ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 12, с. 1089-1098
^ КИНЕТИКА
ПЛАЗМЫ
УДК 533.932
ВЛИЯНИЕ РЕЗОНАНСНОЙ ПЕРЕЗАРЯДКИ НА ВЯЗКОСТЬ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ © 2013 г. В. М. Жданов, А. А. Степаненко
Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва, Россия
e-mail: quotephoton@inbox.ru Поступила в редакцию 18.03.2013 г.
Исследовано влияние процесса резонансной перезарядки ионов на атомах на вязкость частично ионизованной плазмы, находящейся в магнитном поле. Представлена общая система уравнений для определения коэффициентов вязкости произвольного компонента плазмы в приближении 21-моментного метода Грэда. Получены выражения для коэффициентов полной и парциальной вязкости многокомпонентной частично ионизованной плазмы в магнитном поле. В качестве примера рассчитаны коэффициенты продольной и поперечной вязкости для ионного и нейтрального компонентов частично ионизованной водородной плазмы. Показано, что учет влияния резонансной перезарядки может приводить к значительному изменению продольной и поперечной вязкости компонентов плазмы в области низких степеней ионизации порядка 0.1.
DOI: 10.7868/S0367292113110097
1. ВВЕДЕНИЕ
Для моделирования экспериментов по физике пристеночной термоядерной плазмы применяются различные программные комплексы: Б2-Е1ЯЕМЕ, иЕЭОЕ-ВЕОЛВ и другие. Численные коды, описывающие динамику заряженных частиц, основаны, главным образом, на известной системе уравнений Брагинского для полностью ионизованной плазмы [1], в которую входят полученные им классические выражения для коэффициентов переноса ионов и электронов. Между тем, при моделировании плазмы ди-верторной области токамака в режиме отрыва, когда степень ионизации плазмы мала и преобладают столкновения ионов с атомарными и молекулярными компонентами, важным оказывается учет влияния нейтральных частиц на коэффициенты переноса, в частности, на коэффициенты продольной и поперечной вязкости плазмы в магнитном поле. Последние непосредственно фигурируют в системе уравнений, описывающих явления в пристеночной области токамака [2, 3].
Теоретические выражения для коэффициентов переноса частично ионизованной плазмы были получены в ряде работ на основе решения кинетического уравнения Больцмана методом Чеп-мена-Энскога [4, 5] либо методом моментов Грэда [6, 7]. Попытки конкретных расчетов вязкости для частично ионизованной плазмы в отсутствие магнитного поля были предприняты в работах [8—10]. Так в [8] на основе выражений, полученных в рамках первого приближения Чепмена-Ка-
улинга [4], было рассмотрено влияние резонансной перезарядки ионов на атомах на коэффициенты вязкости ионного и нейтрального компонентов незамагниченной плазмы. На примере водородной плазмы показано, что учет данного эффекта приводит к резкому возрастанию (почти на порядок величины) вязкости ионного компонента при малых степенях ионизации плазмы. В работах Девото [9, 10] получены общие выражения для вязкости частично ионизованного газа, соответствующие второму и третьему приближениям Чепмена-Каулинга. Учет второго приближения для полностью ионизованной плазмы приводит при этом к выражениям, соответствующим известным результатам Брагинского [1], учет третьего приближения практически мало сказывается на конкретных численных результатах.
Для плазмы, находящейся в магнитном поле, общие выражения для компонентов тензоров вязких напряжений в случае полностью ионизованной плазмы, соответствующие второму приближению Чепмена-Каулинга, были впервые получены в работе [1]. Для частично ионизованной плазмы в магнитном поле выражения для соответствующих величин, полученные с использованием приближения 13-моментного метода Грэда, рассматривались в [11, 12].
