ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 1, с. 100-102
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 541.12.012.6
ВЛИЯНИЕ СТЕНОК НА РАЗВИТИЕ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ВЕРТИКАЛЬНОМ КАНАЛЕ ОГРАНИЧЕННОЙ
ВЫСОТЫ
© 2007 г. В. А. Каминский, В. В. Дильман*
Научно-исследовательский физико-химический институт им. Л.Я. Карпова, Москва *Институт общей и неорганической химии им. Н.С. Курнакова РАН, Москва
kamm@cc.mfhi: as. ги Поступила в редакцию 29.06.2006 г.
Рассмотрена конвективная неустойчивость в плоском вертикальном канале. Для простейших граничных условий получено характеристическое уравнение и определены критические условия возникновения конвекции Рэлея в виде двумерных течений в плоскости канала. Показана возможность проявления такой неустойчивости в процессах испарения, для которых ранее наблюдался переход к интенсивному режиму испарения, связанному с развитием конвекции Рэлея.
Ранее экспериментально изучался процесс испарения чистых жидкостей в замкнутом объеме при изотермических условиях для неподвижных жидкой и газовой фаз [1]. Было показано, что перенос в газовой фазе, который является лимитирующей стадией испарения, в зависимости от соотношения молекулярных масс жидкости и газа, протекает существенно в разных режимах. Если молекулярная масса жидкости М больше, чем у принимающего газа М0, то скорость испарения описывается молекулярной диффузией пара в газовой фазе. Если М < М0, то вблизи свободной поверхности жидкости образуется слой парогазовой смеси, более легкий, чем чистый газ, что может при определенных условиях приводить к неустойчивости Рэлея и развитию самопроизвольных конвективных течений в газовой фазе, существенно ускоряющих процесс испарения. Аналогичное явление было обнаружено также при исследовании испарения жидких смесей в зависимости от соотношения молекулярных масс газа и компонентов жидкой смеси [2].
Особый интерес представляет испарение бинарных растворов, один компонент которых легче принимающего газа, а другой - тяжелее. Особенностью исследования и моделирования развития неустойчивости в рассматриваемых процессах испарения, в отличие от классической задачи Бена-ра-Рэлея, является нелинейное распределение плотности в невозмущенном состоянии и нестационарный характер процесса. Нелинейное распределение плотности не позволяет однозначно определить число Рэлея. Следствием нестационарного протекания процесса является то, что критическое время или время перехода к интенсивному режиму, связанному с конвективной неустойчивостью, становится важной характеристикой процесса. При
этом одной из задач исследования является определение этого времени из экспериментальных данных, а также расчет критического времени на основе теоретических моделей.
Экспериментальные данные показывают, что критическое время достаточно мало. Например, для испарения воды в аргон в цилиндрических каналах диаметром ~0.1 м критическое время порядка одной секунды и его определение в эксперименте является весьма сложной задачей. Хорошо известно, что развитие конвекции в узких каналах затруднено. Уменьшение диаметра цилиндрического канала стабилизирует движение, т.е. приводит к увеличению критического времени перехода к конвективному режиму. В работе Тэйлора [3] приведена формула, определяющая величину радиуса бесконечного вертикального цилиндрического канала, в котором слой газа, имеющий положительный градиент плотности по высоте, теряет устойчивость.
Численное исследование двумерной тепловой гравитационной конвекции в удлиненном горизонтальном слое, ограниченном твердыми поверхностями конечных размеров, показало влияние на этот процесс отношения высоты слоя к его толщине [4]. К выводу о тормозящем влиянии стенок можно также прийти и на основании анализа конвективной неустойчивости в цилиндрических каналах неограниченных размеров по высоте [5]. Таким образом, в узких каналах время перехода к интенсивному режиму увеличивается и его измерение становится более надежным.
В данной работе рассматривается приближенный метод, позволяющий в аналитическом виде получить оценку величины критического числа Рэлея при возникновении конвекции для стационарного распределения плотности в вертикальном
ЛИЯНИЕ СТЕНОК НА РАЗВИТИЕ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
101
канале ограниченной высоты. В традиционной постановке конвекция Рэлея-Бенара связывается с распределением температуры в горизонтальном слое. Будем считать, что неоднородное распределение плотности по высоте вертикального канала определяется испарением и диффузией более легкого компонента в изотермических условиях. Канал образован двумя параллельными, непроницаемыми для паров поверхностями, расположенными в плоскостях (х, г) и отстоящими друг от друга на расстоянии к. Ось г декартовой системы координат направлена вверх, а ее начало (г = 0) совмещено с поверхностью испаряющейся жидкости.
Основной интерес будут представлять двумерные течения в плоскости (х, г). Все характеристики рассматриваемого процесса будем считать усредненными по толщине слоя принимающего газа (по оси у). Фактически это означает, что будет рассматриваться плоская задача. Поправка на операцию усреднения по оси у (замена объемной задачи плоской) будет приближенно учтена введением в уравнение движения члена типа "источник".
