ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2007, том 43, № 1, с. 128-135
УДК 551.466.66:551.467
ВЛИЯНИЕ ЛЕДЯНОГО ПОКРОВА НА КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ
В ЗАМКНУТОМ БАССЕЙНЕ
© 2007 г. И. В. Стурова
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск, пр. акад. Лаврентьева, 15
E-mail: sturova@hydro.nsc.ru Поступила в редакцию 25.11.2005 г., после доработки 03.05.2006 г.
В рамках линейной теории длинных волн решена задача о влиянии ледяного покрова на сейшевые колебания жидкости в двумерном бассейне постоянной глубины. Определены собственные частоты и собственные функции сейшевых колебаний при различных граничных условиях на кромках льда: жесткое сцепление и свободные края. Исследованы вынужденные колебания жидкости и льда под действием движущегося возмущения атмосферного давления. Рассмотрено изменение напряжения изгиба льда и показана возможность взламывания припая.
1. ВВЕДЕНИЕ
Многие озера в Северном полушарии значительную часть года покрыты льдом. Так, например, озера Карелии находятся подо льдом более 6 месяцев [1], озеро Байкал - около 5 месяцев [2]. Однако гидродинамические процессы в водоемах, покрытых льдом, и обусловленные ими деформации ледяного покрова еще мало изучены.
В данной работе на примере наиболее простой модели замкнутого водоема исследовано поведение сплошного ледяного покрова и его влияние на свободные и вынужденные колебания жидкости.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим двумерный бассейн длины 2Ь и постоянной глубины Н, заполненный невязкой несжимаемой жидкостью с плотностью р. Предполагается, что в невозмущенном состоянии жидкость покоится. В линейной постановке поведение жидкости с учетом силы Кориолиса описывается системой уравнений
Эи _ 1Эр dt рЭх'
dw _ 1dp dt р dz'
дv , r 1 dp
~dt + fU _-~pTy'
д и д x
dv
dy
d-W _ 0
dz
(1)
направлена вертикально вверх. Вертикальные границы бассейна соответствуют значениям х = ±Ь.
На дне и боковых границах бассейна ставятся условия непротекания:
w _ 0 (z _ -H), и _ 0 (|x| _ L).
(2)
Сверху жидкость покрыта слоем льда постоянной толщины h и плотности рх. Лед моделируется тонкой упругой пластиной [3, 4]. Колебания ледяного покрова и жидкости возбуждаются внешним атмосферным давлением, независящим от продольной координаты у.
Двумерное уравнение изгибных колебаний ледяного покрова имеет вид
r)4Z г)2 Z
Dа-± + pih+ gpZ -Ро _ -P(x, t),
д x
д t
(3)
где и и V - горизонтальные компоненты скорости, направленные соответственно по нормали и по касательной к берегу, м - вертикальная компонента, р - давление в жидкости, / - параметр Кориолиса. Система координат расположена таким образом, что горизонтальная ось х перпендикулярна границам бассейна, плоскость хОу совпадает с верхней невозмущенной поверхностью жидкости, а ось г
где D = Е^/[12(1 - V2)]; Е, V - модуль упругости и коэффициент Пуассона льда; £ - возвышение поверхности раздела лед-вода; g - ускорение свободного падения; р0 = р(х, 0, ^ - гидродинамическое давление воды на нижней поверхности льда. Функция Р(х, 0 является заданной и описывает внешнее давление, действующее на лед. Более полно было бы моделировать лед вязкоупругой пластиной, что позволило бы описать затухание со временем из-гибно-гравитационных волн. Однако, как показано в [3], коэффициент затухания мал для низкочастотных волн и реальных значений времени релаксации деформаций льда. Поэтому рассматривается модель идеально упругой пластины.
Соотношение (3) является динамическим граничным условием при г = 0 для системы уравне-
ний (1). Кинематическое граничное условие имеет вид
д-
-г-2 = W
д t
(г = 0).
На кромках льда будем рассматривать два типа граничных условий:
1) жесткое сцепление льда с берегом (припай)
Z = ^ = 0 Z д^
(I x = L),
(4)
2) условия свободного края - равенство нулю изгибающего момента и перерезывающей силы
д_- = d_Z = 0
д x2 д x3
(I x| = L).