В настоящей работе найдены общие выражения для тензора вязких напряжений частично ионизованной плазмы в магнитном поле в приближении 21-го момента, которые по точности вычислений коэффициентов вязкости соответ-
3
1089
ствуют второму приближению Чепмена-Каулин-га и в случае полной ионизации плазмы приводят к известным результатам Брагинского [1]. При этом при расчете продольных и поперечных коэффициентов вязкости компонентов плазмы учитывается влияние резонансной перезарядки ионов на атомах. Найдены численные зависимости коэффициентов парциальной и полной вязкости частично ионизованной водородной плазмы от степени ионизации при различных температурах плазмы. Полученные результаты могут быть использованы при анализе процессов переноса в пристеночной области токамака.
2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Адекватное описание процессов переноса в плазме, находящейся в магнитном поле, возможно на основе решения кинетического уравнения методом Грэда [6, 7]. Будем считать для простоты, что температура тяжелых компонентов плазмы одинакова. В этих условиях вкладом электронного компонента в вязкость плазмы можно пренебречь, поэтому ниже при вычислении коэффициентов вязкости будут учитываться только тяжелые компоненты плазмы: ионы и атомы. В приближении 21-го момента та часть общих уравнений моментов, которая записывается для тен-
тензора а„ , имеет вид [7]:
-юр {п {Ц]е51ткт} + =
=I
_тр + ту
Цру
"в,, I-
(в)
ву
(2) п
(У)'
Рв
РУ
_Шр + 1Пу у
в
(3) а
(в)
РУ
+ в
Рв
(4) а РУ
Ру л (г)>
(1)
-Ю|
I {СТНе*1ткт} -
_ V-17 Цру
12 тв
1_тр + ту
в
(3) П
(в)
РУ
+ в
(4) П
(У)'
_тр + ту К
в,
(5) СТ
Рв
(Р)
вУ
РУ
+ в
Рв
(6) СТ РУ
Р у л (у Л
(2)
где рр, Рв, Ир — массовая плотность, давление, концентрация частиц сорта в, Т — температура, выраженная в энергетических единицах, ю р — циклотронная частота для частиц сорта в, тр —
трт у
масса частицы сорта в, р ру = —-—— — приведен-
тр + т у
ная масса частиц сортов в и у, к — единичный вектор в направлении магнитного поля, ехЫ — перестановочный тензор. При этом фигурные скобки
в левой части уравнений соответствуют операции: {КГЦ} = 2(КГЦ + К1ьг) - 3ЬгК^. Тенз°р Жга — тензор скорости сдвигов — имеет вид: Жга =
= 2 <>, где и — среднемассовая скорость плазмы.
№ ]
Коэффициенты при п = 1,2, соответствующие приближению 13-ти моментов, рассчитывались для многокомпонентной частично ионизованной плазмы в [6]. Остальные коэффициенты, появляющиеся в приближении 21-го момента, были найдены в аналитическом виде лишь для случая полностью ионизованной плазмы [6, 7]. Для получения всех интересующих нас коэффициентов вЩ в случае частично ионизованной многокомпонентной плазмы рассмотрим общую систему уравнений для тензорных моментов функции распределения, справедливую для любого порядка приближения метода Грэда [7]:
1
I I СрТпуЬга
(у)2к = -Рр^„ + ИрЮр {20егик,
у к = О
1
I I С1"кпуЬп
у к = О
(у)2к
Сг.(Р)2п , прЮр { е5„к,
(3)
1 < п <%- 1,
(в)2п
— моменты функции распределения, а
где Ь,
л л у-» тпк
коэффициенты цу имеют вид:
^тпк _
СРу =
I Ат
в.
тпк
РУ ,
т 5
у*р.
У = Р,
(4)
лтпк г^тпк
Матричные элементы А$у и Вру выражаются через парциальные интегральные скобки от полиномов Сонина Бт +1/2 [5, 7]:
12пк _ ^ к - п
АРу - прУ2пке р Х
б5/2(2)(( -1 §г№:
б5/2 (2)(( -1 §г№:
РУ
ВРу - пв@2пк п Х Еп
1< 3(
(5)
б5/2(2)(( -3§г№ Бк/2 (2)(( -3§^
РУ
где W = (тр/2Т) (Vр - и) — безразмерная относительная скорость частиц сорта в, V р — скорость
гх
5
У
Г
У
к
частиц сорта в, а ер = —р/Т. Коэффициенты Q2nk определены как:
п / + 2к 4!п!(к + 2)!
