ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2009, том 28, № 4, с. 81-84
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА НАНОМАТЕРИАЛОВ
УДК 530.12
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ В УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБКАХ
© 2009 г. Ю. И. Сезонов , Ю. В. Перепелкина
Московский государственный институт электроники и математики (Технический университет)
E-mail: sezonov@miem.edu.ru Поступила в редакцию 08.10.2008
Получена квантовая формула, описывающая зависимость продольной диэлектрической проницаемости нанотрубки от ее характерных параметров и от напряженности магнитного поля. Выделена мнимая часть диэлектрической проницаемости, проанализированы случаи больцмановского и вырожденного электронного газа. Для вырожденного электронного газа получены асимптотики поглощения в коротковолновой и длинноволновой областях. Показано, что коэффициент поглощения электромагнитной волны испытывает осцилляции Ааронова-Бома.
ВВЕДЕНИЕ
Открытие новых форм углеродных соединений, сначала фуллеренов [1], а затем нанотрубок [2] является одним из самых значительных дости-женией химии конца XX века. Исследования показывают, что физические свойства наноструктур весьма чувствительны к их геометрии. В зависимости от геометрической структуры однослойная углеродная нанотрубка может быть диэлектриком, металлом или полупроводником [3]. Уникальные явления предсказываются в низкоразмерных структурах в присутствии внешнего электромагнитного поля. В магнитном поле наблюдается осциллирующая зависимость квантовых макроскопических свойств квантового цилиндра. Параметр осцилляций есть величина, равная отношению магнитного потока через поперечное сечение на-нотрубки к кванту магнитного потока. Это открывает принципиальную возможность управления физическими свойствами наноструктур, изменяя напряженность внешнего поля. Осцилляции Ааронова-Бома для проводимости квантового цилиндра в баллистическом режиме исследовались, например, в работах [4, 5]. Магнитный отклик двумерного электронного газа в нанотрубках с цилиндрической симметрией также испытывает осцилляции Ааронова-Бома [6, 7].
Значительный интерес вызывает исследование дисперсии плазменных волн в нанотрубках [8, 9]. В связи с этим представляется весьма важным изучение условий затухания плазменных волн в интересующей части спектра, а также возможных механизмов управления этим затуханием в нанотрубках. Можно выделить три типа затухания плазменных волн. Это - диссипативное затухание, связанное с рассеянием электронов на примесях и фононах, радиационное затухание, связанное с излучением фотонов, и затухание
Ландау. Затухание Ландау - бесстолкновительная диссипация энергии в плазме, которая возникает, когда скорость электронов в направлении распространения волны совпадает с фазовой скоростью волны [10].
Настоящая работа посвящена вычислению мнимой части диэлектрической проницаемости намагниченного электронного газа квантового цилиндра, ответственной за поглощение электромагнитного излучения.
ТЕОРИЯ
Под влиянием возмущения, задаваемого скалярным потенциалом ф = ф(г, t), происходит изменение плотности намагниченного электронного газа. Для ее вычисления будем исходить из кван-товомеханического уравнения для матрицы плотности.
Не зависящая от спина матрица плотности p(t, г1, г2) является решением уравнения [10]
i |р = (#i- H* )р,
где индексы "1" и "2" относятся к координатам г1 и г2, на которые действует гамильтониан электрона
H = Ho + еф(t, r).
Здесь Ho - гамильтониан нерелятивистского электрона на цилиндрической поверхности в постоянном магнитном поле, направленном вдоль оси цилиндра:
Рз
22 d fflc d m * fflc 2 Яо = -£ —2-iTd + ------R + о *'
dФ2 2 d9 8 2m*
юс = eH/m* - циклотронная частота, R - средний радиус цилиндра, m* - эффективная масса электрона, pз - оператор проекции импульса на ось г цилиндрической системы координат, Н - напряженность магнитного поля, направленного вдоль оси г, ф - полярный угол, £ = l/2m*R2 - энергия размерного взаимодействия.
Спектр и нормированные собственные функции гамильтониана (1) определяются формулами
Е(п, рз) = £{п + ф)
Рз
2т *'
¥п, Лф, г) =
ехр [ г (п ф + р3г)]
(2 п RL)
1/2
(2)
(3)
ф(г, г) = А(г)ехр [- гюг + г7ф + гкзг].
