МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2014
УДК 624.07:534.1
© 2014 г. Л. Д. АКУЛЕНКО, С. В. НЕСТЕРОВ
ВЛИЯНИЕ ДЕФЕКТА МАССЫ НА ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ
Исследована задача влияния дефектов сложной формы на собственные частоты и формы колебаний упругих систем. Установлены на примере стержня общие свойства дефектов различной физической природы: массы, упругости и поперечного сечения. Введены понятия поврежденности и критерий, позволяющий проводить дефектоскопию методом неразрушающего контроля. Подробнее решена задача для свободного стержня, содержащего дефект массы. На основе резонансного метода проведено высокоточное экспериментальное определение дефекта массы, подтверждена эффективность разработанного численно-аналитического и экспериментального подходов к исследованию свойств упругих систем с дефектами.
Ключевые слова: упругая система, дефекты, стержень, дефект массы, собственные частоты и формы колебаний, резонансный метод, экспериментальная дефектоскопия, критерий поврежденности.
1. Постановка задачи. Исследования собственных колебаний неоднородных систем с распределенными параметрами со сложным распределением массо-инерционных и упругих характеристик представляют существенный интерес в научно-познавательном, общетеоретическом и прикладном аспектах [1—8]. Относительно проще могут быть изучены спектры и формы прямолинейных стержней, содержащих различные дефекты: инерционные, жесткостные, геометрические и другие [2, 3]. При численно-аналитических и экспериментальных исследованиях таких объектов требуется значительные априорные данные, которые должны быть получены на начальном этапе (типы дефектов, их количество, формы, диапазон значений мод колебаний). Более того, необходимы эффективные высокоточные численно-аналитические алгоритмы вычисления собственных частот и форм колебаний неоднородных упругих систем (с переменными параметрами) [2, 3]. Результаты этих исследований важны для установления и оценки поврежденности упругих объектов с целью их неразрушающего контроля.
Имеется ряд работ ([4—8] и другие), в которых исследуется влияние различных не-однородностей (инерционных, геометрических, жесткостных дефектов) на спектры и формы продольных и поперечных колебаний стержней. К недостаткам полученных результатов следует отнести грубый выбор аппроксимирующей модели — упрощенная форма дефектов, доступных математическому описанию и расчетам, а также весьма малое число сопоставлений теоретических и экспериментальных данных. Кроме того, отсутствуют критерии поврежденности и требования к экспериментам, в частности, к используемым образцам и измерительной аппаратуре.
Ниже численно-аналитическими и экспериментальными методами исследуются частоты и формы продольных колебаний стержней, имеющих дефекты, моделирование которых проводится специальным достаточно общим образом. Основным математическим объектом является задача Штурма—Лиувилля с переменными коэффици-
ентами и краевыми условиями Неймана [2, 3]. Граничные условия второго рода (свободные концы) более точно, чем другие, реализуются на практике [2]. Однако расчеты для достижения требуемой точности требуют большего числа итераций, чем для других граничных условий, например первого рода (защемленные концы стержня) [3].
Итак, в безразмерных переменных имеет место задача на собственные значения (частоты) и функцию (формы):
(p(x)u')' + Xr(x)u = 0; p(x) > p0 > 0, r(x) > r0 > 0, 0 < x < 1
u'(0) = u'(1) = 0 ( . )
Здесь неизвестными (искомыми) являются параметр А > 0 — собственное значение
(X = ю2, ю — частота) и u(x,X) — функция (u||u|| 1 — форма, ||u|| — норма с весом r(x)). Теория и методы решения задачи (1.1) изложены в курсах по функциональному анализу (см. монографию [3] и литературу к ней). Согласно (1.1) функцииp', r должны быть непрерывными. Если функция p непрерывна, но не дифференцируема, то задачу можно переформулировать в содержательных механических параметрах, полагая 9 = pu, а именно
0' = -Хr(x)u, u' = 0/p(x), 0(0) = 0(1) = 0 (1.2)
где 9 — силовая характеристика стержня.
Далее предполагается, что добротность колебательной системы достаточно высока для рассматриваемых мод. Тогда в качестве экспериментального подхода, позволяющего качественно установить наличие и количественно определить влияние дефектов на собственные частоты и формы, предлагается резонансный метод. С целью его тестирования требуется разработать конструктивную вычислительную методику решения задачи (1.1) (или (1.2)) для различных функций p(x), r(x), отличающихся от идеальных и отвечающих определенному классу дефектов.
Посредством анализа влияния реальных дефектов на измеренные в эксперименте собственные колебания предполагается выработать эффективный критерий "повре-жжденности" колебательной системы, т.е. алгоритм, имеющий "пороговый" вероятностный характер типа критерия Неймана—Пирсона [9—11]. Считается далее, что вероятностью "ложного срабатывания" можно пренебречь.
Отметим, что задача (1.1) имеет очевидное решение X 0 = 0, u0 = const, u0 = 0; аналогично для задачи (1.2) имеем X 0 = 0, u0 = const, 0 = 0. Оно соответствует перемещению стержня как целого с постоянной скоростью (без упругих деформаций).
