МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2007, том 36, № 1, с. 3-16
НАНОЭЛЕКТРОНИКА
УДК 539.51
ВОЛНОВОДНАЯ НАНОЭЛЕКТРОНИКА
© 2007 г. А. А. Горбацевич, В. В. Капаев
Московский институт электронной техники Поступила в редакцию 16.12.2005 г.
В многомодовом приближении рассмотрен электронный транспорт в волноводах с переменным сечением, которые могут быть сформированы в двумерном электронном газе методами нанолитогра-фии. Сужения и расширения волновода при этом играют роль аналогичную потенциальным барьерам и ямам в полупроводниковых гетероструктурах. Из-за сильного межмодового взаимодействия наряду с надбарьерными резонансами и резонансным туннелированием заметный вклад в вольт-амперную характеристику вносят резонансы Фано.
ВВЕДЕНИЕ
Современные эпитаксиальные технологии обеспечивают получение полупроводниковых гетеро-структур, в которых вертикальные размеры контролируются с точностью до одного атомного слоя. Энергетический спектр и волновые функции носителей заряда в таких системах определяются всей совокупностью параметров гетероструктуры (толщины, тип материала и последовательность чередования гетерослоев), что позволяет говорить об инженерии зонной структуры и волновых функций. Поскольку кинетическая и потенциальная энергии электрона в различных слоях различны, то гете-роструктуру в направлении ее роста можно представить в виде последовательности потенциальных ям и барьеров, глубина и высота которых определяются параметрами материала слоя. При толщинах слоев порядка нескольких нанометров электронные свойства гетероструктуры определяются интерференцией волновых функций в направлении роста, т.е. квантовыми эффектами. Возможность контролируемым образом изменять электронные свойства гетероструктур делает их весьма привлекательными для создания новых типов полупроводниковых приборов таких, как приборы на основе резонансного туннелиро-вания. Использование гетероструктур позволяет также улучшить параметры традиционных полевых (НЕМТ, рНЕМТ) и биполярных (НВТ) транзисторов. Значительный интерес представляют гетероструктуры, в которых носители заряда сосредоточены в одном слое и их движение носит двумерный характер. В магнитном поле, перпендикулярном плоскости движения носителей заряда, такая система демонстрирует ряд необычных свойств, связанных с существованием целочисленного и дробного эффектов Холла.
Наряду с двумерными квантовыми ямами, движение носителей заряда в которых ограничено в одном направлении, гетероэпитаксия позволяет создавать одномерные квантовые нити, а также
нульмерные квантовые точки, носители заряда в которых полностью локализованы. Новые возможности для создания квантовых нитей и квантовых точек открывают сканирующие зондовые технологии. Вместе с тем значительные усилия в основном русле развития кремниевой микроэлектронной планарной технологии предпринимаются по разработке средств проекционной рентгеновской и пучковой ионной нанолитографии. Создание таких средств позволит продвинуть традиционные транзисторную приборную и схемотехническую организацию интегральных схем в нанометровую область. С другой стороны нанолитография обеспечит возможность формирования новых типов приборов - электронных волноводов, представляющих собой, по сути, квантовые нити со сложной геометрией и топологией. Первые эксперименты по исследованию проводимости электронных волноводов [1] привели к открытию нового эффекта - квантования проводимости кратно величине G0 = в21пй, связанного с включение новых каналов проводимости (волноводных мод) с увеличением приложенного напряжения. Эти работы были выполнены на так называемых "квантовых сужениях" в двумерном электронном газе, получаемых в результате обеднения двумерного электронного газа потенциалом затворных электродов, нанесенных сверху плоскости двумерного газа.
В настоящей работе рассмотрены свойства электронных волноводов в двумерном электронном газе в многомодовом приближении. Показано, что имеется близкая аналогия вертикального (вдоль оси роста) транспорта в полупроводниковых гетероструктурах и проводимости квазиодномерных электронных волноводов. Описаны основные резонансные эффекты: надбарьерные резонансы (резонансы Рамзауера-Таунсенда), резонансное туннелирова-ние на последовательности двух микросужений, резонансы Фано на микрорасширении волновода. Обсуждается возможность приборных применений волноводных резонансов.
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ТРАНСПОРТЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В КВАЗИОДНОМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ВОЛНОВОДЕ
Электронный волновод в двумерном газе представляет собой квантовую нить с переменной шири-
ной, которая может изгибаться и разветвляться. Выберем распространение волны вдоль оси у. Ось г при этом будет нормалью к плоскости двумерного газа, а ось х - сечением волновода. Распространение электронной волны в таком волноводе описывается двумерным уравнением Шредингера
д2 ш(у, г) , д2 ш(у, г) , 2 т.„ ТТ/ . . „
^ г + Г 2 +ТТ(Е - и(У' г))¥(У, г) = 0,
ду дг п
(1)
где т - эффективная масса, Е - энергия.
Наиболее просто численное решение уравнения (1) можно получить, если потенциал и(у, г) аппроксимировать кусочно-постоянной функцией. Отметим, что достаточно часто на практике реализуются структуры, в которых потенциал реально имеет именно такой вид.
Считаем, что рассматриваемая структура состоит из конечного набора N - областей, ограни-
ченных сверху и снизу барьерными слоями. В каждой из этих областей потенциал зависит только от координаты г:
и(у, г) = и](г) (' = 1, 2...Щ).
