ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИИ В КРЕМНИИ
539.219.3
влияние температурной зависимости коэффициента диффузии на эволюцию
гауссова профиля в температурном поле
© 2007 г. В. В. Овчаров, В. И. Рудаков
Институт микроэлектроники и информатики Российской АН E-mail: uchi@mail.ru Поступила в редакцию 22.09.2006 г.
Получено аналитическое решение уравнения диффузии в температурном поле с постоянным градиентом температуры для начального распределения концентрации вещества, описываемого функцией Гаусса и учитывающее температурную зависимость коэффициента диффузии. Показано, что температурная зависимость коэффициента диффузии, в случае больших градиентов температуры, приводит к сильной расходимости хвостов неизотермических концентрационных профилей, соответствующих одинаковым по модулю, но разным по знаку градиентам температуры. Дается объяснение особенностям неизотермических концентрационных профилей.
МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2007, том 36, № 3, с. 198-205
УДК
Наличие температурного градиента в полупроводниковых материалах является внутренне присущим свойством некоторых технологических процессов при изготовлении интегральных схем [1-2]. В частности, при высокотемпературном отжиге аморфизованного при ионной имплантации кремния кристаллизация нарушенного слоя происходит преимущественно с помощью твердофазной эпитаксии. Выделяющаяся на фронте кристаллизации теплота приводит к возникновению температурного градиента, величина которого может достигать очень высоких значений. Исходя из вычислений, представленных в работе [3] по распределению температуры на границе расплав-кристалл и данных по теплоте кристаллизации аморфного кремния и скорости движения фазовой границы можно ожидать значений градиента температуры ~105-106 К/м. При лазерном отжиге градиент температуры по толщине отжигаемого слоя может достигать значений вплоть до 108 К/м. Существенное влияние может оказывать градиент температуры на перераспределение примеси в процессе стимулированной диффузии, характеризующейся высоким значением эффективного диффузионного коэффициента, при быстром термическом отжиге ионно-имплантирован-ных полупроводников [4-5]. В этом случае влияние температурного градиента особенно сильно должно сказываться на хвостах профиля распределения примеси, что напрямую связано с проблемой уменьшения глубины залегания /»-«-переходов.
В работе [6] получено решение уравнения диффузии в поле постоянного градиента температуры для гауссова источника в важном частном случае, когда энергия активации Е равна теплоте переноса Q*(E = 0*). Это решение с хорошей точ-
ностью описывает диффузию примеси по междо-узельному механизму в приповерхностной области. Однако на хвостах концентрационного профиля, в случае сильной температурной зависимости коэффициента диффузии, оно может приводить к большим ошибкам. Этот недостаток сильно ограничивает область применения этого решения для анализа особенностей концентрационных профилей в сильных температурных полях. С другой стороны, полученные в работах [7-8] решения для бесконечно тонкого слоя и постоянного источников, в случае Е = 20* приводят к точным нетривиальным решениям уравнения термодиффузии. Сравнение этих решений с решениями, полученными в общем случае Е Ф 20*, показывает, что они описывают все специфические особенности неизотермических концентрационных профилей, соответствующие температурной зависимости коэффициента диффузии. В связи с этим представляет интерес получить решение уравнения термодиффузии для гауссова источника в случае Е = 20*, свободное от недостатков решения, полученного в работе [6], и адекватно описывающее распределение примеси на хвостах неизотермических концентрационных профилей.
