ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 4, с. 624-633
УДК 519.634
ВЛИЯНИЕ КУБИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ НА СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЕНДЖАМИНА-БОНА-МАХОНИ
© 2013 г. С. П. Попов
(119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: sppopov@yandex.ru Поступила в редакцию 10.04.2012 г.
Рассматриваются результаты численного моделирования солитонных решений уравнения Бенджамина—Бона—Махони с квадратичным и кубическим нелинейными слагаемыми. Обнаружены солитоны предельных амплитуд и исследованы их взаимодействия с другими разновидностями солитонов. Приведены оценки неупругих эффектов. Библ. 13. Фиг. 6.
Ключевые слова: уравнение Кортевега-де Вриза, уравнение Гарднера, уравнение Бенджамина—Бона—Махони (уравнение ВВМ), уравнение КЬЩ уравнение Е', предельные солитоны, кинки.
Б01: 10.7868/8004446691304011Х
1. ВВЕДЕНИЕ
Для описания гравитационных волн в тонких слоях жидкости существует много моделей, отличающихся областями применимости, которые определяются нелинейными и дисперсионными свойствами сред, а также амплитудами и длинами волн изучаемых возмущений.
Первым модельным уравнением нелинейных волновых движений в жидкости стало уравнение Кортевега-де Вриза (КёУ):
Щ + их + (и2)х - ит =
положившее начало исследованиям полностью интегрируемых уравнений, имеющих в качестве основных решений уединенные бегущие волны — солитоны. Они описывают асимптотическое поведение волновых возмущений на больших временах и обладают свойством полностью восстанавливать свои формы после взаимодействий.
В дальнейшем было найдено так называемое обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза (шКёУ)
и, + их + и(и2)х - иххх = 0,
в котором присутствует кубическая нелинейность, также являющееся полностью интегрируемым и содержащее солитонные решения. Позднее в качестве модельного уравнения для распространения волн в двухслойной жидкости со скачком плотности на границе было предложено уравнение Гарднера
и, + их + (и - 1)(и2)х - иххх = 0,
сочетающее квадратичную и кубическую нелинейности. Оно принадлежит к полностью интегрируемым уравнениям и имеет солитонные решения. В [1], [2] приведены исчерпывающие данные о свойствах солитонных решений уравнения Гарднера. Примечательно, что сочетание квадратичной и кубической нелинейностей приводит к появлению нового вида солитонов — предельным солитонам. Амплитуда их ограничена на уровне единицы. Они могут иметь любую ширину. В связи с этим возникают новые формы их взаимодействий с солитонами других амплитуд.
Развитие моделей с привлечением высших членов разложений приводит не только к изменениям нелинейных членов, но и к усложнению дисперсионных составляющих. Как пример модели с усложненной дисперсией можно привести уравнение Камассы—Холма
U - Uxxt = -2kux - (b + 1)uux + bUxUxx + UUxxx.
Оно является также полностью интегрируемым уравнением и при k = 0, b = 2 имеет простые по форме решения в виде пиконов — заостренных солитонов
u(x, t) = c exp(-|х - ct|).
При всем многообразии типов односолитонных решений полностью интегрируемые уравнения относительно просто описывают взаимодействия солитонов. Столкновения происходят упруго, т.е. без образования дополнительных волн, и затем солитоны полностью восстанавливают свои формы. Единственным параметром, который может охарактеризовать данное столкновение, является сдвиг фаз солитонов относительно их невозмущенного движения. Обычно больший солитон ускоряется в момент непосредственного контакта, а меньший замедляется.
Для описания тех же волновых процессов почти одновременно с уравнениями KdV и mKdV было предложено (см. [3]) неинтегрируемое уравнение BBM
Ut + Ux + (U2)x - Uxxt = 0.
Оно имеет ту же форму нелинейности, что и KdV, но линейная дисперсия иная. Следствием этого является его неинтегрируемость методами, применяющимися для упоминавшихся выше полностью интегрируемых уравнений. Оно имеет три закона сохранения.
Часто исследуется упрощенный вариант этого уравнения без слагаемого ux — уравнение волн равной ширины EW
Ut + (U2)х - Uxxt = (1)
Оно было предложено в [4] в качестве модельного для описания тех же явлений, что и уравнение BBM. По аналогии с mKdV можно представить обобщенное уравнение mEW:
Ut + u(u2)x - Uxxt = 0, (2)
в котором присутствует кубическая нелинейность.