Это позволяет воспользоваться методом разделения переменных и записать общее решение в '-ом слое в виде разложения по волноводным модам:
V (у, г) = АП ехр [ 1 Кп(у - у)] + { Б]п ехр [-/< (у - у)]} 2„ (г), (2)
п
где у; -положение левой границы в'-ой области,
Кп = ^пт ( Е - Ь'т ),
хт - собственные значения одномерного уравнения Шредингера с потенциалом Ц(г), а 23п (г) - соответствующие волновые функции.
Чтобы избежать необходимости суммирования в (2) по состояниям непрерывного спектра для дви-
жения по г на расстоянии Н0 от верхней и нижней границ структуры мы помещаем искусственную границу выше и ниже которой потенциал бесконечен. Для задачи рассеяния в области 1 (входной волновод) заданы амплитуды падающей волны Ап, а в области N (выходной волновод) существуют только прошедшие волны Бп (Ап = 0). Используя условие непрерывности волновой функции и ее производной по у на границах раздела можно получить связь между коэффициентами А и Б
А +1 = Ап 2
Б
;+1
21
т
2 х
т
/
ЦтпеХР { 1 Кт} А
1
1-
К„
т
К„
Мгап ехр { 1Ктё]} Ат +
1
п
К' Л т
]1~т |
Кп
1
п У
^тпеХР {-1 Ктё'}Б
Цтп еХР { -1 Кт
(3)
т
п
т
где ё - длина '-ого слоя (в направлении у),
Цтп = \ г]т (г) ^ + 1 (г) ёг
- интеграл перекрытия волновых функции в направлении г в соседних слоях. При вычислении на
первой границе следует положить ё1 = 0. Удобно записать (3) в матричной форме
/ \ / \
А' + 1 = В А'
Б' + V 1 Б V У
/ \ / \
t — В А
V 0 , V Г ,
Применяя (4) последовательно для всех границ и обозначив А1 = А; В1 = г; Ам = t, для определения столбцов коэффициентов отражения г и пропускания t получаем систему уравнений
(5)
где В = 0м- ХВМ- 1—В1Вх - матрица переноса структуры, являющейся естественным обобщением матрицы переноса для одномерного уравнения Шредингера на двумерный случай. В силу ассоциативности произведения матриц матрицу переноса можно вычислять как начиная справа (от границы N - 1), так и слева (от первой границы).
Для протяженных по у структур предпочтительным для решения задачи оказывается метод матрицы рассеяния [2]. Суммарная матрица рассеяния системы - 5(1, М) связывает столбцы
амплитуд падающей слева А1 и справа Вм волн со столбцами амплитуд рассеянных волн Ам и В1:
(6)
Для /-ого слоя выражение, аналогичное (6) имеет вид
/ \ / \
Ам — 5( 1, М) А1
В1 V У вМ V У
/ \ / \
А] — 5( 1, /) А1
в1 V У В] V У
(7)
Исключая из (4) и (7) А] и В, получаем выражения, связывающие А + 1 и В1 с А1 и В + 1, т.е. рекуррентное соотношение для матрицы рассеяния
51+1 = ОХ- (Ви + В\2) СВ21 5и, С1 = (0152 + О2) с,
5] + 1 _ о/ о/
— 521 - 522 СВ2151Ъ
(8)
5
/ + 1 _
— 5/С,
где С = (021512 + В22) 1 и введено обозначение 5 = 5(1, ]).
Используя условие, что 5(1, 1) - единичная матрица, последовательно можно получить матрицу рассеяния всей структуры - 5(1, М). Для вычисления коэффициентов пропускания и отражения структуры для волны, с заданной энергией Е, падающей со стороны левого подводящего волновода в его п-ой моде нужно положить Вм=0, А1 = 5;п. В результате окончательно получаем для коэффициентов пропускания в п-ом канале правого волно-
и л
вода при падении слева волны в 7-ой моде tn и ко-
эффициентов отражения волновода гт:
т-ой моде левого
(9)
tn — (511 ) п7, Гт — (521 )т7'
Полное пропускание системы при падении волны в 7-ой моде левого полубесконечного волновода имеет вид:
Мм N
т— 2 К-1 /2
/ — 1 кп
Кондактанс системы вычисляется по формуле Ландауэра
(10)
2 М0
«— т- 2 т,.
(11)
В (10), (11) М0, и Мм число мод в падающем потоке и число прошедших мод (в области М) соответственно.
При численном решении задачи мы ограничиваемся конечным числом мод М в каждой из областей, величина М выбирается из условий схо-
7 — 1
димости результатов расчетов и, как правило, в рассмотрение необходимо включать все распространяющиеся моды (кп - действительны) и несколько исчезающих мод. Требуемая величина расстояния до искусственной границы к0, зависит от рассматриваемого диапазона энергии (И0 следует увеличивать при приближении энергии к границе непрерывного спектра).
В принципе при латеральном транспорте можно обнаружить явления полностью аналогичные наблюдаемые при вертикальном транспорте. Волно-водная же природа распространения и взаимодействие мод открывают новые степени свободы поз-
воляют получить ряд новых эффектов. Наиболее характерными для волноводного распространения являются "квантование" кондактанса, обусловленное включением новых распространяющихся мод и резонансы Фано, связанные с взаимодействием распространяющихся и локализованных мод.
МИКРОСУЖЕНИЕ
Энергия электрона п-ой резонансной мо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.