ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2013
УДК 621.7:536.2
© 2013 г. Федоров П.Б.
ВЛИЯНИЕ РАЗМЕРОВ МНОГОСЛОЙНЫХ БИМЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛИТ НА КРИТИЧЕСКИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ИХ НАГРЕВА
Рассматривается статическая трехмерная модель упругопластического тела с учетом зависимости характеристик материала от температуры. Для трех случаев нагрева исследовано влияние размеров плиты на деформации и напряжения в каждой точке плиты с целью выявить те случаи нагрева, при которых плита будет работать без разрушения.
Дальнейший прогресс в развитии многих отраслей машиностроения в большей степени связан с увеличением доли использования композитных материалов, а при интенсивном развитии самолетостроения и ракетостроения роль этих материалов становится решающей. Одним из способов их создания является набор из чередующихся фольг на основе сплава алюминия АД1 и стали 12Х18Н10Т, используемый в пределах рабочих температур до 723 К. В этом случае конструкция представляет собой многослойную биметаллическую плиту.
Условия эксплуатации конструкций, выполненных из этих материалов, таковы, что внешняя поверхность может быть подвержена воздействию теплового потока от солнечного излучения. За счет трения она может нагреваться и при обработке этих материалов концентрированными потоками энергии (световым лучом, электронными ионными лучами, плазменной струей, поэтому внутри элементов конструкций могут возникать объемные источники тепла.
В результате нагрева плита неравномерно деформируется в каждой точке ее объема. Причем интенсивность упругих напряжений, как это показано в работе [1], может превышать предел текучести, даже в диапазоне рабочих температур. Все это требует создания трехмерной модели задачи об упругопластическом напряженном состоянии с учетом зависимости характеристик материала от температуры.
Рассмотрим плиту со сторонами Ьх, Ь, Ьг Уравнения равновесия элемента плиты в соответствии с [2, 3] имеют следующий вид:
о^ _ 0, / = 1, 3. (1)
Напряжениями о^ (индексы: 1 соответствует оси х, 2 — оси у, 3 — оси I, индекс] показывает направление дифференцирования) определяли из соотношений Дюамеля— Неймана [2] через функции перемещений и, и, трех переменных х, у, I
+ Хв - X); Оуу = 2цдХ + ^ - Д х); огг = 2ц
ди + д_и. о _ ди + с№. о _ с№ + ди
ду дх х дг дх уг ду дг'
(2)
°хх
оху
ди , ди , д^ , ~ ч л Е*и* Е*
где е =--i---i--, !< (?) = (3 Л + 2ц)а,, Л = -, и = -;
дх ду дг (1 - 2и *)(1 + и *) Р 2(1 + и *)
Л, и — параметры Ламе; а, — коэффициент линейного теплового расширения; Е* —
модуль Юнга; и* — коэффициент Пуассона.
Если материал находится в пределах упругости, то Е*, и* в каждой точке плиты
остаются неизменными и равными соответствующим параметрам упругости Е, и и
ст,- = 3цБ(, где
= ^ л/Кх - СТуу)2 + Оуу - СТ;;)2 + (стхх - + 6 (СТХу + ^ + СТХг)
— расчетная интенсивность напряжений [3];
У д/(£хх - Еуу)2 + (Еуу - Е;/ + (Ехх - + 2(^у + Уу2; + гХг) (3)
— интенсивность деформаций [4].
За пределами упругости, согласно методу переменных параметров упругости [7], эти характеристики материала вычисляются по формулам [4]
Е* = СТ*/1 + Ь^СТ-, и* = - - Ь^СТ-/1 + Ь^СТ-. (4}
е(- 3Е е(- 2 3 Е е(- 3Е е(-
Линейные ехх, Еуу, Егг и сдвиговые уху, ууг, у^ деформации вычисляются через перемещения и, и, по следующим линейным зависимостям [4]:
ди = ди = д^ = ди. + ди = ди+д™ = д™ + д™.
