ВЛИЯНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКИХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ НА ДОПУСК ТРАЕКТОРИИ СТВОЛА СКВАЖИНЫ
А. РОПЯНОЙ, В. СКОБЛО, ЗАО «НТ-КУРС
Один из показателей качества направленного бурения — попадание в заданный круг допуска, причем чем меньше планируемая мишень, тем выше качественная оценка. Очевидно, что достижение этой цели напрямую связано с измерительными средствами, используемыми при бурении скважины для измерения ее траектории. Здесь наиболее существенна основная техническая характеристика измерительного средства — погрешность измерения. Интуитивно понятно, что размер мишени, куда должен попасть забой скважины, и погрешность измерения траектории должны быть согласованы. Это особенно важно при направленном бурении, когда процесс измерения параметров траектории скважины неразрывно связан с управлением траекторией. С этой точки зрения рассматриваемая в настоящей статье связь между размерами мишени и погрешностью используемых при бурении измерительных средств и методик представляет практический интерес, причем не только для проектировщиков, но и для буровиков-технологов.
Точностные требования к средствам измерения траектории бурящейся скважины при направленном бурении определяются в основном размерами мишени — чем меньше размер мишени, тем более точными должны быть измерительные системы. Чтобы количественно оценить эту связь рассмотрим влияние погрешности измерения угла наклона и азимута ствола скважины на погрешность определения точки забоя (или любой точки траектории скважины) в пространстве.
На рис. 1 показана траектория наклонно-направленной скважины ОоОм, построенной по результатам измерений инклинометром и представленной в двух проекциях — в плане и вертикальном разрезе. Из-за погрешности инклинометра измеренная траектория может не совпадать с реальной. Если погрешность измерения азимута нормируется как wiaз, то реальная траектория в плане будет располагаться внутри некоторой области по обе стороны от измеренной траектории (эту область называют «конус неопределен-
Рис.1. Траектория наклонно-направленной скважины
ности»), причем ее границами будут траектории О0О1 и О0О2, измеренные с максимальной ошибкой +iaз и минимальной Чаз. То же справедливо и для вертикальной проекции траектории, — реальная проекция траектории будет располагаться внутри конуса неопределенности, границами которой будут проекции О0О3 и О0О4, измеренные с максимальной и минимальной Ни ошибкой измерения угла наклона.
Из-за этих ошибок нельзя рассматривать забой скважины как точку в пространстве. Можно лишь утверждать, что он располагается в некоторой замкнутой области, размер которой зависит от погрешности средств, использующихся при измерении параметров траектории скважины. На рис. 2 показана ситуация «попадания» забоя скважины в мишень, в виде «круга допуска» с радиусом Я.
Область, в которой из-за погреш-
ности измерения может быть расположена точка забоя скважины (назовем ее «область неопределенности»), показана также в виде круга радиусом г. На рис. 2, а точка забоя, построенная по результатам измерений, «попала» в мишень, однако с учетом погрешности измерений, точка забоя может располагаться по всей площади круга г, в частности, и за пределами мишени. Очевидно, что ситуация на рис. 2, а будет свидетельствовать о том, что мишень не поражена. «Попадание» точки забоя скважины в мишень может быть признано только в том случае, если вся область неопределенности располагается внутри мишени, как показано на рис. 2, б. Таким образом, чтобы попасть в мишень, точка забоя измеряемой траектории скважины должна располагаться на расстоянии от центра мишени не более чем на Я-г. Можно утверждать, что реальный размер ми-
>-----ч Ом/) ^------
/ V
С" ) V ) V )
/ а) б)
Рис. 2. Попадание в круг допуска по результатам замера: а) — мишень не поражена; б) — мишень поражена
Рис. 3. К расчету смещения траектории скважины из-за систематической составляющей погрешности измерения
Ых)
Рис. 4. К расчету смещения траектории скважины из-за случайной составляющей погрешности измерения
шени зависит от погрешности измерительных средств, т. е. чем больше погрешность, тем меньше должна быть реальная мишень, тем ближе к центру мишени должна попасть точка забоя измеренной траектории скважины, чтобы поразить мишень. Для количественной оценки необходимо определить конфигурацию и размер области неопределенности. Существенным фактором здесь является природа погрешности, т. е. является ли она систематической ошибкой измерения, т. е. обусловлена конкретными (неслучайными) причинами и неизменна в процессе измерения; либо ошибка имеет случайный характер, т. е. зависит от неконтролируемых причин и подчиняется статистическим закономерностям. Чтобы рассчитать область неопределенности, необходимо проанализировать алгоритм построения траектории скважины по результатам измерений. Для вывода основных соотношений достаточно рассмотреть плоскую задачу, когда траектория лежит в одной плоскости и представляется в виде прямой. Расчет области неопределенности, обусловленной систематической ошибкой измерения, иллюстрируется на рис. 3, а.
Если бы не было ошибок измерения угла, то траектория скважины была бы прямой ОоОп; в точках О; производятся измерения угла, которые имеют погрешность wiфd. В результате при каждом измерении точка траектории отклоняется от истинной на расстояние:
iS=iфd.iL, (1)
где ^ — расстояние между двумя последовательными замерами.