(4)
£(ю, кз) -1 =
X | ^
2е
п
11 (к з R) К1 (к з R )х
Пе\ п - 2, Рз -
2
Дальнейшее обсуждение проведем для I = 0. В этом случае имеем
£(ю, кз) -1 = Iо(кзR)К0(кзR)х
х
XI ^
г =
к
- пР\ п, Рз+2
Пг\ п, Р з-- | -
Рзкз . гГ 1 ю - т- + г • 0
т*
(5)
Эту формулу можно преобразовать к виду
2е2R,
В (2) и (3) приняты следующие обозначения: п = 0, ±1, ±2, ... - азимутальное квантовое число, Ф = = пR2H - магнитный поток через сечение цилиндра высотой L, Ф0 = оН/е - квант магнитного потока, е - заряд электрона.
Зависимость возмущения ф(г, г) от времени и координат в цилиндрической системе координат представим в следующем виде:
£ (ю, кз) -1 = 1о (кз R) Ко (кз R) х
х
X ехр
ф
-2 гпк -г-Фп
(6)
к = -
Влияние магнитного поля на электронный газ будем учитывать точно, а реакцию системы на возмущение (4) - по теории возмущений в линейном приближении [11]. В результате находим следующую формулу для электронного вклада в продольную диэлектрическую проницаемость намагниченного электронного газа квантового цилиндра:
Из (6) видно, что диэлектрическая проницаемость является осциллирующей функцией параметра Ааронова-Бома Ф/Ф0. Явный вид функционала вк здесь не приводится.
Используя формулу Сохоцкого, выделяем из (5) мнимую часть продольной диэлектрической проницаемости, и проведя интегрирование по р3, получаем точный результат, описывающий затухание Ландау:
х
1т£(ю, кз) = (-2е')¡о(кзR)Ко(кзR)
X п'Л п, ---Г-- пг\ п,
т *
х
22 2т *ю - кл ,( 2т * ю + к
2 к з
2 кз
Здесь
- пГ\ п + -, Рз +2 I юо
ю-
Рз кз п1
т*
т * R
пг = < ехр
+ г • о
где ¡(х) и К(х) - модифицированные функции Бесселя мнимого аргумента. Полученный результат является обобщением формулы Силина-Кли-монтовича [10] применительно к намагниченному электронному газу на цилиндрической поверхности.
Пространственная дисперсия приводит к возможности распространения в нанотрубке продольных электрических волн, для которых вектор Е направлен вдоль волнового вектора к [10].
£ ( п + Ф/Фо ) 2 + ({ /2т * - ц кТ
+1
? =
2 т* ю - кз ~2кз '
к - постоянная Больцмана, Т - температура.
Вычислим сначала поглощение для предельного случая больцмановского газа, т.е. при условии
ц< о, |ц| > кТ, где ц - химический потенциал.
+^
з
з
п = -^
х
п =
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
83
Согласно формуле суммирования Пуассона [12] состоянии (п = 0), для которого квазиимпульс
Ферми продольного движения
^ ехр { -пг (п + а)2} =
= I1 еХР
(7)
^^ + 2теша] = ^0(а, q),
г 1 4г
где
Ф -п/г
а = Ф' q = е '
г =
п кТ'
0(а, q) - тета-функция Якоби. Используя (7), находим
Ттег(ю, кз) = (-2е2)/о(кзЯ)Ко(к3Я)
ш *
2Л|ПТ)|Х (8)
. (пкТ
1/2
х |— | 0(а, q) ехр
1
М___
кТ 2ш *кТ
2 , 4\1
(2 ш* ю) 2 + к3
(2 к з)2
Л1
Для реальных ситуаций, когда кТ > е, из (8) следует
1тег(ю, к3) = (-2 е ) /0(кзЯ) К0(к3Я)
ш*
2 кТ)
х
Сп§Т
1/2
ехр
1
м___
кТ 2ш * кТ
24
(2 ш * ю) + к3
(2 кз )2
х (9)
" . (. Ф] ( п2кТ 1 + 2ео81 2пф-1 ехрI —-
Для случая полностью вырожденного электронного газа, когда выполнено условие
2Ф/Ф0 < 1,
(10)
Еп
• Е-1 —- Е+1
Е
Е+2...