(5)
В предположении, что глубина жидкости в бассейне много меньше его горизонтального размера, используем теорию мелкой воды [5], согласно которой система уравнений (1) существенно упростится и в двумерном случае примет вид:
, ^ .i „ , , д21 дP
----7-fv + g дz + --ÁD -Т1 + Pih тт) = --—,
дu
д + 1-д. V d ээ-z
^x рдx V дx4
д Г
р д x'
дv , , „ д- , „дu „ — + fu = 0, ----- + H ----- = 0 дt дt дx
(6)
с граничными условиями (2), (4) или (5). В начальный момент времени ^ = 0) жидкость и лед находятся в состоянии покоя, атмосферное возмущение отсутствует:
u(x, 0) = v(x, 0) = Z(x, 0) = 0.
(7)
Далее перейдем к безразмерным переменным, отмеченным чертой сверху
(x, H) = L (x, H),
t = Lt,
f = .Ef,
Z = -, (u, v) = - L(u, v),
o ms
P=
P agp.
5 =
D
gp L
y = e-h
7 PL'
на). Будем искать периодические по времени решения системы уравнений (6) в виде
u (x, t) = U(x) sin юt, v(x, t) = F( x) cos юt, -(x, t) = n(x)cosюt.
Подставляя эти соотношения в уравнения (6) и граничные условия (2), (4) или (5), получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для функции U(x):
5UVI + (1- ую2) U" + (ю2- f2)U = 0
H
с граничными условиями
и =0 (| х| = 1), для жесткого сцепления
и = и" = 0 (I х| = 1) или для свободных краев
U"' = U = 0
(I x| = 1).
(8)
(9) (10) (11)
Уравнение (8) с граничными условиями (9)-(11) представляет собой задачу на собственные значения. Уравнение (8) удобно записать в виде
M [ U ] = XN [ U ], где X = ю2, а M и N - линейные операторы
(12)
M [ U ] = 5 UVI+ U "-4 U, H
U
N [ U ]=у U "-Hi. (13)
Здесь а - множитель, имеющий размерность длины. Ниже используются следующие безразмерные коэффициенты:
Эта задача является самосопряженной [6], вследствие чего все собственные значения положительные Хп > 0 (п = 1, 2, ...). Собственные функции образуют полную и ортогональную в обобщенном смысле систему
1 1
| и]Ы[ ип]ёх = | и}Ы[ ип]ёх = 0 (] Ф п), (14)
-1 -1
где и(х) и ип(х) обозначают собственные функции, соответствующие собственным значениям ^ и Хп.
Решение уравнения (8) можно искать в виде:
U (x) = ^ cn exp kn
(15)
3. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Сначала исследуем свободные длинные волны
при отсутствии внешнего возмущающего давле-
ния, поэтому Р(х, ^ = 0 (черта сверху далее опуще-
где кп определяются из решения уравнения
5 кб + (1- ую2 )к2 + (ю2- /2) /Н = 0.
Это уравнение имеет два чисто мнимых корня кх, 2 = ±г'М- и четыре комплексно сопряженных кор-
6
x
n = 1
ня 4 = а ± г'Р, ^^ 6 = - а ± г'Р, где ц, а, в > 0. При ю = / = 0 значения а и в равны
а = в = 2-1/25-1/4.
Далее удобно разделить собственные функции на симметричные и антисимметричные относительно плоскости х = 0. Для симметричных собственных функций и5(х) представление (15) удобно записать в виде
Ц^ х) = Ь 1 оо8 цх + Ь2сИ к3 х + Ь3сИ к4 х,
где Ь1, Ь2, Ь3 - неизвестные постоянные. Использование граничных условий (9) и условий жесткого сцепления (10) приводит к системе линейных уравнений третьего порядка для неизвестных коэффициентов. При равенстве нулю определителя этой системы получим следующее трансцендентное
уравнение для определения собственных частот ю^:
Im{к3[\k3|2thk4 + |(k3tg| - |thk3)]} = 0.