Итоговое отклонение забоя скважины будет суммой отклонений на каждом участке замера:
кП^п^^.^чф1, (2)
где: п — число замеров;
L — длина траектории.
Поскольку измерения траектории происходят в двух плоскостях — угол азимута измеряется в горизонтальной плоскости, а угол наклона — в вертикальной, то и отклонение точки забоя скважины будет векторной суммой двух взаимно перпендикулярных отклонений, одно из которых обусловлено погрешностью измерения азимута, а другое — погрешностью измерения угла наклона. Конфигурация области неопределенности для систематической ошибки измерения показана на рис. 3, б. Она представляет собой прямоугольник, стороны кото-
рого равны удвоенным величинам:
каз=^фЙаз,
кИ=:ыфИ,
(3)
(4)
где: iфaз — систематическая ошибка измерения угла азимута;
iфH — систематическая ошибка измерения угла наклона;
X — длина траектории скважины в плане. Из-за такой области неопределенности площадь, куда должен попасть реальный забой скважины, построенный по результатам замеров (рис. 3, в), будет находиться внутри круга допуска и ее конфигурация — эллипс, полуоси которого составят:
(5)
Чтобы определить, достаточно вычислить плотность вероятности в точке х = 0:
л/2т1-а
Вероятность «попадания» траектории при (п-1)-м замере в точку с координатой х составляет:
р —ехр п"1 л/2тгс7п_1
1 X"
2
• ах.
Если бы (п-1)-й замер производился в этой точке, то плотность вероятности при п-м замере имела бы максимум с координатой х, а в точке х = 0 плотность вероятности составила бы:
(6)
Расчет области неопределенности, обусловленной случайной составляющей иллюстрируется на рис. 4, а. Так же, как и в расчете для систематической составляющей, рассматривается плоская задача и прямолинейная траектория. Данные ограничения не принципиальны и не отражаются на конечном результате расчета.
Если погрешность измерения угла iфRявляется случайной величиной, то отклонение iS также будет случайным:
^(х=0) = Р„.1(хК](х) =
л/2яа„_, Ч 2 ст.2 I \ л/2л-а, Ч 2 ст.2.
Суммируя значения Гх(х=0)для всех значений х от (-у) до (+у), получим искомое:
? (* = °)= I -пг---ехР
_юл/271-а„_
( , л
1 _X
а
V
л/2п *<
- • ехр
т 2
2ст,
Их.
iS=iфR.iL.
(7)
Учитывая, что:
Примем, что случайные величины и распределены по нормальному закону. Тогда функция распределения плотности вероятности смещения траектории от истинного значения в точке О1 будет представлена выражением:
где 01 — дисперсия функции распределения плотности вероятности смещения, зависящая от дисперсии функции распределения плотности вероятности ошибки измерения угла Оф:
01=0ф.^.
(8)
Если принять, что в каждой точке замера О} функция плотности распределения вероятности £(х) имеет нормальный вид, то рассчет области погрешности сводится к определению дисперсии Оп функции распределения ^(х), где х — смещение забоя от истинного, обусловленного случайной погрешностью, измерения. Для нахождения величины рассмотрим два последовательных замера — (п-1)-й и п-й. Функция распределения плотности вероятности смещения х выражается формулами:
Для (п-1)-го замера:
Для п-го замера:
л[2п -а ;
|ехр
ч 2а у
• ёх = 1,
п осле преобразований получим:
Оп=°п-1+О1
или окончательно:
Поскольку 01=0фчЬ, а п = — ,
то
(9)
(10)
Область неопределенности при одновременном воздействии случайных составляющих ошибок измерения угла наклона и азимута будет описываться двухкоординатной функцией распределения вероятности:
(11)
Поскольку случайную составляющую погрешности, плотность вероятности которой распределена нормально, обычно нормируют значением 3о, то конфигурация об-
ласти неопределенности (11) будет представлена в виде эллипса, большая и малая полуоси которого равны (рис. 4, б):
3о =к* и 3он=кН .
(12)
Реальный круг допуска (рис. 4, в) будет представлять собой эллипс с полуосями:
а=Я-кн ,
Ъ=Я-к:
(13)
Ь = л/(20)2 - (8,5)2 -8,5
Юм.
т. е. практически круг радиусом г = 10 м.
Расчет показывает, что из-за систематической погрешности реальный радиус круга допуска мишени уменьшается вдвое, с 20 до 10 м. Если же погрешность телесистемы является случайной величиной, то ее влияние снижается с увеличением числа замеров. В соответствии с (10) и (12) для рассматриваемого конкретного примера получим размеры области неопределенности:
В сравнении с систематической, случайная составляющая отклонения забоя составит:
(14)
т. е. она снижается с увеличением числа точек замеров траектории скважины.
Оценить реальное значение области неопределенности траектории можно на конкретном примере. Предположим, глубина скважины по инструменту Ь=2000 м, отход от вертикали Х=500 м, радиус круга допуска
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.