ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 1, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. А. Б. Журавлев, В. И. Карев, Ю. Ф. Коваленко, К. Б. Устинов
ВЛИЯНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПОРОДЫ В ОКРЕСТНОСТИ СКВАЖИНЫ
Исследуется влияние деформационно-прочностных и фильтрационных свойств породы и сжимаемости фильтрующейся жидкости на размер зон нарушенной структуры породы, возникающих в окрестности нефтяных и газовых скважин при понижении давления на их забое. Процесс фильтрации рассматривается в рамках стационарной постановки задачи, что позволяет исследовать общий случай. Показано, что при нестационарном течении напряжения на границе зоны нарушенной структуры и, как следствие, ее размер не зависят от характера распределения давления в пласте, а определяются лишь давлением фильтрующейся жидкости на границе этой зоны. Установлено, что увеличение сжимаемости фильтрующейся жидкости приводит к росту размера зоны нарушенной структуры.
Рассматриваемые вопросы исследовались ранее [1—8] применительно, в основном, к разработке нефтяных месторождений, однако аналогичные проблемы актуальны и при добыче других видов углеводородного сырья — газа, газового конденсата, высоко газированной нефти и др., свойства которых существенно различаются по плотности, вязкости и зависимости от давления. Влияние механических параметров таких сред на напряженно-деформированное состояние в окрестности скважины изучено далеко не достаточно. Также не исследована в полной мере зависимость размера возникающих вблизи скважин зон нарушенной структуры (ЗНС) от прочностных и фильтрационных характеристик породы в этих зонах.
С целью аналитического исследования указанных выше явлений принимается ряд упрощений, вполне обоснованных с практической точки зрения: задача решается в осесимметричной постановке, что вполне оправданно, поскольку мощность продуктивных пластов на порядки превышает радиус скважин; проницаемость породы в ЗНС и упругой зоне считается различной, однако внутри каждой из зон она не зависит от напряжений; процесс фильтрации в скважину рассматривается в стационарном приближении. Как показано ниже, решения для стационарного и нестационарного распределений давления совпадают в двух предельных случаях: когда проницаемость породы в ЗНС значительно больше или значительно меньше исходной.
1. Расчет напряженного состояния и размера зоны нарушенной структуры в окрестности скважины без учета фильтрации. Рассмотрим распределение напряжений в окрестности вертикальной скважины радиуса Ямп пробуренной на глубину Н. Пласт будем считать изотропным и однородным. Направим ось I по оси скважины, а в плоскости пласта (он считается горизонтальным) введем полярные координаты г, 0.
Горные породы, слагающие коллекторы нефтяных и газовых месторождений (песчаники и известняки), имеют в основном зернистую структуру. Действующие в них напряжения аг, ае, частично воспринимаются давлением р фильтрующейся жидкости и частично напряжениями £г, $е, передающимися через контакты между зернами породы (эффективными напряжениями), причем [9, 10]
а г = £ - Р (1 - 5), ае = £ 0 - р (1 - 5), а 1 = £ - Р (1 - 5)
(1.1)
где 8 — доля поверхности зерна, занятая площадками контакта. Для большинства пород 8 1, поэтому в дальнейшем для простоты будем полагать, что 8 = 0.
В исходном состоянии пласты нефтяных и газовых месторождений находятся в состоянии всестороннего сжатия горным давлением (сжимающие напряжения считаем отрицательными). При отсутствии выраженных геологических нарушений вертикальное горное давление определяется весом вышележащих горных пород. Боковое горное давление в общем случае может отличаться от вертикального, однако если порода, слагающая пласт, достаточно пластична, то за геологические времена все напряжения в пласте выравниваются, так что можно считать горное давление в ненарушенном пласте одинаковым во всех направлениях.
В соответствии с этим исходное напряженное состояние пласта будем рассматривать как состояние равномерного всестороннего сжатия горным давлением Q = —yh, где у — средний удельный вес вышележащих пород, т.е.
= = а0 = Q, S0 = S0 = S0 = Q + p0 (1.2)
Здесь p0 — начальное пластовое давление фильтрующейся жидкости.
Так как мощность пласта во много раз больше диаметра скважины, то можно считать, что пласт находится в условиях плоской деформации. В этом случае из уравнения равновесия, записанного для рассматриваемого осесимметричного случая, учитывая равенства (1.1) при 8 = 0, имеем
ds+sr - Sq = dp (13)
dr r dr
Здесь и в дальнейшем используется разность между давлением p и начальным пластовым давлением p0, т.е.
Р = Р - Po (1.4)
Очевидно, что в окрестности скважины напряженное состояние неравномерное и появляются касательные напряжения т = (<зг — сте)/2, величина которых определяется в основном разностью между горным давлением и давлением в скважине. Кроме того, при наличии фильтрации в скважину в пласте возникает градиент давления фильтрующейся жидкости, в результате чего скелет породы будет дополнительно нагружен силами, играющими роль массовых сил.
Когда касательные напряжения в некоторой области в окрестности скважины достигают предельной величины, порода в этой области начинает растрескиваться и разрушаться, теряя свойство упругости. Такую область называют зоной нарушенной структуры (ЗНС), где прочностные свойства породы и ее проницаемость могут существенно отличаться от исходных [11]. Далее верхним индексом f будем отмечать все характеристики породы в ЗНС, а верхним индексом е — в упругой зоне.
Найдем напряжения в ЗНС.
