научная статья по теме ВЛИЯНИЕ ТОПОГРАФИИ ДНА НА НЕСТАЦИОНАРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ, ПЛАВАЮЩЕЙ НА МЕЛКОВОДЬЕ Математика

Текст научной статьи на тему «ВЛИЯНИЕ ТОПОГРАФИИ ДНА НА НЕСТАЦИОНАРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ, ПЛАВАЮЩЕЙ НА МЕЛКОВОДЬЕ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 72. Вып. 4, 2008

УДК 532.591+539.3

© 2008 г. И. В. Стурова

ВЛИЯНИЕ ТОПОГРАФИИ ДНА НА НЕСТАЦИОНАРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ, ПЛАВАЮЩЕЙ НА МЕЛКОВОДЬЕ

В рамках линейной теории мелкой воды исследуется нестационарное поведение свободно плавающей на поверхности идеальной и несжимаемой жидкости тонкой упругой пластины в виде полосы постоянной ширины и бесконечной длины. Нестационарное поведение пластины обусловлено начальными возмущениями или внешней нагрузкой. Глубина жидкости под пластиной переменна. Предполагается, что все характеристики течения не зависят от координаты вдоль пластины. Прогиб пластины ищется в виде разложения по собственным функциям колебаний в пустоте с амплитудами, изменяющимися во времени. Задача сводится к решению бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для неизвестных амплитуд. Исследовано поведение пластины при различных воздействиях и формах донных неровностей. Показано, что топография дна может существенно влиять на деформации пластины.

Гидроупругое поведение плавающих на поверхности жидкости тонких пластин представляет интерес для ряда практических приложений: плавучие платформы, ледовые поля, волноломы. Большое количество исследований поведения плавающих упругих пластин под действием набегающих поверхностных волн и внешней нагрузки (см., например, обзоры [1-3]) выполнено в основном в предположении, что глубина жидкости постоянная. Однако в действительности при расположении плавающей структуры вблизи берега неровность дна и соответствующие изменения глубины жидкости могут заметно влиять на гидроупругое поведение пластины. Влияние топографии дна было недавно исследовано в линейной задаче о рассеянии периодических поверхностных волн на упругой плавающей пластине [4-6] в предположении, что течение жидкости и деформации пластины - периодические функции времени. Была рассмотрена [4] двумерная задача для жидкости конечной глубины. При численном решении уравнения Лапласа в конечной области, охватывающей неровность и пластину, использован метод граничных элементов. Поведение прямоугольной пластины изучено численно для мелкой воды методом конечных разностей [5] и для жидкости конечной глубины методом конечных элементов [6]. Выполненное сопоставление [5] численных и экспериментальных результатов для амплитуд колебания пластины показало их хорошее совпадение. Отмечено [6], что влияние неровного дна особенно заметно при малых глубинах жидкости и длинных набегающих волнах.

В данной работе предлагается метод решения линейной нестационарной задачи о поведении плавающей упругой балочной пластины. В качестве примеров рассматриваются следующие случаи: набегание на пластину поверхностной локализованной волны, начальная деформация пластины и действие на нее подвижной внешней нагрузки. Для ровного дна ранее были изучены первый и второй случаи [7], а также третий случай [8]. Сначала будет подробно изложено решение задачи в первом случае, а затем кратко указаны изменения, вводимые для других случаев.

1. Постановка задачи. Пусть на поверхности слоя идеальной несжимаемой жидкости свободно плавает упругая однородная балка длиной 2L. Поверхность жидкости, не покрытая балкой, свободна. Область S, занятая жидкостью, разделяется на три части: S1(|x| < L), S2(x < -L), S3(x > L), где x - горизонтальная координата. В отсутствие пластины глубина жидкости равна H(x) в области S1. В полубесконечных областях S2 и S3 глубины жидкости предполагаются постоянными и равными соответственно H1 и H2. Для про-

стоты изменение глубины жидкости предполагается непрерывным, т.е. Н(-Ь) = Н1 и Н(Ь) = Н2, но может быть рассмотрено также и резкое изменение глубины при |х| = Ь. При наличии пластины глубина жидкости в области ^ уменьшается на величину осадки пластины й и равна Н(х) = Н(х) - й. Предполагается, что максимальная глубина жидкости мала по сравнению с длиной поверхностных и изгибно-гравитационных волн, и используется приближение мелкой воды. Потенциалы скоростей, описывающие движение жидкости в областях Б/, равны ф/ (х, г) (/ = 1, 2, 3), где г - время.