Исследуемое в настоящей работе уравнение является объединением уравнений EW и mEW, в результате получается уравнение Гарднера, в котором линейная дисперсия uxxx заменена на uxxt:
ut + (и - 1)(u2)x - Ux = 0. (3)
Этот шаг имеет существенные последствия. Во-первых, увеличивается количество возможных видов солитонных решений. Во-вторых, взаимодействия перестают быть упругими и появляются неупругие эффекты, формы проявления которых разнообразны. Приведем известные свойства уравнений, близких к исследуемому. Они будут полезны при интерпретации приводимых далее численных результатов. Для уравнений (1), (2) существуют аналитические способы нахождения решения в виде бегущей волны. В работах [5] — [9] приведены описания методов и результаты для более общих уравнений. В частности, для уравнения eEW со степенной нелинейностью
Ut + а(ир)их - mUxxt = 0
односолитонные решения имеют вид
u(x, t) = (p + 1)(p + 2)/(2a) cs ec h2 [p/2(l/m)1/2(x - ct - x0)]1/p. (4)
Для этого уравнения имеются три закона сохранения — интегралы по всему пространству в предположении равенства нулю решения на бесконечностях. Подынтегральные выражения
2 3
имеют вид и, и + тихих, и .
Из (4) следует, что в исследуемом уравнении (3) в пределе малых амплитуд, когда можно пренебречь кубической нелинейностью, солитонные решения принимают вид
u(x,t) = A sec h 2[k(x - ct - х0)], c = -A/l.5, k = 0.5.
Отличительной особенностью является независимость ширины солитона k от амплитуды и линейная зависимость от амплитуды скорости c. Солитоны могут быть обеих полярностей. По-
ложительные солитоны распространяются в отрицательном направлении, а отрицательные — в положительном.
При больших значениях решения квадратическая нелинейность в (3) становится малой и солитоны описываются формулой
u(x, t) = A sec h[k(x - ct - x0) ], c = mod(A), к = 1.
Отрицательные и положительные солитоны распространяются в положительном направлении.
Аналитические методы решения уравнений данной группы основаны на сведении их заменой x = x - ct к обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнениям, к которым применимы хорошо развитые аналитические методы (см. [5]—[9]). Но такой подход неприменим для описания солитонных взаимодействий. В этих случаях необходимы численные методы. Наиболее распространенными являются различные модификации метода Галеркина и метода коллокаций (см. [10]). В [11] приводится схема в конечных разностях, основанная на выполнении законов сохранения, и даны результаты классических тестовых расчетов уравнения BBM.
2. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
Обсуждаемые в данной работе решения уравнения (3) получены численным методом, в котором для вычисления пространственных производных применяются прямое и обратное преобразования Фурье, а интегрирование по времени проводится методом Рунге—Кутты четвертого порядка. Опыт применения данного численного подхода к уравнению BBM, а также к более сложным уравнениям Камассы—Холма и Холма—Хона, изложен в [12]. Расчеты проводились в двух различных схемных вариантах. В одном из них интегрирование по времени осуществлялось в координатном пространстве, а в другом варианте — в спектральном. Они отличаются алгоритмической реализацией, но дают очень близкие результаты. Интегрирование в спектральном пространстве предпочтительнее для уравнений, содержащих производные высоких порядков, поскольку в этом случае условия устойчивости менее жесткие. В исследуемых задачах за основной был принят алгоритм, использующий интегрирование в координатном пространстве.
Общее тестирование алгоритма проводилось воспроизведением известных аналитических солитонных решений уравнений BBM, EW, mBBM. При этом шаг по времени 0.01—0.0025, число гармоник Nk от 2048 до 8192, число расчетных точек Nx = 2Nk при обшей длине координатной области 200—600 единиц обеспечивали в классе аналитических решений точность до пятого или шестого знаков. Пример такого тестирования приведен в [12], где даны результаты расчетов взаимодействия солитонов уравнения BBM с амплитудами 3.0 и 6.0 и проведено сравнение с результатами из [11].
При втором способе тестирования, применяющемся в случае отсутствия аналитических решений, добиваются независимости решения (в пределах заранее установленной точности) от параметров применяемой численной схемы. В данном случае от числа спектральных компонент, величины временного шага и размера координатной области.
При численном моделировании решений солитонного типа необходимо добиваться точности определения амплитуд, форм и скоростей. В данных расчетах они вычисляются с точностью от 10-4 до 10-5. Того же порядка и значение фона, остающегося за солитонами. Отметим, что скорость и полуширина определяются по положению солитона в момент времени, когда значение фиксированной фазы (например, амплитуды или ее половинного значения) не обязательно попадает точно в узел расчетной сетки. Поэтому точность их вычисления меньше, чем точность проводимых расчетов. Однако эти величины в исследуемых далее случаях не имеют определяющего значения и поэтому не требуют уточнений, которые могут быть при необходимости проведены с помощью дополнительных обработок численных результатов. Для уточнения значения амплитуды была применена процедура интерполяции расчетных данных.
В работе решались задачи с начальными данными, приводящими к генерации солитонных волн различных типов. На границах выставлялись условия периодичности.
Как показал опыт, наиболее удобными для исследуемых задач оказались начальные данные, скомбинированные из распределений Гаусса с различными амплитудами и ширинами
2
G(x,0) = a exp[-(x - x0) /c], x = x(i) = dx(i - Nx /2), x0 = x(b).
Далее в тексте для этого распределения будет использоваться сокращенное обозначение
G(x, 0) = G (a, b, c).
u
1.2
1.0- _
0.8
0
0.6
1
3
0.4
2 | ,
0.2
J I
0
^-1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.