Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 7, с. 490-495 © 2015 г. 10 апреля
Влияние иегидростатичиости на финальную стадию неустойчивости в мелкой воде с горизонтально неоднородной плотностью
В. П. Гончаров1^, В. И. Павлов+^ Институт физики атмосферы им. Обухова РАН, 109017 Москва, Россия
+ UFR des Mathématiques Pures et Appliquées - LML CNRS UMR 8107, Université de Lille 1, 59655 Villeneuve d'Ascq, France
Поступила в редакцию 24 ноября 2014 г. После переработки 24 февраля 2015 г.
Модель активного слоя мелкой воды с горизонтально неоднородной плотностью выведена в приближении негидростатичности. В рамках этой модели исследованы режимы рэлей-тейлоровской неустойчивости и механизм формирования автомодельных струй (fingers). Изучена их линейная устойчивость. Показано, что негидростатичность имеет решающее влияние на неустойчивость на финальной стадии. Именно по этой причине на данной стадии коллапс, предсказанный для гидростатических моделей, замедляется и превращается в режим алгебраической неустойчивости.
DOI: 10.7868/S0370274X15070048
1. Введение. Основная цель работы - показать, что отказ от приближения гидростатического баланса в модели мелкой воды с горизонтально неоднородной плотностью приводит к пересмотру сценария развития неустойчивости Рэлея-Тейлора, которая играет ключевую роль во многих естественных процессах и приложениях [1].
Хорошо известно, что в отношении мелкой воды со свободной границей соответствующая аппрокси-мационная процедура приводит к поправке Грина-Нагди [2-4]. Для моделей мелкой воды с горизонтально неоднородной плавучестью, являющихся, по существу, следствием двухслойных [5-7], ситуация оказывается более сложной, поскольку возникает конкурирующий эффект за счет влияния верхнего слоя. Дело в том, что тенденция к взрывной неустойчивости, которую проявляет модель в приближении гидростатического баланса, может испытать перестройку, поскольку учет вертикальных движений, обусловленных влиянием негидростатичности, вызывает дополнительную нелинейную и нелокальную дисперсию.
Под влиянием этих факторов происходит смена типа неустойчивости и вместо коллапса, подразумевающего образование особенности за конечное время, в системе реализуется более слабая алгебраическая неустойчивость.
Подчеркнем, что одна из целей работы - отнюдь не вывод еще одной версии модели в "длинноволно-
^e-mail: v.goncharov@rambler.ru; vadim.pavlov@univ-lillel.fr
вом" приближении, а поиск для нее параметризации, которая бы в качественном отношении эффективно работала на больших и малых масштабах. Сходную проблему в свое время решали Ферми и фон Нейман [8]. Однако они использовали для этого не га-мильтонов, а лагранжев подход.
Подчас уравнения, описывающие реальную физическую систему, неразрешимы или даже отсутствуют. Например, такое случается в теории поля. Но если есть физические основания предполагать, что лишь некоторые симметрии и соответствующие связи - самые главные, и именно они обеспечивают ключевые особенности поведения реальной системы, то имеется рецепт для построения упрощенной (рафинированной) модели. На практике этот рецепт реализуется с помощью гамильтонового [9] или лагран-жевого подхода и, как правило, из-за сокращения симметрий приводит к более простым уравнениям. Работа [8] - классический пример в данном отношении.
Отметим, что мы так же, как и авторы [8], использовали в качестве связи условие несжимаемости. Основное отличие заключается в том, что мы разрешали эту связь в дифференциальной форме с помощью параметризации скорости, а Ферми и фон Нейман - в интегральной форме с помощью параметризации профиля контактной границы. Другое отличие - чисто методическое. Оно состоит в том, что нами использовался аппарат гидродинамических скобок Пуассона, который во времена Ферми-Неймана еще не был развит.
2. Негидростатическая модель активного слоя. Рассмотрим двумерную модель, которая описывается уравнениями
dtu + (u- V)u:
,d2h
'и?
(1)
ны члены, доминирующие на начальной и конечной стадиях рэлей-тейлоровской неустойчивости.
Точно так же, как в гидростатическом приближении [6, 7], уравнения движения (1), (2) могут быть получены из первых принципов [9]. Они следуют из гамильтоновой формулировки с гамильтонианом
dth + V- (hu) = 0, dtT + u-VT = 0.
(2)
Здесь х - горизонтальные декартовы координаты; V - оператор горизонтального градиента; дt и й/сИ-частная и полная производные по времени; и(х, I) -усредненная по глубине горизонтальная скорость в нижнем (активном) слое; т(х, I) = дАд/до - относительная плавучесть, которая в отличие от /? может иметь любой знак. Уравнения (1), (2) описывают усредненное по глубине течение в нижнем (активном) слое мелкой воды. В гидростатическом приближении, когда последний член в правой части (1) опущен, эти уравнения были сформулированы в [5-7] в рамках двухслойной модели (рис. 1).
///////////////////////
z = О
Рис. 1. Модель активного (нижнего) слоя с горизонтально неоднородной плотностью
Данная модель предполагает, что по обе стороны от контактной границы z = h(x.,t) под действием силы тяжести д находятся две несжимаемых жидкости. Верхняя жидкость с плотностью до = const простирается до z = оо, а нижняя с плотностью до + Ag(x,t), где Ад/до 1, опирается на горизонтальное дно z = 0.
