ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2013
УДК 539.374
© 2013 г. Александров С.Е., Лямина Е.А., Новожилова О.В.
ВЛИЯНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРЕДЕЛА ТЕКУЧЕСТИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ НА НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОНКОМ ПОЛОМ ДИСКЕ1
Рассматривается тонкий полный упругопластический или идеально-пластический диск, помещенный в жесткий цилиндрический контейнер и подверженный действию температурного поля. Приняты условия плосконапряженного состояния. В пластической зоне выполняется условие текучести Мизеса. Основная отличительная особенность постановки задачи проявляется в учете зависимости предела текучести от температуры, которая принимается в произвольной форме. Параметрический анализ решения выполнен для линейной зависимости. Показано, что для ряда материалов необходимо учитывать зависимость условия текучести от температуры для определения напряженно-деформированного состояния в диске и для определения условий перехода всего диска в пластическое состояние.
Тонкие пластины и диски с отверстиями и включениями широко используются в инженерных конструкциях и механизмах. Решения краевых задач для определения напряженно-деформированного состояния в таких элементах конструкций, подверженных различным условиям нагружения и подчиняющихся различным определяющим уравнениям, приведены в монографиях [1—3] и многочленных журнальных публикациях [4—10]. Несмотря на относительную простоту постановки краевой задачи в рамках плосконапряженного состояния, ее решение представляет определенные трудности, в том числе при применении численных методов [11]. Эти трудности связаны с математическими особенностями решений. В частности, в некоторых условиях может возникать локализация пластической деформации [1]. При достижении этих условий дальнейшее возрастание параметра нагружения невозможно. При других условиях на-гружения пластическая зона стремительно развивается после начала пластического деформирования и при незначительном возрастании параметра нагружения охватывает всю конструкцию [12—14]. При действии двух независимых параметров нагруже-ния возможно возникновение двух различных механизмов пластического коллапса [15]. Для изучения отмеченных и возможных других особенностей решения аналитические и полуаналитические методы предпочтительнее численных даже если при этом необходимо упрощать постановку краевой задачи. Таким образом, в частности, была установлена сильная чувствительность решения к параметрам нагружения при термическом нагружении идеально-упругопластического диска [13]. Этот вывод был распространен на материалы, условие текучести которых зависит от среднего напряжения [16]. В [13, 16] считали, что свойства материала не зависят от температуры. Принимая во внимание отмеченную сильную чувствительность решения к параметрам нагружения, представляет интерес установить влияние зависимости предела текучести от температуры на развитие пластической зоны и распределение напряжений в
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 11-01-92001-ННС_а).
тонком диске. В настоящей статье выполнено такое исследование. Полученное решение обобщает решение [13].
Постановка задачи и упругое решение. Рассмотрим тонкий диск радиуса Я0 с центральным отверстием радиуса г0, который вставлен в жесткий контейнер радиуса Я0 (рис. 1). Диск подвержен действию изменяющегося во времени температурного поля. В исходном состоянии диск свободен от напряжений. Разность температуры между исходным и текущим состояниями обозначим Т. Предполагаем, что Тмонотонно возрастающая функция времени Введем цилиндрическую систему координат гбг, ось z которой совпадает с осью симметрии диска. Предполагаем плосконапряженное состояние, = 0. Краевые условия имеют вид:
0 при r
ar = 0 при r
Ro; = r0 ,
(1) (2)
где и — радиальное перемещение, стг — радиальное напряжение.
Окружное напряжение будем обозначать сте. Решение не зависит от 9, а аг, сте, az главные напряжения.
Общее решение уравнений линейной термоупругости имеет вид
а,/Е = ЛЛ02/г2 + С, ст0/Е = - ЛЛ02/г2 + С
u Cr ri , \AR
Т = (1 - v)IT - (1 + v)_ Ro Ro r
00 + а T r " R0 '
(3)
(4)
где Е — модуль Юнга; V — коэффициент Пуассона; а — коэффициент линейного термического расширения; А, С — постоянные интегрирования.
Величины А и С зависят от Т. Когда весь диск упругий, то А и С определяются из (1)—(4) как
A
a Tn
(1 + v)n + 1 - v Из (3) и (5) получим а T
E
C = - о
а T
[(1 + v)n + 1 - v]
(1 + v)n + 1 - v
где n = r{]/R0
-1
E
aT
[(1 + v)n + 1 - v]
+1
(5)
(6)
где р = г/Я0.
Упругопластическое решение для напряжений. Предположим, что материал подчиняется условию текучести Мизеса. С учетом сделанных предположений это условие принимает вид
V3(s¿r + а2 - aSr)1/2 = ^0Ф( T),
(7)
u
где а — среднее напряжение; sr = ar — a; a0 — предел текучести при одноосном растяжении при T = 0; Ф(7) — известная функция T, причем Ф(0) = 1.
Так как az = 0, то a = (ar + ae)/3. Условие текучести (7) удовлетворяется подстановкой
sr = 2a0 Ф( T) sin ф/3, a = а0Ф( T) (T3cos ф + sin ф)/3, (8)
где ф — новая неизвестная функция р и T.