Предположим, что рассматриваемая система имеет вид плоскопараллельной пластины толщиной I, поверхности которой поддерживаются при температурах Т0 и Т1. В случае, когда расстояние между поверхностями значительно меньше их размеров, можно считать задачу одномерной и пренебречь влиянием краевых эффектов. Если передача тепла от горячей поверхности к холодной осуществляется только за счет теплопроводности, а коэффициент теплопроводности X не зависит от распределения температуры и концентра-
ции примеси внутри пластины, то в стационарном состоянии температура Т(х) будет линейной функцией координаты х [9]. Если ось х направлена по нормали к поверхностям пластины, то
Т (х) = То + V Т ■ х, (1)
дС = А
д t дх
с помощью введения приведенной концентрации и(х, t) = С(х, t)ехр(-2*/кТ(х)) (3)
и приведенной координаты
ди дt
с приведенным коэффициентом диффузии
Б* = Б0ехр (-(Е-2 2 * )/кТ). (6)
Здесь
Б = Б 0ехр (- Е / кТ)
- коэффициент диффузии растворенного вещества, Е - энергия активации диффузии, 2* - теплота переноса, к - постоянная Больцмана, С - кон-
с помощью приведенной координаты определяемой соотношением (4). Здесь Ф - доза имплантации, ЛЯр - рассеяние распределения или стандартное отклонение (страглинг) проецированного пробега Яр. При этом обратную функцию х(£) не удается выразить с помощью аналитических функций, а разложение в ряд всегда приводит к той или иной степени приближения. Кроме того, возника-
где VT = (Т1 - Т0)/1 - градиент температуры в пластине,
То = Т(0) и Т = Т(1).
Так же, как и в работах [7-8] - одномерное уравнение термодиффузии
(2)
х
£ = | ехр (б*/кТ( V)) dv (4)
0
преобразуем к виду, характерному для второго закона Фика
(5)
центрация диффундирующего вещества, t - время; источники и стоки растворенного вещества внутри системы отсутствуют.
Попытка получить точное решение этой задачи с помощью операционного метода, использованного в работах [7-8], оказалась неудачной. Основная трудность, в этом случае, связана с необходимостью выразить начальное распределение примеси
(7)
ет дополнительная трудность, связанная с необходимостью поиска частного решения неоднородного дифференциального уравнения, полученного в результате преобразований Лапласа. Поэтому для решения поставленной задачи удобнее воспользоваться методом разделения переменных [6, 10]. Для удобства дальнейшего анализа введем безразмерные переменные:
\б{ Ж + ЯЦГ с|1
I- V дх кТ
С(х, 0) =
Ф
длля
ехр
2Л Я
РУ
е = * ч = 21, в = ^ЛЯр. в = в X =-Л_, *
кТ0 кТ0 Т 0 Р ЛЯР Т2ЛЯр Т2ЛЯр (8)
Я (X) = Т(Х)/Т0, Сг = С/С0, С0 = Ф/Т2лЛЯр. иг = Сг ехр (). МИКРОЭЛЕКТРОНИКА том 36 < 3 2007
Ограничимся для описания начального распределения примеси первым членом разложения функции
(9)
X2 (V) = ¥2ехр (-2д)
1+ доу + 1( 71 ~ 8 - а2 V2
12
т.к. учет дополнительных членов существенно усложнит решение задачи. Как видно из формулы (9), это приближение справедливо при qGV < 1. Для 1 = 2 и О = 0.05 получим величину V < 1 и, соответственно,
X® Vехр(-1 )< 0.15,
т.е. так же, как и в случае Е = 0* [6] это решение хорошо описывает распределение концентрации в приповерхностной области. Однако, в отличие от решения, полученного в работе [6], здесь на коэффициент диффузии не накладывается ограничения Б(Х) = Б(0) и информация о температурной зависимости коэффициента диффузии в неявном виде сохраняется не только в функции и(Х, 0), но и в координате V(X). Кроме того, как показано в работах [7-8] для диффузии из постоянного источника и бесконечно тонкого слоя, а также в [11] для гауссова источника и равномерного распределения примеси, полученных с помощью численного решения уравнения термодиффузии, информация о начальном распределении примеси
на хвостах концентрационного профиля с течением времени теряется. Поэтому можно ожидать, что данное решение, в отличие от решения для Е = 0*, даст корректное описание распределения примеси не только в приповерхностной области, но и на хвостах профиля.