^ =(-1) 2 Кк75)Г■ (6)
Общие выражения для парциальных интегральных скобок и пример расчета одной из них приводятся в Приложении 1.
Приближению 21-го момента в системе (3) соответствует значение ^ = 2. В этом случае
ПрЬГ?20 = п ^ ^, а ПвЬ( -121 = ст [7]. Значения парциальных интегральных скобок для п = 1, к = 0,1 рассчитывались в работах [5, 7]. Сравнение выражений, получающихся при подстановке соотношений (4)-(6) в систему (3), с исходными уравнениями (1)-(2) приводит к следующим выражениям для коэффициентов Ор^:
^,(1) _ 16 /ЮоП ^ Г>22\
ОРу - "5 Ирупрпу (3"Ру + "ру ),
Г-(2) _ 16 /022 10011
ОРу - "5 Ирупрпу (" Ру "3 "Ру
г(з) - 64 оРУ - 105 ^РупРп
35 о11 _ 7012 + у ( 2 оР^ /оРу +
+ 21т! о в2у - з — о23
л
4 т
в
2 т
ру
в
(4) _ 64 —/35^11 7Г112
Овт вупвпу— "РУ - 712РУ -
105 —Л 2
у
- + 3 П23
^ ву 2 ву
(7)
(5) _ - 64
О () _ -
ОвУ _
105
Ц вупвп
4 (140ц в + 245ц 2у )
49ц ^ в2 + 8ц в3у + 1 -1 (( + 147ц ^ )
8 т ру '
21 ту 2П 23 + 3 ту 2П 24 + , 2П 33 Ц у ^ Ру + Ц у ^ Ру + 3Ц уЬ £ Ру 2 т р 2 тр
^(6) 64 /385^11 лс\г\12 , о/->13
б^у = —Ц рукрупрпу (— Ор„ - 49"RV + 8"Rv -
ру
Ру
Ру
301 0 22 21 0 23 ^24 ,„33 — "ву + — " ру ^ " Р? + 30 ру
где ц р =
—
в
-р + -у
, кру -
—в —
вту
(—в + — у )
г, а " — интегра-
лы определены как:
/ ^/2 ' 2пТ
01г -0 РУ -
V ^РУ У
Це- С,2+3 (1 - соб 1 х)
0 0
(8)
Здесь С2 = ^
альное сечение рассеяния частиц сорта в на частицах сорта у.
Для кулоновских взаимодействий заряженных частиц в плазме выражения для "-интегралов можно представить в следующем виде [6]:
,2^2_4. ,-1/2/от,4-3/2,
Ыг —1/2/
"РУ = п
1п Л в
(9)
1 (г - 1)!2р2уе Иру (2Т) ш! 1ру,
где 2 р — зарядовое число частиц сорта в, 1п Л Ру — кулоновский логарифм, определяемый выражением:
1п Лру = 1п <
3Т
2р2у|е 1
Т
4ппве2 (1 +)
1/21
(10)
где = пр /пе — эффективный заряд плазмы.
Выражения (7) для коэффициентов оЩ были получены в предположении, что столкновения заряженных и нейтральных частиц плазмы носят упругий характер, так что в случае столкновений ионов и нейтралов разного сорта основным механизмом взаимодействия является поляризационное взаимодействие. Однако при столкновениях ионов и атомов одного сорта более существенным, чем поляризационное взаимодействие, оказывается механизм резонансной перезарядки. В
этом случае выражения для коэффициентов О^, отвечающих резонансной перезарядке ионов на атомах одного сорта, оказываются отличными от представленных выше.
Проведенный в работе анализ выражений для моментов интеграла столкновений в случае резонансной перезарядки (см. Приложение 2) показывает, что их структура фактически совпадает со структурой соответствующих членов для упругих
столкновений. При этом коэффициенты 0$, вычисленные для резонансной перезарядки, могут
б
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.