У 1,0
Рис. 1
0,5 0,6 0,7 0,8 аТ • 103
Рис. 2
Рис. 1. Иллюстрация краевой задачи
Рис. 2. Зависимость радиуса упругопластической границы от температуры для нескольких значений в
Единственное нетривиальное уравнение равновесия имеет вид даг/др + (аг — а0)р-1 = 0. Так как температура распределена равномерно, то подстановка (8) в это уравнение дает
д ф _ ( СО 8 ф - Уз 8Ш ф ) _ 0 др р(л/3 СО8ф - 8Шф)
(9)
Пластическая зона начинает развиваться от внутреннего радиуса диска. Поэтому
из (2) и (8) получаем tgф = —1/л/3 при р = п. Отсюда видно, что величина ф при р = п не изменяется с температурой. Используя упругое решение (6), которое имеет силу при р = п в момент возникновения пластической зоны, получим решение уравнения
tg ф = — 1/л/3 в виде
ф _ -7п/6 при р = п.
(10)
Соотношение (10) является краевым условием для уравнения (9). Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию (10), имеет форму
р_
п
УуЗ
(л/38тф - СО8ф)
1/2
ехр
' ^ Гф + 7п
.2 V 6
(11)
Следовательно, ф не зависит от Т во всей пластической зоне. Пусть фу — величина ф на упругопластической границе р = у. Тогда из (11) найдем
у _
п
Туз
(73 81п фу - СО8 фу )
ехр
73 Г , 7п — Гфу+■
(12)
В упругой зоне, занимающей область у < р < 1, имеет силу общее решение (3) и (4). Однако величины А и В не определяются из (5). Решение (4) должно удовлетворять краевому условию (1). Следовательно,
С( 1 - V) + А( 1 + V) + а Т _ 0.
(13)
Исключая в уравнениях (3) величину С с помощью (13), найдем распределение напряжений в упругой зоне в виде
Е _ А (р-2 + И - ^, Е _ А(^ - р-2^ - ^. (14)
Е ( 1 - V 1 - V Е (1 - V ^ 1 - V
Напряжения должны быть непрерывны на упругопластической границе р = у. Из этого условия с использованием (8) и (14) получим
2,1 + VI аТ
кФ(Т>(cosФу + 73sinФу) = A(y 2 + 1
^ -V i _ v; i - v'
^ (15)
2к Ф( T) /1 + v -21 aT --^cos фу = A I---y I - --.
Тз V1 -v ; 1 -v
Исключая A, найдем
2л/3 aT + к Ф( T) [73 (1 - v)(73cos фу + sin фу) +
г 2 (16)
+ (1 + v)(cosФу-J3sinФу)y ] = 0.
Принимая во внимание (12), уравнение (16) представляется в форме
2aT + к Ф( T)
(1 - v )(73 cosФу + sinФу) - (1 + v)n exp л/3(фу + -П)
= 0. (17)
Уравнения (12) и (17) определяют радиус упругопластической границы как функцию Т в параметрическом виде. Распределение напряжений следует из (8) в области — 7п/6 < ф < фу (п < р < у) и из (14) в области у < р < 1. При этом величина А должна быть исключена с помощью любого из уравнений (15). Весь диск становится пластическим при у = 1. Соответствующую величину фу обозначим фт. Тогда из (12) получим уравнение для фт в виде
, nV73 гТз ( . 7п
1 = -—----—exp — -
(V3sin фи -cos Фи )
1/2
2 V*» + 6
(18)
Из уравнения (18) видно, что величина фт зависит только от геометрических параметров диска. Так как п < 1, то из (18) следует, что фт > —7п/6. Из структуры уравнения (18) также видно, что п ^ 0 при фт ^ —5п/6. Таким образом, интервал возможного изменения величины фт имеет вид —7п/6 < фт < —5п/6.
Во многих случаях можно принять линейную зависимость предела текучести от температуры [3, 17, 18]. Тогда,
Ф(Т) _ 1 - авТ. (19)
Характерные величины коэффициента в для ряда металлов в соответствии с экспериментальными данными, приведенными в [3, 18], находятся в диапазоне 40 < в < 85. В настоящей статье для параметрического анализа решения предполагаем, что 0 < в < 100. Подставляя (19) в (17), получим зависимость аТ от фу. Эта зависимость совместно с (12) определяет безразмерный радиус упругопластической границы у как функцию аТ в параметрическом виде.
Эта функция показана для нескольких величин в при п = 0,2 (рис. 2) и п = 0,5 (рис. 3). Полагая фу = —7п/6, из (17) и (19) находим значение аТ, при котором начинает развиваться пластическая зона. Обозначим это значение температуры Те. Подставляя значение фт, определенное из (18), в (17) и исключая Ф(7) с помощью (19), полу-
У 1,0
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 аТ • 103
Рис. 3
Лт 1,2
0,2 0,3 0,4 0,5 п 0.6 Рис. 4
Рис. Рис.
3. Зависимость радиуса упругопластической границы от температуры для нескольких значений в
4. Зависимость относительного изменения температуры от значения, при котором возникает пластическая деформация, до значения, при котором весь диск становится пластическим от ц для нескольких значений в
0 к
-0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5
0,6 0,7 0,8 Рис. 5
0,9 р 1,0
ае/а0 -0,90
-0,95
-1,00
-1,05
-1,10
0,6 0,7 0, Рис. 6
0,9 р 1,0
чим уравнение для значения температуры, при котором весь диск становится пластическим. Обозначим решение этого уравнения ^. Для оценки возрастания температуры от значения Te до ^ введем безразмерную величину Дт = (^ — Te)/Te. Зависимость этой величины от п показана на рис. 4 для нескольких величин р.
Распределение радиального и окружного напряжений по радиусу при п = 0,5 и нескольких величинах в показано на рис. 5 и 6, соответственно.
На рис. 2—6 пунктирная кривая соответствует в = 0 (предел текучести не зависит от температуры); кривая 1 - в = 20; 2 - 40; 3 - 60; 4 - 80; 5 - в = 100.
Выполненный параметричес
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.