Заметим, что, строго говоря, из-за наличия профиля скорости по оси у возможной причиной размытия возмущения концентрации по высоте слоя (после перехода к двумерному описанию процесса) может быть и тэйлоровская диффузия [3]. Однако эффективный коэффициент тэйлоровской диффузии пропорционален отношению и2к2/В и на начальной стадии развития конвекции, когда скорости очень малы, этим эффектом можно пренебречь.
Система усредненных по толщине канала уравнений, которая описывает начальную стадию развития конвективной неустойчивости, включает в себя линеаризованное уравнение Навье-Стокса в приближении Буссинеска, уравнения неразрывности и конвективной диффузии:
1 = 4?+vдíU+* в се - ли,
д р1
Шуи = 0;
дС + (и У)С = вд2с;
(1)
Д2 = Э 2/Э х2 + Э2/Э г2.
Последний член в первом уравнении учитывает взаимодействие потока со стенками канала. Естественно принять, что для медленных течений этот член линейно зависит от скорости течения и в случае параболического профиля в плоском канале Л = ^/к2.
Применяя стандартную процедуру [5], позволяющую избавиться в (1) от члена, содержащего давление, и представляя концентрацию в виде суммы невозмущенной части и малого возмущения С = С1 + С', получаем систему уравнений для ^-компоненты скорости иг и пульсационной концентрации С в возмущенном режиме испарения:
д1
д дТ
дд и2 = ^ДДи2 + с- лд и г,
х
¡с = -и £+ 0 д с ■
(2)
Заметим, что в уравнениях (2) оставлены полные операторы Лапласа, хотя следует иметь в виду, что соответствующие функции после усреднения по толщине канала не зависят от координаты у.
Представим возмущения для скорости и концентрации в виде
иг = и (г) ехр (а t + ¡кх), С = с (г) ехр (а t + ¡кх).
После подстановки этих выражений в (2) получаем
(а + Л)(d2- к2) и = V (d4-2 к2 d2 + к4) и - * в к2 с;
а с = В (d2 - к2) с - и --с-.
дг
(3)
В (3) использованы обозначения для операторов дифференцирования dn = dn/dzn.
Для канала ограниченной высоты к уравнениям (3) следует добавить граничные условия на нижней и верхней границах слоя (в направлении х канал считаем неограниченным). По сравнению с плоским горизонтальным слоем граничные условия на нижней и верхней границах в вертикальном канале оказывают гораздо меньшее влияние на развитие конвекции. В качестве граничных условий используем условия для свободных плоских границ. Хотя такие граничные условия (по крайней мере, на нижней границе) являются физически нереальными, они, как отмечается в [5], позволяют получить достаточно простое аналитическое решение, которое правильно передает характерные особенности динамики развития неустойчивости Рэлея. Граничные условия для слоя высотой Н в вертикальном канале со свободными границами:
г = 0 и г = Н, и = d2 и = 0, с = 0.
В невозмущенном состоянии распределение концентрации пара и соответственно плотности парогазовой смеси являются линейными: dC1/dz = = С0/Н. Решение уравнений (3) с принятыми граничными условиями находим в виде:
и = а ъЫипг/И), с = Ь ъЫнпг/И).
Подставляя эти выражения в (3), для коэффициентов а и Ь получаем уравнения:
к2(а + Л + V к2) а - * в к2 Ь = 0;
Са - (а + БкП)Ь = 0, Н
2 2
,2 , 2 . П П к„ = к +
(4)
Н
2
Из условия разрешимости системы (4) находим характеристическое уравнение, определяющее
102
КАМИНСКИЙ, ДИЛЬМАН
зависимость инкремента нарастания возмущений а от волнового числа и физических параметров:
а = -2 [A + kl ( V + D )] +
+ J[ k I ( v - D ) + A ]2 + 4 gß Cok
, 1/2
(5)
Hki
Характеристическое уравнение (5) получено без перехода к безразмерным переменным, чтобы облегчить анализ влияния различных параметров на развитие неустойчивости. При А = 0 выражение (5) переходит в известное уравнение для плоского горизонтального слоя [5].
Условие нейтральной устойчивости для числа Рэлея Ra = gвC0H3/(vD) получают из (5) при а = 0. Для параболического профиля (А = 12^2) имеем:
Ка = (к2 + п п2 + 12 ( И/к) 2)( к2 + п2п 2 ) 2 к2
где к = кН - безразмерное волновое число.
Для основного возмущения (п = 1) наименьшее значение числа Рэлея, соответствующее состоянию нейтральной устойчивости, достигается при волновом числе, равном:
Km
= - п2/4-3( H/h )2 х
х
( 1/4)79
п4+ 120 п2 ( H/h )2+ 144( H / h )4.
(7)
Из (7) следует, что Kmin слабо меняется при изменении отношения H/h (для горизонтального слоя Kmin = 2.221, при возрастании отношения H/h
Kmin " п).
Естественно, что в предельном случае H/h —- 0 вертикальный канал переходит в плоский горизонтальный слой и получаются известные выражения для слоя со свободными границами [4]. Полученные результаты позволяют оценить влияние геометрических размеров канала на критическое число Рэлея и подобрать необходимые условия проведения опытов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 05-03-32602).
ОБОЗНАЧЕНИЯ A - коэффициент, 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.