2t +(тг), Я+(Т,.) яш величиной
вид
га/2
л/п!.
О
. которые опи-системы беско-
.: Гостехиздат,
cs and Kinetic
ю 8.11.2005 г., и 23.111.2005 г.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 145, № 3 декабрь,2005
-fifaeiöit-ion гыгиП'.-- <мл«гхя> • »
© 2005 г.
am
--mffi-tr? т-шЭ
ГйгИЧЗДООХ ««f
A.A. Логунов*, М.А. Мествиришвили*
ВНЕШНЕЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ i
ПОЛЕ НЕСТАТИЧЕСКОГО юцэт*жт-
СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА '"■"»" В ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ -
ЖГ-л
Показано, что в полевой теории гравитации внешнее гравитационное поле нестатического сферически-симметричного источника, описываемое диагональным метрическим тензором, может быть только статическим.
Ключевые слова: релятивистская теория гравитации, теорема Биркгофа, масса гравитона, нестатический сферически-симметричный источник.
В общей теории относительности (ОТО), которая связывает гравитационное поле с метрическим тензором риманова пространства, в классе допустимых функций доказана теорема Биркгофа, согласно которой внешнее поле нестатического сферически-симметричного тела может быть только статическим. В релятивистской теории гравитации (РТГ) [1], [2] гравитационное поле ф^" является физическим полем, развивающимся в пространстве Минковского, а его источник - сохраняющийся в пространстве Минков-ского тензор энергии-импульса всех полей материи, включая и гравитационное поле.
Такой подход приводит к эффективной метрике риманова пространства и к другой системе уравнений, которая отличается от системы уравнений ОТО, а поэтому при изучении данного вопроса необходимо специальное рассмотрение. Полная система уравнений РТГ имеет вид
1 т2
+ I 9^9
fß _ i^v")
laß
= 8тг Г"", (1) = = 0, ^ (2) где тензор энергии-импульса вещества согласно Гильберту определен равенством
v^T"" = -2
ög» v'
* Институт физики высоких энергий, Протвино, Московская обл., Россия. E-mail: Anatoly.Logunov@ihep.ru
426
а.а. логунов, м.а. мествиришвили
т - масса гравитона, Ьм - плотность лагранжиана вещества. Эффективная метрика риманова пространства определена следующим образом:
УГК} = +
Г" = v^SS"", Г" = >/=77"v, Г" = yFiP"-
Система уравнений (1), (2) общековариантнаотносительно произвольных преобразований координат и форминвариантна относительно преобразований Лоренца. Это означает, что принцип относительности имеет всеобщее значение. В РТГ, в противоположность ОТО, он точно выполняется для всех физических явлений, в том числе и гравитационных. Именно поэтому в теории имеют место фундаментальные законы сохранения энергии-импульса и момента количества движения системы. Система координат в уравнениях (1), (2) задается метрическим тензором пространства Минковского. Мы выбрали систему единиц, в которой ñ = с = G = 1.
Для того чтобы времениподобные и изотропные интервалы в эффективном римано-вом пространстве не выходили за конус причинности пространства Минковского, должны выполняться условия
9»vU»Uv ^ 0, т„-УУ = 0. (3)
Эффективное риманово пространство в РТГ имеет простую топологию. В ОТО в общем случае топология не простая. Именно поэтому полевые представления о гравитации в принципе не могут привести к уравнениям ОТО.
Ниже мы установим, что внешнее гравитационное поле вида
ds2 = U(t, г) dt2 — V(t, г) dr2 - W2{t,r)[d92 + sin2 в d<j>2}, (4)
создаваемое нестатическим сферически-симметричным источником в инерциальной системе координат, может быть только статическим, т.е. метрические коэффициенты U, V, W не зависят от времени t.
Инерциальная система координат в пространстве Минковского задается интервалом
da2 = dt2 - dr2 - г2[d02 + sin2 в d<f>2]. (5)
На основании уравнений (1) для задачи, определяемой соотношениями (4) и (5), находим уравнения для функций U, V и W:
_1___10/1 dW2\ 3 fdW2\2 д / 1 dW2\
W2 2 Vdr\W2 dr ) 4VW4 V dr ) dr\2VW2 dr ) +
1 dW2 d\n{VW) m
+ 2UW2 dt dt + 2
r2 1/1 1
1 W2 + 2\U V
= 0,
1 1 d f 1 dw2\ 3 fdw2\2 d ( 1 ¿w2\ w2 + 2üdt + — 1—(6)
3 fdW2 y _}_dW2\_ 4UW4\ dt ) + dt\2UW2 dt )
1 dW2d\n(UW) m2
+
2VW2 dr dr 2
1/1 1
1 —— ,
W2 2\U V
= 0,
1 d2W2 1 dW2dW2 1 dv dW2 1 dUdW2 n 4'
= o. áim-a
W2 dtdr 2W* dr dt 2VW2 dt dr 2UW2 dr dt
m
Эффективная метрика
■извольных преобразо-шк Лоренца. Этоозна-. В РТГ, в противопо-■н. в том числе и гра-иальные законы сохра-Система координат ства Минковского.