дх, Еуу = ду, = дг, Уху = ду дх, Уу; = дг ду, Ух; = дх ду'
Температурное поле Т(х, у, г) определяли из уравнения теплопроводности, полученного на основе закона Фурье [2]
3
X |Ы ^|) + ^ = 0, (6)
1 = 1
где Л — теплопроводность; дц — мощность внутреннего объемного источника тепла с размерами Ьх, Ьу, Ь; Т = Т(х, у, г) — температура в каждой точке области.
Граничные условия для уравнений (1) с учетом формул (2): и = 0 при х = 0, Ьх, и = 0 при у = 0, Ьу; = стуг = стхг = 0 при г = 0, Ьг.
Граничные условия для уравнения (6): Т = 273 К при х = 0, Ьх, у = 0, Ьу, г = 0; Т = Тр
)д!
д г
Зависимость Л, коэффициента линейного теплового расширения а, и Е от температуры принимали в виде многочленов до третьего порядка [5], коэффициенты которых определяли обработкой экспериментальных данных методом наименьших квадратов.
Для решения уравнений (1) и (6) использовали метод конечных разностей [8], в результате чего уравнения в частных производных сводились к системе алгебраических уравнений, которую в свою очередь решали методом верхней релаксации [8] с коэффициентом релаксации 1,7 без сохранения матрицы коэффициентов (подробно алгоритм изложен в работе [9]).
Причем уравнение теплопроводности (6) в силу температурной зависимости характеристик материала является нелинейным, и линеаризацию системы алгебраических уравнений осуществляли за счет того, что в первом приближении Т подставляли рав-
и Л( Т) — = при г = Ь, где — плотность теплового потока.
ным 273 К, а затем — значению температуры с предыдущей итерации метода верхней релаксации.
Для решения уравнений (1) за пределами упругости использовали схематическую
диаграмму а* (е, ) с площадкой текучести и линейным упрочнением [5].
На первом шаге метода верхней релаксации, переменные параметры упругости Е*, и* равны соответствующим параметрам упругости Е, и, и по значениям перемещений и, и, ю, полученным из решения уравнений (1) с учетом формул (2), вычисляют линейные ехх, Еуу, еж и сдвиговые уху, у у^ деформации по формулам (5), а по ним — е, по
формулам (3). По значению е, определяется а* по диаграмме деформирования:
\ат при ет <е, <е*
а*( е1 ) =
Т^ ^ - ^Т'
ат + (е,- - е*)ет при е(- > е*,
где ат - предел текучести; ет - деформация, соответствующая пределу текучести; е* — деформация, соответствующая началу упрочнения; Ет - модуль упрочнения материала.
По значению а* для второго шага метода верхней релаксации определяются переменные параметры упругости Е*, и* по формулам (4).
На последующих шагах процедура пересчета Е*, и* осуществляется аналогично, пока результаты в некотором приближении по значениям перемещений и, и, ш с заданной точностью 10-6 не будут близки к соответствующим результатам предыдущего приближения.
Рассматривали плиты со сторонами Ьх е [0,16^0,32] м, Ьу е [0,16^0,32] м,
е [0,004^0,032] м и следующими характеристиками материала: Е0 = 140,5 ГПа и = 0,305; ет = 0,38%; е* = 1,1%; ат = 616 МПа; аю = 13,435 ■ 10-6 К-1; КЕ = 0,03625 А,ю = 127,35 Вт/(м К). Предел прочности ав = 768 МПа. Коэффициенты многочленов [5] определяющих зависимость а„ и Е от температуры: ки = -0,130436508 кХ2 = -0,000142857; кХ3 = 0,000000028, кЕ1 = -0,072236996; кЕ2 = -0,00008641 кЕЗ = 0,00000001; ка1 = 0,00695; ка2 = 0; ка3 = 0.