2. Типы механических дефектов и их математическое моделирование. Для упрощения разрабатываемой методики, допускающей существенные обобщения, рассматривается ситуация, когда невозмущенная, т.е. не имеющая дефектов колебательная система с распределенными параметрами имеет вид прямолинейного однородного стержня (пружины, бруса, вала, струны), описываемого уравнениями (1.1) или (1.2) при постоянных коэффициентах p, r:
p(x) = p0 = 1, r(x) = Г0 = 1
®« = ■sf^n = nn, un(x) = cn cos a„x, cn = const, n = 0,1,2,...
Проведем классификацию возможных дефектов, обусловленных различными механическими (физическими) факторами [2]. Будем их считать достаточно малыми, допускающими применение метода возмущений и аддитивное представление выражений для коэффициентов p(x), r (x). Рассмотрим некоторые типы дефектов, допускающих механическую интерпретацию и практическую реализацию в лабораторных экспериментах.
1. Дефект (недостаток или избыток) погонной массы (без возмущения жесткости):
р(х) = 1, г(х) = 1 + ц(х), |ц| < 1, 0 < х < 1 (2.2)
Функция ц в (2.2) достаточно гладкая, не обязательно знакоопределенная. Считается, что она допускает высокоточную малопараметрическую интерполяцию (см. ниже).
2. Дефект погонной жесткости или упругости (недостаток — отжиг, избыток — проковка):
р(х) = 1 + v(х), М < 1; г(х) = 1; 0 < х < 1 (2.3)
Функция V в (2.3), как и ц в (2.2), может быть знакопеременной. Переменность функции p может быть обусловлена вариациями модуля Юнга материала стержня. Как и для функции ц, для возмущения V можно найти малопараметрическую аппроксимацию (по предположению).
3. Дефект поперечного сечения при постоянной объемной плотности и модуля Юнга материала
р(х) = 1 + ст(х), г(х) = 1 + ст(х), |ст| < 1, 0 < х < 1 (2.4)
Свойства функции а полагаются аналогичными свойствам функций ц, V, перечисленным выше.
4. Возможны совмещения дефектов, описанных в п. 1—3, в различных сочетаниях, а также наличие неидеальностей других типов (например, поправки Релея [3]), наличие внешней упругой среды (основание Винклера). Далее для определенности рассматривается случай 1. Он интересен возможностью реализовать процедуру динамического "взвешивания" объектов в условиях, затрудняющих или препятствующих статическому определению массы, что представляет важную прикладную проблему (см. далее).
3. Исследование собственных колебаний в случае дефекта массы. Рассмотрим задачу на собственные частоты и формы продольных колебаний прямолинейного стержня высокой добротности, которая может в экспериментах достигать величин 104—105. Для проведенных расчетов дефект погонной плотности массы в (2.2) моделировался трех-параметрической функцией вида
, ч ас с 1
ц(х) =
a1 + (x - b)2 a 1 + (z - d)2 (3.1)
0 < x < 1; z = x/a, d = b/a, 0 < b < 1
где содержательные в механическом аспекте (см. далее) параметры a, b, c выбираются специальным образом. Для представляющего практический интерес случая внутреннего экстремума (по x) функции ^ (p.(b) = c/a) значение параметра b принимает значения, указанные в (3.1); в силу симметрии задачи относительно середины стержня x = 1 / 2 без ограничения сущности можно допустить, что 0 < b < 1/2. При разных знаках параметров a, c естественно считать, что |c/a| < 1, т.е. c/a > -1; тогда выполняется физическое условие г > 0 для всех 0 < x < 1.
Вычислим теперь интегральный дефект массы стержня согласно выражению (3.1)
1
= | p.(x)dx = c (arctg1—b + arctg b )
(3.2)
0
о < | т < |с| п
Далее рассматривается, в основном, случай единичного дефекта, описываемый согласно (1.1), (2.1), (2.2), (3.1), (3.2). Он доступен конструктивному теоретическому и
экспериментальному анализу. Если имеется несколько дефектов указанного типа, то формулы обобщаются естественным образом
N
ц(х) = X 2 йкСк-1, N > 1 (3.3)
к=1 ак + (х - Ьк)
Здесь параметры ак, Ьк, ск подлежат определению на основе данных измерений резонансных частот и форм колебаний. Конструктивный анализ дефектов в случае (3.3) при N > 2 существенно затруднен и требует значительно большей априорной информации.
Заметим, что наряду с Паде-аппроксимацией дробно-полиномиальными выражениями могут быть рассмотрены другие малопараметрические, например тригонометрические, экспоненциальные и их суперпозиции семейства функций.
4. Конструктивные методы вычисления собственных частот и форм колебаний. Классическая задача Штурма—Лиувилля (1.1) (или (1.2)) может быть представлена в эквивалентной форме изопериметрической вариационной задачи с дополнительными условиями ортогональности с весом г(х) вида [2]
1 1
/[и] = |р(х)и,2йх ^ шт, Ф[и] = (и, и)г = |г(х)и2йх = 1 (4 1)
0 0
и = и„(х), п = 1,2,..., X„ = 1/2/[и„], (и„, ит) = 5„т
Для ее решения широко применяются грубые численные методы (конечных разностей, стрельбы) и аналитические методы функционального анализа (Бубнова—Галер-кина, Релея-Ритца, малого параметра и др.) [3].
Авторами разработаны эффективн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.