Отметим, что формально при т = д = const уравнения (1), (2) переходят в известные уравнения Грина-Нагди [2-4], описывающие гравитационные волны на поверхности мелкой воды в приближении негидростатичности. Если же гидростатический баланс нарушен слабо и есть основания пренебречь поправкой Грина-Нагди (последним членом в уравнении (1)), то мы получаем уравнения для модели активного слоя в приближении гидростатичности [5-7]. Тем не менее модель (1), (2) нельзя считать обобщением гидростатической модели в строгом смысле этого слова. Как будет показано ниже, эта модель представляет собой параметризацию, в которой оставле-
Н
hu2 + i/?3(V • u)2 + И2т
cix
и скобками Пуассона
{'1Щ, т'к} = дЦт'к6) - дк('1щ6), {/?., т'к} = -dk(h5), {г, т'к} = -5дкт,
(3)
(4)
(5)
где т - плотность гидродинамического импульса, 8 = (5(х — х') - дельта-функция Дирака (штрихованные зависимые переменные означают зависимость от штрихованных пространственных координат). Для экономии места все тривиальные скобки Пуассона здесь опущены.
Чтобы записать уравнения движения, кроме скобок Пуассона (4), (5), нужно учесть, что гидродинамический импульс т и скорость и связаны дуальным соотношением:
in
6Н
¿й'
и
6Н
(5т
Тогда для рассматриваемой нами модели dtmi = {nii,H} = -mkdiuk -
- дк ('m.fUfc) - hdi
SH
~Sh
ш
dth = {h, H} = -di (hui) dtr = {т, H} = —'сиди.
(6)
(7)
(8)
Использование соотношений
SH
~6т
SH
(5m
SH
~Sh
Ht — — u2 — — /?2 (V • u)2 2 2 v )
позволяет вначале сформулировать уравнения движения (6)—(8) в терминах переменных т, и, /? и г, а затем исключить из них переменную т с помощью соотношения
in
5Н ~бй
hu - ^V (/?3V • u) .
3. Обоснование гамильтониана модели. Гамильтониан (3) может быть обоснован в рамках двухслойной модели. Для простоты предположим,
что движение жидкости в верхнем слое потенциально. Тогда полная энергия представляет собой сумму полных энергий верхнего (Я1) и нижнего (#2) слоев:
Н = Н1+Н2
(9)
Я
1 — 7Т
Я
2 —
до [(У^)2 + (д^)2 + 2дг] ¿гвх., (10)
/ (до + Ад) (и2 + и)2 + 2дг) сЬсЫ. (И) ■1 о
Здесь и> - вертикальная компонента скорости в нижнем слое, а <р - гидродинамический потенциал в верхнем.
С помощью условий несжимаемости, непрерывности нормальной компоненты скорости на границе раздела и отсутствия возмущений при г —> оо для потенциала ср можно сформулировать следующую краевую задачу:
(Д + <92) = 0, ср\г=со = 0, (12)
(™-дя<р)г=к, (13)
где Д - двумерный лапласиан.
В гидростатическом приближении ш = 0 и и не зависит от г. Предположим теперь, что условие гидростатичности нарушено (го ф 0), но так, что и можно по-прежнему считать не зависящей от г. Тогда из условия бездивергентности, <92и> + V • и = 0, и краевого условия и>|2=о = 0 следует соотношение
-гУ • и.
(14)
К этому соотношению нужно относиться как к одной из возможных параметризаций. В частности, можно было бы рассмотреть параметризацию, которая предполагает линейную зависимость профиля горизонтальной скорости йот г:
и
-^-у. (1)
2 \к)
Здесь у(х, €) - горизонтальная скорость на границе раздела, т.е. V = м\х=ъ,- Однако эта параметризация привела бы к более сложной модели. Таким образом, выбор параметризации зависит от физических и модельных предположений и заслуживает отдельного изучения. Мы ограничились параметризацией, которая соответствует минимальной модели и пригодна для качественного исследования влияния негидро-статичности.
Прежде всего, используя (14), перепишем краевое условие (13) как
Затем, полагая без ограничения общности до = 1, после интегрирования по г из (9)—(11) в главном порядке по Ад/до <С 1 получим
Я
Ни2 + Ь2т + • и)2 + <р\я=нУ ■ (Ни)
(¿X.
(16)
За эффект негидростатичности в гамильтониане (16) отвечают два последних члена. Первый соответствует поправке Грина-Нагди, а второй обусловлен реакцией на возмущение верхнего слоя. В контексте двухслойной модели это означает, что использование усеченного гамильтониана (3) оправдано, только если можно пренебречь данным возмущением.
Чтобы обосновать процедуру "усечения", выразим потенциал <р через интеграл двойного слоя:
¥ = -дх
Ф(х',^х' г2 + (х — х'
(17)
где для плотности Ф(х, £) с помощью краевого условия (15) формулируется интегральное уравнение:
V-
УФ (х'^)йх'
-У-(/ш) = (18)
Оценим вклады членов, определяющих кинетическую энергию в гамильтониане (16), для двух режимов течения: крупномасштабные движения и автомодельный коллапс.
Прежде всего, обозначая горизонтальные масштабы длины и скорости как Lw.ll, рассмотрим режим крупномасштабных движений к/Ь <С 1. В этом случае из (17), (18) можно найти (р\х=н ~ ^и, что приводит к оценкам
1ги2 ~ к112, И,3(у ■ и)2 ~ к3и2Ь2, ср\г=1гУ{ки) ~ Ь2и2/Ъ.
Чтобы получить оценки для второго режима, естественно считать, что каждая из переменных Ф, Л- и и в этом режиме автомодельна, т.е. они
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.