Во многих случаях несущая способность горных пород обусловлена в основном сопротивлением сдвигу и отрыву [10]. Тогда критерий местного разрушения можно представить в виде критерия Кулона—Мора, согласно которому условие достижения породой предельного состояния на площадке с нормалью n имеет вид
Tn = Т + \Sn\ tgР
где Sn и тп — нормальное и касательное напряжения на площадке, х5 — коэффициент сцепления и р — угол внутреннего трения породы.
Максимальное значение разности х„ — |£n| tgр достигается на площадках, составляющих с осью 9 = const угол я/4 — р/2, и оно равно
К - & I i К+ti I tg р
2 cosр 2
Учитывая, что сжимающие напряжения считаются отрицательными, отсюда получаем условие локального предельного напряженного состояния
f - SQ = -af( f - H); af = -^nf, H = f ctg pf
1 - sin р
(1.5)
Рассмотрим сначала случай, когда фильтрация в пласте отсутствует, т.е. давление фильтрующейся жидкости вдали от скважины p0 равно давлению в скважине рк и в уравнении равновесия (1.3) правая часть исчезает. Подставляя выражение (1.5) в уравнение (1.3) с нулевой правой частью при Sr = £, Sе = £0 и интегрируя при условии
Sr = 0 при r = Rw
находим
sf = H
1
af'
f = H
1 - (af + 1)[ R
af
(1.6)
(1.7)
Второе равенство (1.7) следует из первого и соотношения (1.5).
Вне ЗНС порода деформируется упруго. Уравнение равновесия для напряжений
£, £0 в скелете породы в упругой зоне имеет вид (1.3) (с нулевой правой частью) при Sr = £, Sе = £0 . Тогда для напряжений в упругой зоне получим [12]
£ = - ^ + С, £0 = ^ + С г г
Постоянные C и D, а также радиус ЗНС Я* находим из следующих условий: 1) вдали от скважины
£ = 0 при г ^да; 0 = 0 + Ро
(1.8)
(1.9)
2) на границе ЗНС напряжения £ и £0 удовлетворяют условию предельного равновесия, аналогичному (1.5) при замене индекса/на индекс е, а радиальные напряжения непрерывны:
£ = £г при г = Я *
В случае, когда фильтрация в скважину отсутствует, условие 1 дает £ = + 0; 0 = 0+р*
(1.10)
Постоянную Б находим из условия 2, из которого вместе с равенствами (1.8) для напряжений в упругой зоне следует
% - 2 = -(%0 - 2) = -(2 - Не) ¡ап р
Я
(1.11)
Радиус ЗНС Я* находим из соотношений (1.10), (1.7) и (1.11):
я*
■ - 2 - (2 - н ) р е Н
1/а
(1.12)
2. Учет влияния фильтрации несжимаемой жидкости. Рассмотрим вопрос о влиянии фильтрации жидкости в скважину на размер ЗНС, внутри которой поведение породы подчиняется закону Кулона—Мора.
Для распределения давления жидкости в пласте при наличии двух зон разной проницаемости (ЗНС при г < Я* и упругой зоны при г > Я*) при установившемся течении имеем [13]
Р (Г) = Ри + «11
п
Я
Я
Р (г) = Ро - а11п —, г
йр = а
йг г
. е
йр = а_1
йг г
при г < Я *
при г > Я *
(2.1)
(2.2)
где
к?а{ = кеа1 = Дри( ±1пЯ* + ±1пЯ
1 1 ^"У Яи ке Я
и. ЯЛ-1
(2.3)
Здесь рК — давление в скважине, АрК = р0 — рК — депрессия в скважине, Яс — радиус контура питания, на котором давление практически равно пластовому давлению р0, К и К — проницаемость породы в ЗНС и в упругой зоне.
В ЗНС напряжения в скелете породы связаны соотношением (1.5). Из уравнения равновесия (1.3) и второго уравнения (2.2) при учете равенства (1.4) получаем
- а-? = а - ан
йг "
гг
Отсюда при условиях (1.5) и (1.6) получаем
5г = Н1
1 "'Г
, Н = Н - а1; 5в = (1 + а?) 5Г - ан а
(2.4)
(2.5)
Вне ЗНС порода деформируется упруго, так что в ней связь напряжений и деформаций определяется законом Гука
% = Хе + 2 цбг, = Хе + 2 цб0
(2.6)
где X и ц — постоянные Ламе, а компоненты деформаций ег и Ее в радиальном и окружном направлениях выражаются через радиальное смещение и посредством равенств
йи и йи и ,, „ч
бг = -г, е0 = -, 6 = 6 г + 60 = -г- + - (2.7)
йг г йг г
Тогда из уравнения (1.3) и соотношений (2.6) и (2.7) получаем уравнение
(X + 2ц)й (— + и] = й-1 (2.8)
йг Vйг г] йг
решив которое, находим для напряжений в скелете в упругой зоне следующие выражения, справедливые при произвольных распределениях порового давления в этой зоне, в том числе отвечающих неустановившимся течениям:
£ = С - ^ + р'(г) - /(г), £0 = С + ^ + -^-р'(г) + /(г) (2.9)
г г 1 — V
где С и D — постоянные интегрирования и
г
/(г) = ^т-2-1 [ г^р'( г1) йг1 (2.10)
1 - V г2 J
Я*
Для стационарного распределения давления подстановка второго выражения (2.2) в правую часть уравнения (2.8) при учете равенства (1.4) дает уравнение, интегрируя которое при учете соотношений (2.6) и (2.7), находим
£ = С - ^ +-1-а\Ыг, £0 = С + ^ - -А—2^а1 +-1-а^ (2.11)
г г2 2 (1 - V) 1 я; 0 г2 2 (1 - V) 1 2 (1 - V) 1 Яс
Пост
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.