Соответствующие собственные функции представим в виде
U (х) = cos|х + 2Re(b2 ch к 3 х), (16)
где
b2 =
k4thk4cos | - | sin | ch k3 (k3th k3 - k4th k4)
Асимметричные собственные функции иа(х) ищем в виде
и" (х) = с^п цх + с^Ь к3 х + с^Ь к4 х,
где с1, с2, с3 - неизвестные постоянные. При условии жесткого сцепления из граничных условий (9) и (10) имеем следующее уравнение для определения собственных частот юа„:
Im{k3tg|(|k3|2thk3- |2thk4) - |k3|thk3\2} = 0.
Соответствующие собственные функции имеют вид
U ( х) = sin |х + 2Re (c2sh k3 x),
(17)
где
С 2 =
| cos | th k4 - k4sin | chk3(k4thk3 - k3thk4)'
| sin | + k4th k4cos |
b2 = -.
ch k3 (k3th k3 - k4th k4)
При условиях свободного края собственные частоты для симметричных собственных функций определяются из уравнения
Im{k3[|k3|6thk4 + |3k23(|thk3 - k3tg|)]} = 0
и собственные функции имеют вид аналогичный (16), но теперь b2 равно
При условиях свободного края собственные частоты определяются из уравнения
1т{ к3[ гв ц(| к3|6Ш к3 + ц4к3гИ к4) + ц3 к3|±Ъ к3|2 ]} = 0
и для собственных функций в (17) выражение для с2 теперь имеет вид
ц3 со8 ц Ш к4 + к 4в1п ц
с2 = -•
сИк3(к^Ьк4 - к4Шк3)
После нахождения собственных частот и собственных функций рассматриваемой задачи может быть вычислено поведение жидкости и ледяного покрова под действием внешнего возмущения различного вида.
4. ДЕЙСТВИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ
В безразмерных переменных система уравнений движения (6) имеет вид
Э- fV д х дх Г эх4 7 dt2 J Эх'
д v г „ ЭГ д и „
— + fu = 0, Ит— = 0
д t д t дх
(18)
с граничными условиями аналогичными (9)-(11) и начальными условиями (7).
Решение этой системы ищем в виде разложения по симметричным и асимметричным собственным функциям
С( х, г) = £[ЛИ( г) ип( х) + Бп( г) ип( х)], (19)
п = 1
и(х, г) = -нХ[Ап(г)иП(х) + Бп(г)иП(х)], (20)
v (х, t) = И XA (t) U (х) + Bn (t) Un (х)], (21)
с начальными условиями
Ап (0) = Ап (0) = Бп( 0) = Бп( 0) = 0. (22)
Здесь точка сверху обозначает производную по времени, функции А^), В„(0 являются неизвестными и подлежат определению.
После подстановки разложений (19)-(21) в (18) с учетом (12), (13) имеем
X N [ ип ](Ап + КАп) + N [ ип ](Бп + КБп) = -др,
п = 1
n = 1
n = 1
где Х6„ = (—n)2, Хап = (—n)2. Умножая это соотношение последовательно на Usm (x), Uam (x) и интегрируя по x от -1 до 1, получим с учетом (14) для каждой из неизвестных функций Am(t), Bm(t) простые дифференциальные уравнения
Aim + KAm = YK t)Bm + Om = К(t)/Лт,
(23)
(m = 1, 2, ...),
где
(t) = J P(x, t) Usmdx, Л; = J USmN[ Um ] dx,
i
-i 1
Гт( х) = | Р(х, х) итёх, лт = | ЦД[ ит]ёх, -1 -1 Решение уравнений (23) с начальными условиями (22) имеет вид
Am (t) = -7-7J KG) sin К (t - £)] d£,, —m Лт
(24)
Bm
(t) = -пЛ J y; ф sin [-m (t -
—тЛт
ddu - v + ddZ = -ddP
3t Эx дx'
(25)
остальные уравнения остаются прежними. Граничные условия имеют вид: и = 0 при |х| = 1, и начальные условия совпадают с (7).
Собственные функции данной задачи равны
U„( x) = cos |/„x, Uafl( x)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.