Предположим, что слева на балку набегает локализованная поверхностная волна, вертикальное смещение жидкости в которой равно По(х, г) = /(х - г). Функция/(£) отлична от нуля только при |£| < с. Такая волна может возникнуть в результате распада начального возвышения свободной поверхности в момент г = г0 при условии первоначального покоя всей жидкости. Как известно [9], в этом случае при г > г0 свободная поверхность представляет собой две одиночные волны, движущиеся без деформации со скоростью ^Н. в противоположных направлениях. Амплитуды этих волн равны половине амплитуды начального возвышения, а ширина области, занятая каждой из этих волн, равна ширине области начального возвышения. Предполагается, что в момент времени г = 0 пластина и жидкость покоятся в областях и Б3, а локализованное возмущение достигает левого края пластины в области Б2. При г > 0 начинаются колебания пластины и жидкости в области Б1, которые вызывают расходящиеся от пластины волновые возмущения в областях Б2 и Б3. Нормальный прогиб балки Эйлера ^(х, г) описывается уравнением

„э4 w д2М> дф1 пс л\

Б —- + т —-т- + £рw + рз- = 0, х е Б. (1.1)

Эх дг дг

где Б - цилиндрическая жесткость пластины, т - ее удельная масса, р - плотность жидкости, g - ускорение силы тяжести.

Согласно линейной теории мелкой воды справедливо соотношение

д w д Л, ЭФЛ „ „

э7 = "эхГ(х} ахJ, х е Б. (1.2)

В областях вне пластины потенциалы скоростей удовлетворяют уравнениям

д2ф2 д2ф2 д2ф3 д2ф3

= gHl-^, х е Б2, = gH2-^, х е Б3 (1.3)

дГ дх дГ дх

Возвышения свободной поверхности п2(х, Г) и п3(х, Г) соответственно в областях Б2 и Б3 определяются из соотношений

П . = -!дф', х е Б:, / = 2, 3 Ч g д г р

На краях балки ставятся условия свободного края - равенство нулю изгибающего момента и перерезывающей силы

23

,, Т д w д w „ |х| = Ь: —2Г = —= 0

д х д х

а также должны быть выполнены условия непрерывности давления и массы:

х = _Ь: дФ = дФ дФ = Н.дФ2. х = Ь- дФ = дФз дФ = Н2дФз (14)

дг дг' дх Н. дх ' ' дг дг' дх Н2 дх

где

hi, 2 = H1 2-d, d = m/p Вдали от балки

x ^ -тс: Эф2/Эх ^ 0; x Эф3/Эх ^ 0

Начальные условия имеют вид

Эф1 Эф3 Эф2

t = 0: w = Пз = -д7 = -дГ = 0' П2 = По, = -gno (I-5)

Перейдем к безразмерным переменным, взяв за единицу длины L, а за единицу времени Jb/g . Используются следующие безразмерные коэффициенты:

5- D d

§ = —4, Y = L

pgL L

2. Метод нормальных мод. Прогиб балки ищем в виде разложения по собственным функциям колебания балки со свободными концами в пустоте

w(х, t) = £ Xn(t)Wn(x) (2-1)

n = 0

Функции Xn(t) подлежат определению, а функции Wn(x) - решения следующей спектральной задачи в безразмерных переменных:

W'nV = ^Wn, |x| < i

|x| = 0: W2n = W2n + i = 0|x| = 1: WZ = W. = 0

Штрих означает дифференцирование по x. Эти решения имеют вид

W0 = 1/72, Wi = 73/2 x, W 2n = D2n [ cos (X^x) + ^2n ch (4.x)]

W2n + 1 = D2n + 1[ sin (X2n + 1x) + S2n + 1sh (X2n + 1x)]

где

Sn = cos Xn/ch Xn, Dn = 1/^1 + (-1 )nS2n

Собственные значения Xn определяются из уравнения

tg Xn + (-1)n th Xn = 0 (n > 2), X0 = X1 = 0

Функции Wn(x) образуют полную ортогональную систему, нормированную следующим образом:

J Wn(x)Wm(x)dx = §nm

-1

где §nm - символ Кронекера.

