ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2008, том 419, № 2, с. 184-188
ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 539.422.32
ВЛИЯНИЕ ТРЕЩИН НА МИГРАЦИЮ ГРАНИЦ ЗЕРЕН В НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ КЕРАМИКАХ И МЕТАЛЛАХ
© 2008 г. Академик Н. Ф. Морозов, И. А. Овидько, А. Г. Шейнерман
Поступило 24.10.2007 г.
Предложена модель, описывающая миграцию границ зерен (ГЗ) вблизи микротрещин в деформируемых нанокристаллических керамиках и металлах. Миграция ГЗ происходит под действием локального сдвигового напряжения в окрестности вершины трещины и приводит к его частичной релаксации, повышающей трещиностойкость нано-материала. Рассчитана величина критического внешнего напряжения, необходимого для начала миграции ГЗ вблизи микротрещины, а также зависимость длины миграции ГЗ от внешнего напряжения и характеристик микротрещины.
Хорошо известно, что пластическое поведение материалов определяется движением дефектов. В поликристаллических материалах основными носителями пластической деформации (ПД) являются дислокации. Между тем в нанокристаллических материалах действие традиционных источников размножения дислокаций, таких, как источник Франка-Рида, подавлено вследствие наномас-штабных эффектов [1-3]. Из-за этого скольжение решеточных дислокаций в наноматериалах затруднено или полностью отсутствует, и определяющую роль в процессах ПД играют ГЗ. Наличие в наноматериалах высокой плотности ГЗ и их тройных стыков делают существенными механизмы ПД, не дающие заметного вклада в ПД в поликристаллических материалах. Эти механизмы включают зернограничное проскальзывание [4, 5], диффузионную ползучесть по ГЗ [6] и их тройным стыкам [7], повороты зерен [8, 9] и миграцию ГЗ [4, 10, 11]. Мы будем рассматривать случай, когда одним из доминирующих механизмов ПД является миграция ГЗ. В работе [12] предложена модель миграции ГЗ под действием внешнего напряжения как специфической для нанома-териалов моды пластической деформации. Вместе с тем роль миграции ГЗ в процессах разрушения, а также обратное влияние таких процессов на ми-
грацию ГЗ в наноматериалах не изучены. В настоящей работе предлагается теоретическая модель, описывающая миграцию ГЗ вблизи микротрещин в нанокристаллических керамиках и металлах.
Рассмотрим нанокристаллический материал, содержащий плоскую трещину длиной Ь (рис. 1). Пусть вершина этой трещины расположена на расстоянии р от середины ГЗ АВ. Будем считать, что ГЗ является отрезком, а поворот зерен отсутствует. Введем декартову систему координат (х, у), как показано на рис. 1. Под действием внешнего поля напряжений с (с единственной ненулевой компонентой сху = т) и концентрации этого напряжения у вершины трещины ГЗ АВ мигрирует в новое положение СБ (рис. 1).
Рассчитаем изменение энергии ДW, связанное с миграцией ГЗ (рис. 1). Мы будем рассматривать миграцию только одной ГЗ в направлении действия максимального касательного напряжения. Таким образом, мы будем рассматривать самый благоприятный случай для миграции ГЗ. Анализ энергетического состояния системы будем проводить на основе теории дисклинаций [13]. Следуя [12], введем квадруполь клиновых дисклинаций (рис. 1), мощность ±ю которых равна по модулю
Санкт-Петербургский государственный университет
Институт проблем машиноведения Российской Академии наук, Санкт-Петербург
\ЛП4
трещина
Рис. 1. Миграция границ зерен вблизи вершины трещины. Миграция границы наклона из положения АВ в положение СБ приводит к образованию квадруполя клиновых дисклинаций (треугольники). Пунктирные линии обозначают исходные положения мигрирующих границ зерен. Справа - крупный план участка на-нокристаллического образца с границей зерен, мигрирующей вблизи вершины трещины.
углу разориентации ГЗ. Обозначим длину ГЗ АВ как й, а длину ее миграции АС как 5. Эти длины также служат характерными размерами (называемыми плечами) дисклинационного квадруполя. Для приближенной оценки изменения энергии ДW мы используем следующие упрощающие предположения. Во-первых, будем моделировать нано-материал как изотропную бесконечную среду с модулем сдвига О и коэффициентом Пуассона V. Во-вторых, предположим, что расстояние р между вершиной трещины и серединой ГЗ АВ велико по сравнению с плечами квадруполя 5 и й (р > (5, й)). Это позволит нам пренебречь как пространственной неоднородностью создаваемых трещиной напряжений в области АВВС, так и влиянием трещины на напряжения, создаваемые дисклинаци-онным квадруполем, и его энергию. В-третьих, предположим, что длина трещины Ь гораздо больше расстояния р между вершиной трещины и серединой ГЗ АВ (Ь > р). Это предположение позволит использовать асимптотические выражения для напряжений трещины в области АВВС. Наконец, ориентацию трещины выберем таким образом,
чтобы плоскость трещины образовывала угол 4- с к
осью х и угол 2 с вектором р, направленным от вершины трещины к середине ГЗ АВ (см. рис. 1). В этом случае трещина является трещиной отрыва. Таким образом, с точки зрения трещиностой-кости мы выбираем наихудшее положение трещины. Вместе с тем в этом случае ориентация трещины относительно ГЗ АВ благоприятна для миграции этой ГЗ в направлении оси х. Сделанные предположения упрощают математический анализ исследуемой проблемы, не искажая при этом ее ключевые аспекты.
При указанных предположениях энергия ДW, связанная с миграцией ГЗ АВ в новое положение СВ, представима в виде
Д W = ^ + ^-
(1)
где Wq - собственная энергия дисклинационного квадруполя, а Wq - а - энергия его взаимодействия с внешним полем напряжений с учетом его концентрации вблизи вершины трещины.
Для расчета энергии Wq - а взаимодействия дисклинационного квадруполя с полем напряжений 0у, создаваемым внешним сдвиговым напряжением т в материале с трещиной, запишем асимптотическое выражение для аху вблизи вершины трещины с точностью до слагаемых порядка 0(г1/2) (т.е. исчезающих при г ^ 0, где г - расстояние до вершины трещины). Для этой цели введем полярную систему координат (г, 6), связанную с трещиной (см. рис. 1), и представим поле напряжений с^
ее е
в виде с = + а^, где - тензор внешних напряжений (с единственной ненулевой компонентой аеху = т в системе координат (х, у)), а а С - дополнительное поле напряжений, вызванное наличием
трещины. Поле напряжений аС обеспечивает вые е е
полнение граничных условий сее + сее = 0 и аг6 +
+ а^ = 0 на поверхностях трещины (характеризуемой координатами (г < Ь, 6 = п)).
Внешнее сдвиговое напряжение т создает расе
тягивающие напряжения сее = т в плоскости, перпендикулярной плоскости трещины, и не создает сдвиговых напряжений в плоскости трещины
(сее (е = п) = 0). Следовательно, трещина является трещиной нормального отрыва. Для расчета напря-
и е
жений сху воспользуемся асимптотическими выражениями (см., например, [14]) для напряжений
е е е
агг, сге и сее, действующих вблизи вершины плоской трещины нормального отрыва в изотропной бесконечной среде. С помощью этих выражений мы получаем следующее асимптотическое выражение для напряжения аху (справедливое с точностью до слагаемых порядка 0(г1/2)):
асху(г,е) = ,/ е81П36.
(2)
Суммарное напряжение аху, создаваемое внешней сдвиговой нагрузкой вблизи вершины трещины,
е
равно т + аху.
Представим теперь поле напряжений а®, создаваемое дисклинационным квадруполем в маи q qж qе
териале с трещиной, в виде а]: = а]: + а]: , где
а?- - поле напряжений дисклинационного квадруполя в бесконечной среде, а а^с - дополнительное поле напряжений, вызванное наличием трещины. Заметим, что характерное расстояние от дисклинационного квадруполя до вершины трещины предполагается большьи м по сравнению с плечами квадруполя (р > (5, й)). Вместе с тем поле
и q ^
напряжений а: дисклинационного квадруполя в бесконечной среде является короткодействующим (спадает на больших расстояниях от квадруполя обратно пропорционально квадрату расстояния от его центра), а внешние напряжения, необходимые для заметной миграции ГЗ (сопровождаемой образованием дисклинационного квадруполя), очень велики [12]. Поэтому будем рассматривать случай, когда на
берегах трещины напряжения аге и аее малы по
а
сравнению с величиной внешнего напряжения т (а?е (г < Ь, е = п) ^ т и с6о (г < Ь, е = п) ^ т). Как
и qе
следствие, все компоненты поля напряжений а?- , представляющего собой "реакцию" трещины на
и qж
поле напряжений а]- , малы по сравнению с соответствующими компонентами поля напряжений а С- (а^с < ае-). В связи с этим при расчете собственной энергии Wq дисклинационного квадруполя мы пренебрежем наличием поля напряжений а—, ап-
и q
проксимируя поле напряжений а]- дисклинационного квадруполя в материале с трещиной полем напряжений а— такого квадруполя в бесконечной
q q~
среде: а- - а- .
Рассчитаем теперь энергии Wq и Wq - а. Собственная энергия Wq дисклинационного квадруполя задается выражением [15] для энергии такого квадруполя в бесконечной среде:
2 ,2
Л,л В ю й Ту = —-—
{(1 + г2) 1п (1 + г2) - г21п г2}, (3)
О5
где В = —-——— , а г = - . 2п( 1- V) й
Энергия Wq - а взаимодействия дисклинационного квадруполя с полем напряжений а- предста-вима в виде [13]
Wq - а = -ю|а хуй$,
(4)
^ "Ют5й(^).
(5)
Теперь из (1), (3) и (5) получаем следующее окончательное выражение для энергии ДW, характеризующей миграцию ГЗ АВ:
. т„ Вю2й2\/л 2Ч1 /1 2Ч 2Л 2 Д W = —-— \ (1 + г ) 1п (1 + г) - г 1п г -
2 т г Л
■ш 11 +
(6)
В частном случае 5 < й формула (6) упрощается и принимает вид
Д W(г ^ 1) - Вю2й2г\ - г 1пг - ВЮ^ 1 + ^J ¡>. (7)
Положим, что миграция ГЗ реализуется, если выполняется условие Д W < 0. Из этого условия найдем первое критическое сдвиговое напряжение т = те1 для начала миграции ГЗ, определяемого как перемещение ГЗ на межатомное расстояние Ь. Начало миграции энергетически выгодно,
если ДW ^г = й J < 0. Подставляя в последнее соотношение формулу (7), получаем, что начало миграции ГЗ энергетически выгодно при т > те1, где
ВюЬ
1
1+
Ь_
32 р
1п
й
(8)
Оценим характерные значения те1 для наноке-рамики М§Л1204. При этом для определенности
положим
10
р
и рассмотрим дисклинации с
где - параметр интегрирования, а 5 - площадь прямоугольника АВБС, заметаемого движущейся ГЗ. П
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.