ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2009, том 28, № 12, с. 81-83
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА НАНОМАТЕРИАЛОВ
УДК 530.12
вклад электрон-фононного взаимодеиствия в проводимость углеродной нанотрубки
© 2009 г. Ю. И. Сезонов, А. А. Ульдин
Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)
E-mail: sezonov@miem.edu.ru Поступила в редакцию 29.07.2009
Изучен вклад электрон-фононного взаимодействия в проводимость углеродной нанотрубки. Получены аналитические формулы, описывающие зависимость проводимости нанотрубки от температуры, скорости звука, радиуса нанотрубки и линейной концентрации электронов.
ВВЕДЕНИЕ
Углеродные нанотрубки являются одним из наиболее перспективных в технических приложениях классов новейших материалов [1]. Устройства преобразования информации, такие как диод, полевой транзистор, электроакустическая головка, фотоэмиттер и др., выполненные на нанотрубках, в ближайшей перспективе заменят существующие элементы всевозможных электронных схем от простейших датчиков до суперкомпьютеров [2, 3]. Широкие возможности применения нанотрубок обусловлены многообразием их физических свойств, а также зависимостью этих свойств от геометрии и, следовательно, их предсказуемостью и контролируемостью. Теоретическое исследование электропроводности нанотрубок ограничивается в основном баллистическим режимом [4]. Нарушение баллистического характера проводимости связано как с наличием акустических фононов, так и со структурными дефектами, на которых происходит рассеяние электронов проводимости. Тем самым снижение подвижности электронов с ростом температуры обусловлено ростом концентрации акустических фононов, а также структурных дефектов. Характерное значение длины свободного пробега электрона относительно упругого рассеяния, оцененное на основании экспериментальных данных, составляет порядка 1 мкм, что можно рассматривать как верхний предел длины однослойной нанотрубки с баллистическим режимом [5].
В настоящей работе исследован вклад элек-трон-фононного взаимодействия в проводимость намагниченной углеродной нанотрубки.
ТЕОРИЯ
В приближении эффективной массы волновая функция и энергия электронов на цилиндриче-
ской поверхности во внешнем продольном магнитном поле имеет вид [6]
V«, p3 (ф, ^) =
exp 1 (nhф + рзz) .п .
42 nRL
E(n, p3) = si n + 2 + .
3 1 Ф,/ 2 m*
(1) (2)
В (1) и (2) приняты следующие обозначения: п = 0, ±1, ±2, ... — азимутальное квантовое число, Ф = пЯ2Н — магнитный поток через сечение цилиндра радиусом Я, Ь — длина цилиндра, Ф0 =
2 п с й й
= - — квант магнитного потока, б =
2m*R2
энергия размерного конфайнмента, е — заряд электрона, т* — эффективная масса электрона.
Колебания решетки создают дипольный электрический момент:
P = —--рехр 1( qr - ю г),
где О0 — площадь ячейки, 1е — заряд иона, Г — вектор поляризации, О — амплитуда колебаний иона, q — волновой вектор, N — число ионов кристалла. В дальнейшем мы рассматриваем только звуковые колебания, для которых q и О параллельны.
В результате дополнительная энергия элек-трон-фононного взаимодействия описывается формулой:
У(г) = V Б^ехрI(qr - юг),
n 8nZe ,
где D = -- — потенциал деформации.
Q0 q
82
СЕЗОНОВ, УЛЬДИН
Р/Ро
0.15
0.10
0.05-
1 2 3 4 5
Т, К
График зависимости фононного вклада в сопротивление нанотрубки от температуры. р0 — нормировочный множитель, радиус нанотрубки Я = 10-9 м, им-
пульс Ферми рр = 10 = 104 м/с.
-26
кг • м/с, скорость звука V0 =
®k, k' = p з Рз + 4з ) = £
4з
1
(л„„VT- i
Jqe
d< k> = dt
£ ( k' - k )®k,-<|>,
(4)
где т — параметр, называемый временем релаксации.
Решение этого уравнения имеет вид
<k>(t) = <k>(0)exp(-T) ,
a =
Nte\ m *
С учетом (3) и (4) для обратного времени релаксации получаем следующее представление:
1 = C |d q
Ql
Г2 2 РЫ QL + Pf
-1
exp (
(5)
ql+pF) -1
J0( RQl ),
где рР — импульс Ферми продольного движения электронов для нулевой подзоны энергии поперечного движения электронов, У0 — скорость звука, а Т — температура нанотрубки. Константа С, явный вид которой мы здесь не приводим, определяется упругими свойствами нанотрубки и линейной концентрацией электронов.
В случае высоких температур:
VoPff T
« 1,
Используя метод вторичного квантования для вероятности квантовых переходов электрона из
состояния к = (р3, п) в состояние к' = (р3, п') в процессе рассеяния на фононе с импульсом q = (#±, ^3) можно получить следующее представление:
при помощи преобразования Меллина [8] из (5) находим следующую асимптотическую формулу:
T
voPf
ln
- Y) + ( ln
- 2y ++ ...'
(3)
x /-n(qR)sj^3 + -Q2- + s((n'2 - n2) + 2- n)t
[ m 2m Г ф0 Jj
где p3 = p3 + q3, J„ _ „-(x) — функция Бесселя, M — масса иона, qL — поперечный импульс фонона.
Для вычисления электрического сопротивления металлов воспользуемся методом времени релаксации [7]. Скорость хаотизации импульса в рамках этого метода определяется формулой:
где р = ррЯ, у — постоянная Эйлера.
Здесь мы приведем аналитические формулы, описывающие зависимость проводимости нано-трубки от температуры, скорости звука, радиуса нанотрубки и линейной концентрации электронов.
В предельном случае, когда выполняется условие ЯТ
Vo
< 1,
из (5) находим следующую асимптотическую формулу:
- = -C Iln|1 - e~a\
a
(6)
где введен параметр
a=
VoPf
T
В предельных случаях относительно низких и промежуточных температур из (6) получаем
=C
причем продольная проводимость нанотрубки связана со временем релаксации формулой
—t— exp (- VPf) , VoPf Г t
a > 1
T-ln Г m, VoPf « T « V
ln
VoPf v t j
R
График зависимости проводимости нанотруб-ки от температуры, рассчитанный по формуле (5)
x
o
x
x
ВКЛАД ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
83
показан на рисунке. Отметим, что в области высоких температур проводимость нанотрубки линейно зависит от температуры. Этот результат согласуется с результатом работы [9], в которой приведены численные расчеты проводимости с учетом хиральности для некоторых типов нано-трубок, и отмечается, что при относительно высоких температурах эта зависимость линейна и не зависит от хиральности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lijima S. // Nature. 1991. V. 5. P. 354.
2. Futaba D.N. et al. // Nature Mater. 2006. V. 5. P. 987.
3. Lucci M. et al. // Sensors Actuators B. 2005. V. 111— 112. P. 181.
4. Carbon Nanotubes: Synthesis, Structure, Properties, and Applications / Eds. M.S. Dresselhaus, G. Dressel-haus, P. Avouris. Berlin: Springer, 2001.
5. Елецкий А.В. // УФН. 2009. Т. 179. № 3. С. 232.
6. Эминов П.А., Сезонов Ю.И., Альперн А.В., Сальников Н.В. // ЖЭТФ. 2006. Т. 130. Вып. 4(10). С. 724.
7. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. М.: Наука, 1979.
8. Бейтман Г., Эрдейи А. Таблица интегрального преобразований. М.: Наука, 1969. Т. 1.
9. Ando T. // Phys. Rev. B. 2002. V. 65. P. 235.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.