эффективном римано-Минковского, долж-
(3)
геологию. В ОТО в оставления о грави-
(4)
и в инерциальной е коэффициенты
-.ется интервалом
(5)
[ (4) и (5), находим
У-
дг 1
г Г
д\\'г дг
2 г
■Г д\У
Г
т
+
= о,
= 0, = 0.
(6)
внешнее гравитационное поле сферически-симметричного тела 427 Уравнения (2) для выражений (4) и (5) принимают вид »ми \ > >
(7)
•ктт-'.т {?* к {9).
IV2 = \1уЧ{г),
...л^топ Д»£) «кэа&- 3 / 0 /и
где д(г) - произвольная функция.
Для дальнейшего удобно пользоваться представлением
--------------------"»геыО
В переменных ц, и, X, а уравнения (6) имеют вид
+
тп
= 0,
а/т мгс пят
е- + е-( А + 5 (А)2 - \)ф) - \г~" А' (V + ) +
+
т
1-г*е~х-ке-*-е-П =0
■ (31)
Л )
(8)
(9) (10)
где, например, А = 0А/Л, А' = дХ/дг. «гмф \ аиптФ л-лтко; он
Уравнения (7) принимают вид
А - £ (м -=»(г).
р' - и' + а' = 2ге
«/-а
рлнедшкф' 'яитЕК1,
Введем обозначения
• 2ш - ц + V, / = А-а (г).
Согласно (11) имеем Из (13) и (15) находим
= 4 + 'ед
р-и = 2/.
р = ы + /, и- ш-Уравнение (12) выразим через функции ш, / и а\
2/' + а' = 2геи,~2^~" ■
(П) (12)
(13)
(14)
(15)
(16)
428 ; : 3's, ■ юннн a.a. логунов, м.а. мбствиришвили ?*<п ЗЗНПьШв
Дифференцируя (17) по t, находим - ..
2f'=(2f' + a')(u-2f).
Подставляя это выражение в уравнение (10) и учитывая равенства (14), (16), получим неоднородное линейное уравнение в частных производных г„ u, f,
(18)
Система обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая уравнению (18), имеет вид
dt dr dLi
Г -/ 3 Я'
Отсюда находим
Складывая эти равенства, получим
, 3 3/.. 30/ 2 дt 2 дг
Из условия полного дифференциала находим
.чн^™ чг,.--.. д2/
dt дг
= 0,
но последнее означает, что функция / представима в форме Общее решение уравнения (18) имеет вид
где Р - произвольная функция.
С учетом выражений (19) и (20) уравнение (17) принимает форму
(19)
(20)
2 tp' + а' = 2г ехр
-\m~lv(r)+F(f)
»'omemoj
Левая часть этого уравнения не зависит от t, а поэтому правая часть также должна не зависеть от t. Это возможно, если ф^) постоянна, но отсюда следует, что функции /л, и, Ане зависят от времени. В этом случае гравитационное поле вида (4) статическое. Но возможен и второй случай, когда Р — //2. Тогда , -чей;;
внешнее гравитационное поле сферически-симметричного тела 429 а функции ц, и, А согласно (16) и (14) будут равны . го '«мгот г гзТ
= 3^(4), = 4>Ц) - 2ф), ХЦ, г) = + <р(г) + а(г) = / + ст.
(21) (22) (23)
Для анализа данного случая нам необходимо обратиться к уравнениям (8) и (9). Разность этих уравнений равна
+
+ е
[Щ
(24)
а их сумма -
2е"А - е-"
+ е~
+
х + {х)2-\х{^-й)
+ т (1 — г е~ ) = 0.
(25)
Согласно (11) имеем
(А)2 - - V) = 0,
поэтому уравнение (25) несколько упрощается:
(20)
также должна не что функции и, 4) статическое.