Подставим в выражение для приведенного коэффициента диффузии
Б* = Б0ехр (-(Е -2 0*)/кТ)
значение
Е = 2 0 *
в результате получим Б* = Б0. Тогда уравнения термодиффузии примет вид:
д и Б д^и дX " °° дГ
(10)
Так же, как и в работе [6], решение будем искать в виде
и(5, X) = —= И и(п, 0) ехр
I
2
( п - 5) 4^ J
+ и(-п, 0)ехр
( п + 5 ) 2 4 Б X
(11)
Учитывая, что для диффузии с отражающей границей выполняется условие [6, 3]
получим
и 1( -п, 0) = и (п, 0),
(12)
и (5, х) =
27 п Б 00 X
| и (п, 0)
ехр
(п-5)2
4 Б X
или в безразмерных переменных
~ Г
Ur(V,0) = —М и(н, 0)| ехр
1 N Г - [
( Н - V) 0
2
где
ехр
ехр
01 = ^2-, н^^
АЯр '
а я, 72'
Функция U(V, 0) в начальный момент времени 0Х = 0 имеет вид
иг(V, 0) = С(V, 0)ехр[-^^
(п + 5)
4 Б X
2
(13)
( Н + V) 0
2
ш,
(14)
(15)
(16)
0
В свою очередь
Сг(*, 0) = ехр|_-*2ехр(-2д)\.
(17)
а множитель ехр[-д/Я(*)] разложим с максимально возможной для данного способа решения точностью
ехр
I Я(*).
ехр
1 - в * ехр (-д) - 1 в2*2( д - 2) ехр (-2 д)
Тогда
(18)
иг(*, 0) ® ехр\ - д + вд*ехр (-д) +
дв 1-11 -1
*2ехр (-2д) к
(19)
Подставляя это начальное значение в интеграл (14) и вводя обозначения
2
а =
1-дв2 (2-1
ехр (-2 д). у = дв ехр (-д), 5 = д. в = 1/0!.
(20)
получим
иг1
(*,0!) = -вт|ехр(- а2Н2 + уН-5){ехр[-р2(Н-*)2] + ехр[-р2(Н + *)2]}аИ.
(21)
Эта функция имеет точно тот же вид, что и функция
С(х, t) = вСхр ( 5- - х
х|[ехр(-р2(£ - х)2) + ехр(-р2(£ + х)2)]ехр(- а2£2 + у£ - 5)^.
(22)
0
0
полученная в работе [6] для случая Е = 2* за ис- по аналогии, можно записать решение ключением множителя ехр(5 - уг), появившегося С (* 0 ) = К С Ж
при переходе от функции и к С. Тогда сразу же, г 1 111'
где
(23)
К 1( Х,01) = ехр
1
1 + вХ
-1
(Т/2)2'
а2 + р2-
Ж (Х,01) = оЬ g (*) + 2 (¥\ + Г2).
V' = ей
(У/2) - Р2*
а2 + р2
ехр [ ^(*)]. = ей
( у /2) + р 2*
а2 + р2
ехр [ g(*)].
g(*) =
_ ур2*
ехр
а2 + р
. С1(X, 0; ) = р-
22 а р *2
22 а +р
7а2 + р2
Чтобы перейти в формуле (23) от коэффициен- сывающим процесс термодиффузии, выразим че-тов а, р, у и 5 к безразмерным переменным, опи- рез них отношение
р2 = _1_
а2 + р 2 [ 1- дв2( д/2- 1)]0?ехр (-2 д) + 1.
^ 0 УР 0 72 Б (0) t
Сравнивая время 0Х = ——— и время 0 = —в решении [6]
ЛЯр ЛЯр
Сг(X, 0) = К(X)Ж(X, 0)С18оЛ(X, 0). (24)
где
К(X) = - двX + (дв0/2 )2. С^(X, 0)
X2
ехр I —2-
' 02 + 1
2 5 1$01П V ' ^ / I---
02 +1 70^+1
Ж(X, 0) =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.