненты V. гидродинамической скорости несжимаемой жидкости, принимающей участие в аксиально-симметричном вихревом вращении, уравнение Навье—Стокса в цилиндрических координатах имеет вид [1]:
Э V. Э t
+ V,
Э V. Э г
,. г
(ЭЧ
( Э г2
1
Э V. Э г
.(2)
жидкости), а третье соответствует гидродинамической локальной силе Кориолиса во вращающейся жидкости в присутствии радиального потока со скоростью V,. Внутри сердцевины вихря (где Vг = -вг и V. = юг) конвективная и кориолисова силы в точности равны друг другу по величине и направлению, а вне сердцевины (где обе скорости обратно пропорциональны радиусу) силы в точности компенсируют друг друга.
С другой стороны, линейная радиальная зависимость азимутальной скорости в области г < Ко и ее обратно пропорциональная зависимость от г в области г > Ко приводят к тождественному обращению в нуль правой части уравнения (2), которая описывает кинематическую вязкость враща-
Второе слагаемое в левой части уравнения описывает так называемую нелинейную конвективную силу (в расчете на единицу плотности
Рис.3. Схема образования водяной воронки в ванной со стоком.
V
+
г
ющейся несжимаемой жидкости. При этом излом Vр(г) в точке г = К0 должен приводить к скачку первой производной по , и к бесконечному разрыву второй производной, чего в реальных условиях, как уже упоминалось, в приповерхностном турбулентном слое не происходит.
Бурная жизнь воронок и смерчей
Обращение кинематической вязкости в нуль в уравнениях Навье—Стокса при г < К0 и г > К0 означает, что вихрь с указанной выше структурой поля скоростей удовлетворяет упомянутому выше принципу минимального производства энтропии, который эквивалентен условию минимальной скорости перехода кинетической энергии в тепло. Иными словами, такой вихрь сравнительно легко зарождается, слабо затухает и может существовать длительное время при поступлении из внешней среды относительно небольшого количества энергии, которое компенсирует ее диссипацию (т.е.переход в тепло) в тонком поверхностном слое. По-видимому, к этому типу вихрей принадлежит и упоминавшееся Большое Красное Пятно на Юпитере.
С учетом вышесказанного уравнение (2) в обл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.