2е - е
+ е~^Х + т2(1 — г2е_А) = 0. (26)
Выразим уравнения (24) и (26) через функции ш, /, ст:
-/" - а" -\(Г+ ст')2 + (/' + Ст V е-2' (-/ - \(Л2 + /* + ^) = 0,
2 1-
т2г2
е-(а-1/) _ + а„ + (/, + ст,)2 _ + + е-2/^+т2ец) = 0
(28)
Согласно (12) имеем
2геГ~х = 2/' + ст',
(29)
поэтому после замены экспоненциального множителя уравнение (28) принимает вид ^(1-^)(2/' + ст')-[Г + ст'' + (/' + ст')2-/'(/' + ст')]+е-2/(/ + гп2е^)=0. (30)
430 -'чт сшнрьпт а.а. Логунов, м. а. мествиришвили «иачч ззншяна
Так как р зависит только от а / = + <р(г), то в уравнениях (27) и (30) переменные £ и г разделяются:
¿1
"/" - - + + (/' + " V - ^ = (31)
¡+1(/)2-/ш-!Т=кеМ\ (32)
/" + а" + а'(/' + <т') " ; (1 - (2/' + а') = ре~2^\ (33)
}'+т2е^=ре2ф{г\ (34)
где к и р- постоянные разделения.
Обратимся к уравнениям (32) и (34). Введем новую переменную
•ф{Ь) = 1па2(£). ' (35)
Уравнения (32) и (34) принимают вид ~ ; 1 к~'1
I
т2
2аа -8¿2 - — а2 = ка6, (36)
2аа - 2а2 + тп2о8 - ра6. п , , (37)
Отсюда находим
а2 = - [т2а2 + 2т2а8 + 2(Л - р)а6]. (38)
Дифференцируя, получим
а = - [2т2 а + 16т2 а7 + 12 (к- р)а5]. (39) 24 ......- -.....-Т
Подставляя (38) и (39) в уравнение (36), находим соотношение между постоянными разделения р — —2к. При этом имеем * а ■+- —---+ + 4 - ''г, ..
£
Перейдем теперь к анализу уравнений (31) и (33). С учетом (22) и (23) уравнение (29) принимает вид £}
¥>' = + . (41)
Дифференцируя это выражение, находим 'ШШоп
1 1 —(^Ш \ I
- ( = -±<т" + ^та'е-^-" + е"3^ - 3г2е'^~2<т. у - ЭД
внешнее гравитационное поле сферически-симметричного тела 431
(30) переменные
к
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
| (37)
(38)
(39)
^ зэстоянными раз-
(40)
I - О .уравнение (29)
(41)
Г
(42)
Подставляя (41) и (42) в уравнения (31) и (33), получим
—Зг2е_2<тх2 + 2кх2'3 = -®(2 + 2га')е-° - а" + -¿а')2 - т2,
2 1-
-3 г2е~2<тх2 + 2 кх2'3 = х
где мы ввели обозначение х = е . Рассмотрим уравнения
тп2г2\ 3 , —г— - -та - 1 2/2
е -¿о '
(43)
-Зг2е~2<тх2 + 2х(1 + гст')^ + <т" - ^(а')2 = 0, -Зг2е-2<тх2 - х Л - е- + + = 0.
Вычитая одно уравнение из другого, получим
(3/4)Иа-(1/Ус,._а._с.
(44)
х -
3 + (1/2 )га'
3<р
(45)"
При соответствующем а величина а является корнем уравнений (44). Подставляя в уравнения (43) значение х = а, находим
Из уравнений (46) и (47) имеем
2 ка2'3 = -т2, 2к = —а1!3т2г2е~а.
т
(46)
(47)
(48)
Поскольку согласно (46) величина а должна быть постоянной, из выражения (48) следует
<т = 1па + 1пг2. (49)
Из соотношений (46) и (47) находим
иЛ *! Р'
к=~
тп
2а2/3'
(50)
Согласно принципу причинности (3) имеем V ^ V. Чтобы удовлетворить этому неравенству, достаточно, учитывая (21) и (22), наложить следующие условия:
1 <
е2^ < 1.
(51)
(52)
Неравенство (52) отражает физическое свойство гравитационного поля замедлять ход времени по сравнению с инерциальным временем. Учитывая (45), запишем условие (51) в форме
а2'3 } 1. '•■"•'■ (53)
432 h rr! ' Hin;— A.A.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.