Характеристики материала выбирали из [6] как усредненные для плиты, состоящей из четного числа слоев сплава на основе алюминия АД1 и стали 12Х18Н10Т. Многие методики усреднения, позволяющие добиваться согласия с экспериментальными данными, основаны на использовании правила смеси [10, 11], согласно которому делается предположение либо об однородности поля напряжений, либо поля деформаций. Наиболее точным методом усреднения, по данным [12], является метод Фойгта-Рей-са-Хилла [13].
Для проверки этого метода усреднения в работе [14] были проведены расчеты многослойных и однородных плит с усредненными характеристиками. Так для уравнения (1) при числе слоев равном 10 относительные погрешности усреднения составили 23,68% и 18,25% соответственно по максимальным значениям перемещения ю и температуры, а при числе слоев равном 48 - 1,14% и 0,42%. Таким образом был сделан вывод, что при числе слоев больше 50 такое усреднение является правомочным.
Целью исследования является определение предельных значений: плотности теплового потока qtk, температуры трк и мощности внутреннего объемного источника тепла quk, при которых еще не будет разрушения. Причем за момент разрушения принимали достижение интенсивности напряжений в какой-то точке объема плиты предела прочности.
Для выявления влияния размеров Ьх, Ьу и на величины трк, quk и qtk для каждой из них была использована процедура полного факторного эксперимента [15], согласно которой искали функцию отклика У в виде многочлена Жегалкина
¥ — + а-ух-у + а 2^2 + а 3X3 + а 4x1x2 + а 5x^x3 + 0-6x2x3 + $7x1x2x3. (7)
Таблица 1
№№ Тр, К
вариантов У ди д м
1 Трк + 0 0 [0,016 0,032]
2 Трк + 0 0 [0,008 0,016]
3 Трк + 0 0 [0,004 0,008]
4 дик 273 + 0 [0,016 0,032]
5 дик 273 + 0 [0,008 0,016]
6 дик 273 + 0 [0,004 0,008]
7 д,к 273 0 + [0,016 0,032]
8 д,к 273 0 + [0,008 0,016]
9 д,к 273 0 + [0,004 0,008]
Таблица 2
№№
вари- а0 а1 а2 а3 а 4 а5 «6 а7
антов
1 685 2,25 2,25 -4,5 0,5 -1,25 -1,25 0
2 695,875 2,875 2,875 -6,375 0,375 0,625 0,625 0,125
3 705,625 1,375 1,375 -3,375 0,125 0,875 0,875 0,125
4 591,5 1 1 332,25 4,5 1,25 1,25 1,75
5 2557 -6,625 -6,625 -1633 6,875 6,375 6,375 -4,125
6 10720 -8 -8 -6533 18 -5 -5 -7
7 31,25 0,25 0,25 -11,825 0,45 0,375 0,375 0,375
8 51,462 -0,063 -0,063 -8,387 0,063 -0,063 -0,063 0,012
9 62,8 0 0 -2,95 -0,1 0 0 0,15
В табл. 1 приведены варианты и условия экспериментов для реальных размеров плиты, соответствующих кодированным (безразмерным) факторам х1 е [—1, 1], х2 е [—1, 1] и х3 е [—1, 1] (знаком плюс в табл. 1 обозначен тот температурный параметр, по которому искали функцию отклика У). По результатам численного эксперимента для каждого варианта были найдены коэффициенты для функции отклика (7), которые приведены в табл. 2.
Причем в табл. 1 отрезки варьирования факторов х1, х2 в реальном исчислении для всех вариантов одинаковые Ьх = Ьу е [0, 16; 0,32] м.
Для наглядности были построены графики зависимостей Трк, дик и дкк от толщины соответственно на рис. 1, 2 и 3, на которых линия 1 соответствует плите с размерами Хх = 0,16 м, Ьу = 0,16 м; 2 - Хх = 0,24 м, Ьу = 0,24 м; 3 - Ьх = 0,32 м, Ьу = 0,32 м. Причем линия 2 для квадратной плиты совпадает с точностью до 0,1% с линией для прямоугольной плиты Ьх = 0,16 м, Ьу = 0,32 м.
Исследования показали, что с увеличением толщины умен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.