Если выполнено также условие 1 - Ф/Ф02
N <■
Я п'
(11)
п N.
рР = —.
Как это следует из (11), существование только одного дискретного уровня энергии поперечного движения становится более вероятным с уменьшением радиуса нанотрубки.
Для п = 0 в предельном случае вырожденного газа имеем
2ш*ю - к2] ( 2ш*ю + к3 пРI п,-—-| - пРI п,
= е
2к3
2 (2ш * ю - к3 )2_1 р¥ -
-е
(2кз Г
= е[ ] - е[ р2 ],
2 к 3
2 (2 ш* ю + к3 )2
р¥ -
(2 к з Г
причем
> р2, е(р) =
1, р > 0, 0, р < 0.
Таким образом, область значений параметров, для которых 1т ег(ю, к3) Ф 0 определяется из условия Р1 > 0, Р2 < 0, т.е. из неравенства
(2 ш *ю - к3 )2 2 (2 ш* ю + к2 )2 < рр <■
(2 к з Г
(2 к з Г
(12)
а зависимость ю = ю(к3) находится из уравнения ег(ю, к3) = 0 и имеет вид [9, 11]
2
ю=
2-|*] + (^) 2 +
заполнение электронами дискретных уровней энергии поперечного движения происходит в следующем порядке:
( кз ] I п кз ав I
+(кз ^)(шОе,ь {¿¡ЖШШ Ь
Оценки показывают, что для широкого ряда нанотрубок с цилиндрической симметрией оказываются заполненными электронами только несколько самых низких подзон энергии поперечного движения [13].
где aв - эффективный боровский радиус, рР = = ш*Vp.
В результате для вырожденного электронного газа при выполнении условий (10)-(12) получаем
2( ш'
1т-I (ю, кз) = -2 е | | /0 (кз Я) К0( кз Я).
Рассмотрим предельные случаи коротковолнового и длинноволнового излучения. Учитывая, что
10 (* )|* , 1
1
1/2
е*, /0( * )| * < 1 в1,
где Иь = N/L - линейная плотность электронов, то электроны могут находиться только в основном
(2 п *)
(яЛ1/2 -
К 0 (* )| * > 1 «I 2"*! е*, К 0( * )1 * « 1 « -1п *,
з
з
х
2
получаем
1тег(ю, k3) = -e'
2f m *
, k3 R > 1,
k3 R
-2 In (k 3 R), k 3 R < 1.
Таким образом, как это следует из формул (6) и (9) коэффициент поглощения продольной электрической волны в углеродной нанотрубке является осциллирующей функцией параметра Аароно-ва-Бома Ф/Ф0, причем как в случае больцмановско-го, так и вырожденного электронного газа.
Авторы выражают благодарность П.А. Эми-нову за обсуждение результатов работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kroto H.W. // Nature. 1985. V. 318. P. 162.
2. Iijima S. // Nature. 1991. V. 354. P. 56.
3. Saito R., Dresselhaus G, Dresselhaus M.S. Physical properties of Carbon Nanotubes. London: World Scientific Publ., 1998.
4. Островский П.М. // Письма в ЖЭТФ. 2000. Вып. 6. Т. 72. С. 600.
5. Margulis V.A., Shorokhov A.V., Trushin M.P. // Phys. Lett. A. 2000. V. 180. № 1. P. 276.
6. Гейлер В.А., Маргулис В.А., Шорохов А.В. // ЖЭТФ. 1999. Т. 115. Вып. 4. С. 1450.
7. Сезонов Ю.И., Эминов П.А. // Известия вузов. Физика. 2006. № 12. С. 51.
8. Ведерников А.И., Говоров А.О., Чаплик А.В. // ЖЭТФ. 2001. Т. 120. Вып. 4. С. 979.
9. Витлина Р.З., Магарил ЛИ., Чаплик А.В. // ЖЭТФ. 2008. Т. 133. Вып. 4. С. 906.
10. Лив
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.