Подставляя разложения (2.1) в (1.1) и начальные условия (1.5), умножая полученные соотношения на ^т(х) и интегрируя их по х от -1 до 1, получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями:

У Хт + (5^ + 1) Хт + Рт (I) = 0, Хт (0) = Хт (0) = 0 (2.2) Здесь

Рт(<) = | ™т^dX (2.3)

-1

и точка сверху означает дифференцирование по времени. Решение для ф:(х, г) ищем в виде

Ф1( х, г) = £ Хп (г )¥„ (х) + д (х, г)

п = 0

где функции ¥;(x) удовлетворяют уравнению

^ ( X) = - Vn ( x )/h ( x ), y; ( x ) = W„( x ) и имеют вид

x

-1

„ x .. 1/3 2

mVo = 72' у1 = 2А/Зx

У2; = T-^ [ sin (X2;x) + S2; sh (^2;x)] , У2; + 1 = T^ [S2; + 1 ch (^2; + 1x) - COs (^2; +1x)] 2; 2;+1

Функция q(x, t) неизвестна и согласно уравнению (1.2) и начальным условиям (1.5) имеет вид

x

q(x, t) = Q(x)u(t) + u(t), Q(x) = J h|-, u(0) = u(0) = 0

-1

Функции u(t) и u(t) определяются из условий согласования (1.4).

Далее рассмотрим поведение решения в областях S2 и S3. Решение для ф2^, t) ищем в виде

ф2(x, t) = ф0(x, t) + x, t) где фo(x, t) - потенциал набегающей волны, который определяется из соотношения

Эфо/âx = VTH

Функция y(x, t) описывает потенциал скоростей отраженной волны. Согласно уравнению (1.3) решение для y(x, t) можно искать в виде

Г A (( x +1)/7я1 + t), -(1 + 7я10< x <-1

¥(x, t) = \ V ^ (2.4)

l 0, x <-( 1 + ^ )

Аналогичное представление имеет место и для функции ф3(х, г), которая описывает потенциал скоростей проходящей волны,

Фз(х, Г) =

Б(г - (х-1)/„/я2), 1 < х <\ + 4и2г

0, х > 1 + „/Й2 г

(2.5)

Функции А© и Б(Е) неизвестны. Используя условия согласования (1.4), получим следующие дифференциальные уравнения для этих функций:

(2.6)

А = (и + XЯ - XЯ)/ТН - а(г), Б = (XЯ + XЯ - и)/7^2 с начальными условиями

А (0) = Б( 0) = 0 Здесь

а(г) = П0(-1, г), Я = Уя( 1), ^0 = Я = ¿Д Я = 0 при я > 2

Используя приведенные выше соотношения, получим выражение для функции ¥т(г) (2.3) в виде

Рт(г) = £ ^я(г)(АяЯт + с„ш) + (рят + лт)и +

я = 0

+ 725т 1 [(и + Я - X Я)/^Н - 2а(г)]

где

Сят = *, Ля = ^я ( 1), в = а ( 1)

-1

Окончательная система дифференциальных уравнений для определения колебаний балки имеет вид

£ ^я(У5ят + ЛяЯт + Сят) + Т25т0

=0

1

—-=(и + XЯ0 - X Я ) - 2а(г)

я1 0 0 1 1

+ (5^ +1) Хт + (в Ят + Лт) и = 0

(2.7)

1

и= ¡в

. 1= - -У XЯ + Г"7= + -р-ЛX Я - и) - £ ХяЛя + 2а(г) я2 я1 я1 я2

=0

После определения функций Хя(г) и и(г) можно найти все характеристики движения жидкости и упругой балки. Например, для вертикальных возвышений свободной поверхности получим

П2(х, г) = п0(х, г) + £(х, г) в области Б2

С( х, г) =

-А((х +1)/Тя1 + г), -(1 + 7Н г ) < х <- 1

0, х < -(1 + 7Нг)

г-в(г - (х -1)/,Щ2), 1 < X < 1 + л/Я2г П3 (х, г) = < в области Б3

10, х > 1 + 4и2г

Функции А ©

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком