ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 4, 2004
АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ В МАШИНОСТРОЕНИИ
УДК 621.752.2
© 2004 г. Гордеев Б.А., Морозов П.Н., Синев A.B.
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА ЭНЕРГИИ В МАГНИТОРЕОЛОГИЧЕСКОМ ТРАНСФОРМАТОРЕ
Рассмотрен процесс изменения плотности потока энергии через дроссельные каналы гидроопоры, заполненной рабочей жидкостью с магнитореологическими свойствами, под действием внешнего магнитного поля. Магнитная индукция внешнего магнитного поля направлена ортогонально к направлению скорости потока и меняется по гармоническому закону. Показано, что процесс дросселирования существенно нелинейный даже при ламинарном движении и зависит от спектрального состава внешних электромагнитных полей.
Сложность и нелинейность поведения электро- и магнитореологических жидкостей, а также относительно высокие напряженности полей, необходимых для управления вязкостью этих составов, сыграли свою роль и на протяжении почти полувека это явление не получило распространения на практике. Только в последнее время, используя новые технологии, данные жидкости начинают находить применение в системах гашения вибраций и демпфирования ударов [1-4].
При составлении уравнений движения электрореологических сред в магнитных полях гидроопоры предполагаются следующие условия [5]. Электропроводность среды однородна и изотропна во всем объеме действия и не зависит от напряженности магнитного поля Н. Это условие имеет место при ю0т ^ 1, где ю0 - ларморова частота прецессии для ионизированных молекул рабочей жидкости, т - среднее время свободного пробега ионизированной частицы. Предполагается, что электропроводность у достаточно велика, т.е. (е/4л)(ю/у) ^ 1, где ю - частота внешнего сигнала, е - относительная диэлектрическая проницаемость среды. При дросселировании электрореологической жидкости в магнитном поле возникает индукционный ток с плотностью J = = (y/c)[VH], сила Лоренца fL = peE + (1/c)[jH], (где j = J + peV + yE, pe - плотность электрических зарядов в среде, Н - напряженность внешнего магнитного поля, E - напряженность внешнего электрического поля, V - скорость протекания электрореологической жидкости через дроссельные каналы).
Система уравнений, описывающих движение электрореологической среды в магнитном поле дроссельных каналов включает в себя уравнения Максвелла
д H/dt = rot[ VH] + vmAH, div H = 0,
где vm = c /4лу - коэффициент магнитной вязкости, который тем меньше, чем выше электропроводность среды. Гидродинамические уравнения движения среды: обобщенное уравнение Навье-Стокса
+ (W)V = -j-gradp -¡¡¡П- [HrotH] AV +1+ п)graddivV;
уравнение неразрывности (Эр/Эг) + div(pV) = 0; уравнение состояния среды p = p(p, I); уравнение закона сохранения энергии (3/3t)[(pV /2) + ри + (Я /8п)] = -divW, где р -плотность среды, V- скорость движения среды в дроссельных каналах, и - внутренняя энергия, Я - напряженность внешнего магнитного поля, W - плотность потока энергии (вектор Умова-Пойнтинга).
Диссипация плотности потока энергии W резко возрастает, если в потоке электрореологической среды нарушается химическое равновесие. С учетом параметров реологического заполнителя и внешнего магнитного поля плотность потока энергии можно представить в виде [6]
W= рV | и + Р
V
- KVТ + П 2
dVx) 2 + Г dV) 2 + Г
Эх )
э у)
dz )
dVx
ду
д Vy Л 2
+ -37) +
dVx д Vz)2 Г3 Vy 3V.
- +
дz дх ) V Эz ду )
2
^ nS)
(1)
- 3(61УV)2 + С(V)2 + -П[Я[УН]] - ^[HrotH],
2
где = с /4пу - коэффициент магнитной вязкости; и - удельная внутренняя энергия среды; К - коэффициент теплопроводности; п, С - коэффициенты первой и второй вязкостей электрореологической среды; Т - абсолютная температура.
Рассмотрим установившееся ламинарное движение по цилиндрической трубе кругового профиля (каналу гидроопоры) вязкопластической жидкости, реологическое уравнение течения которой представим в форме (г - текущий радиус точки, а - радиус дроссельного канала) [7]
е = -
dV dr
Т - Тп
при Т0 < Т < Tv
(2)
0 при т < т0,
где т - напряжение трения в любой точке сечения трубы, приложенное к площадке, перпендикулярной к радиусу трубы; т0 - характерное для данной вязкопластичной жидкости предельное напряжение, после достижения которого начинается течение жидкости; п - коэффициент пластической вязкости (рис. 1).
Границы применимости реологического закона (2) указаны в величинах т, поэтому для облегчения его интегрирования примем в качестве аргумента само напряжение т. Перепишем (2) в виде
dV dr
dVdT
dT dr
TvdV-
a dT
T - To
T 0 < T < TV
(3)
п
0, т = т0.
Несложное интегрирование при выполнении очевидного граничного условия и = 0 при т = ту приведет к связи скорости с напряжением трения в той же точке
тЪ . _ .... . .
т0 <т <тУ,
TV-a Г1-2-Т-0+-
2nV
v- г -2ilV -
1--
= const = V0
Т = To
+
Рис. 1
Рис. 2
Напряжение Ту можно выразить через заданный перепад давления Дp на участке длиной I Уравнение (3) дает следующую эпюру скоростей (г0 = 2lx0/Дp):
V =
2 . a Ap
4 nl
2
i_V
4lx,
Г i-r
22 a Ap Г I 4n l I. a
a- aAp ( a
2
Vо, 0 < r < r0
r0 < r < a,
Видно, что эпюра скоростей состоит из поверхности параболоида вращения (от стенки трубы до цилиндрической поверхности радиуса г0) и из плоской площадки, перпендикулярной к оси трубы (в центральной части трубы внутри цилиндрической поверхности; рис. 1). В этой центральной части вязкопластическая жидкость движется, как твердый стержень. При Дp/l < 2х0/а такой твердый стержень заполнит все сечение трубы и по свойству "прилипания" вязкой жидкости к твердой поверхности жидкость останется неподвижной.
Пусть напряженность магнитного поля Н изменяется по гармоническому закону и
направлена по оси х, т.е. Н :
т 2 тт2 -i2kx
=-k H0e .
: XQHoe
ikx
Тогда rot H :
(32/3x2)H = -k2H0e-kx и [H rot H]
Рассмотрим движение жидкости в центре канала при x = 0. Тогда V = V0 = const и Э Vx/dx = Э Vy/dy = Э Vz/dz = Э Vx/dy = Э Vy/dx = Э Vx/dz = Э VJdx = Э Vy/dz = Э VJdy = 0, аналогично (div V) = 0. Пусть напряженность магнитного поля ортогональна направлению скорости в канале H ± и, тогда [VH] = V0H. С учетом этих допущений перепишем уравнение(1)
Wx = 0 = Р V 0 ( u +
Ap
V
_ kV T +-1 H 02 V 0 + VmH 0. 4n 00 4n 0
(4)
Коэффициент поглощения у альфеновской волны (т.е. электромагнитной волны, направление распространения которой, понимаемое как направление ее групповой скорости, совпадает с направлением поля Н) можно найти из формулы [8]
Y = (M2/2u! )[(n / Р) + V m ],
UA = H^T4np,
(5)
где ю - частота магнитного поля; ^ - скорость распространения альфеновской волны.
W, Дж • с 2 • 1011 -0
-2 • 10 200
-600 1000 H, A/м
W, Дж • c
-4
Рис. 3
0 100 200 H, A/м 400
Рис. 4
Из уравнений (5) выразим магнитную вязкость vm
т3
_ у 2 H
х 3/2
n р'
( 4 np)J
Подставляя (6) в (4), получим
Wx _о| _ PVo(" +
Ap
v;
1 2 1 Hn - * VT + 4П H0V 0 +
2п
2 3/2
ю (4пр)
4пр
H
(6)
(7)
Чтобы упростить выражение, будем считать, что температура жидкости в канале постоянна (т.е. VT = 0). Примем, что в первом приближении вязкость жидкости не зависит от напряженности магнитного поля и скорости течения (n = const). В качестве рабочей жидкости возьмем магнитореологический заполнитель на основе глицерина при 20°. Тогда р = 1,26 • 103 кг/м3, п = 1480 • 10-3 кг/м • с. Радиус канала гидроопоры a = = 2,5 • 10-3 м, частота магнитного поля ю = 2п • 10 рад/с, коэффициент поглощения аль-феновской волны у = 0,1. Пусть r0 = (1/3)a, тогда V0 = (a2Ap/4^/)(1 - 1/3)2 = a2Ap/9^l.
Перепад давления в гидроопоре Ap = p1 - p2 (рис. 2), где p1 = F/S{, p2 = F/Sк; F - сила, действующая на гидроопору, Sj^ - площадь сечения канала; Sj - площадь сечения гидроопоры. Пусть сила воздействия на гидроопору изменяется по гармоническому закону, с частотой, равной частоте магнитного поля F = F0sin(œi). Тогда Ap = = (F0/S1)sin(ffli) - (F^sin^).
Сила воздействия F0 = 1000 H, Sj^ = па . Учитывая сказанное, построим зависимость плотности потока энергии в канале гидроопоры с магнитореологическим заполнителем W(H, t)\x = 0 (рис. 3). Рассмотрим так же изменение плотности потока энергии в зависимости от напряженности магнитного поля при фиксированном времени t = 1 c (рис. 4).
Из рис. 4 следует, что плотность потока энергии зависит от H как функция пятой степени. Это следует и из уравнения (7). Отметим, что даже в простейшем случае совпадения частот внешних вибрационных и электромагнитных полей плотность переноса энергии существенно нелинейна.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (Проект 03-02-16924 и Проект 02-01-81004 БЕЛ 2002а).
с
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гордеев Б.А., Образцов Д.И., Юдин В.А. и др. Виброизолирующее устройство // А.С. < 17799843 (СССР) кл. F16 F6/00. Б.И. 1992. < 45.
2. Phule P., Ginder J. The materials science of field-responsive fluids. MRS Bulletin. Augest 1998. P. 19-22.
3. Bar-Cohen Y., Pfeiffer C, Mavroidis C, Dolgin B. MEMICA // A concept for reflecting remot-ma-nipulator forces. NASA Tech Briefs. 2000. V. 24. < 2. P. 7a-7b.
4. Alvin R. Variable resistance device using electroactive fluid. United States Patent < 6029783. Feb. 29, 2000. Wirthin. Int. Cl. F16 F15/03.
5. Гордеев Б.А., Ерофеев В.И., Синев А.В. Применение инерционных электрореологических трансформаторов в системах виброизоляции // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2003. < 6. С. 22-27.
6. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. М.: Наука, 1964. С. 847.
7. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978.
8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.
Нижний Новгород-Москва Поступила в редакцию 17.III.2004
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.