ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2007, том 43, № 1, с. 93-97
УДК 551.466
ВОЛНЫ И ДИФФУЗИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ МОРЯ
© 2007 г. Г. С. Голицын
Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН 119017 Москва, Пыжевский пер., 3 E-mail: mail_adm@ifaran.ru Поступила в редакцию 09.06.2006 г.
Частотный спектр возвышений поверхности моря хорошо известен при волнении. На этой основе можно оценить частотный спектр вертикальных скоростей в поверхностных волнах. Из-за несжимаемости жидкости такую же частотную зависимость должен иметь и спектр горизонтальных скоростей. Использование дисперсионного уравнения для волн на поверхности тяжелой жидкости позволяет перейти к пространственному спектру скоростей. Отсюда, в свою очередь, можно оценить пространственную структурную функцию поля скорости. Для коротких волн и больших глубин структурная функция растет как r1/2, где r - расстояние между точками наблюдений. Для длинных волн и малых глубин h этот рост пропорционален r. Коэффициент турбулентного перемешивания K(r) пятен загрязнения размером r на поверхности моря теперь оценивается как произведение размера пятна на среднеквадратичную разность скоростей. В итоге, в зависимости от r и h показатель степени в зависимости K(r) от rn может находиться в интервале от 1.25 до 1.5. Это объясняет наблюдавшийся многими экспериментаторами разброс в значениях показателя n.
Волны на поверхности моря - одно из самых завораживающих взгляд природных явлений. Они играют большую роль в устойчивости и трансформации берегов, для судоходства, для ряда важных прикладных проблем. Они существенным образом определяют обмен количеством движения, теплом и влагой между океаном и атмосферой, расплыва-ние пятен примеси по поверхности. Глобальные численные модели прогноза погоды предсказывают и состояние волнения.
Вместе с тем еще пятьдесят лет тому назад теоретическое состояние знаний о развитии волн на водной поверхности практически отсутствовало. И лишь вторая половина XX века обозначила начало развития теории. Этот процесс активно продолжается и в настоящее время уже с рядом заметных достижений. Здесь мы отметим два обстоятельства.
Начнем с работ Ричардсона и Стоммела [1, 2], посвященных относительной диффузии предметов, плавающих на взволнованной водной поверхности. В первой из них было найдено по данным наблюдений, что коэффициент относительной диффузии К, так же как и в атмосфере, является степенной функцией размера пятна г: К ^ г", где п ~ 4/3, что совпадает с таковым для атмосферы, как это было определено Ричардсоном еще в 1926 г. [3]. Наблюдательный материал в обеих работах был невелик, разброс точек заметный, так что значение показателя степени п вполне могло находиться в пределах ±0.1. Такое же значение указано и в работе Окубо и Озмидова [4], собравших большой объем данных по расплыванию пятен примеси на водной поверхности. Последующий анализ данных по диффузии
на морской поверхности, произведенный в 1971 г. Окубо [5], показал, что коэффициент диффузии К как функция размера г имеет, как правило, степенную форму, но показатель степени п может находиться в пределах 1.15-1.4.
Ясно, что проблема диффузии в поле ветрового волнения связана с описанием самого волнения и это описание может быть только статистическим, конечно, с элементами динамики. Сюда, в первую очередь, относится дисперсионное уравнение, связывающее круговую частоту волны ю с ее волновым вектором k = 2п/Х, где X - длина волны:
ю = gktanh (кк), (1)
где h - глубина слоя жидкости. Это уравнение связывает временную и пространственную структуру поля волнения. На глубокой воде и для коротких волн, когда Ш > 1, тогда = 1 и
ю2 = ghк. (2)
Это соотношение приблизительно выполняется с численным коэффициентом 1.2 и для крутых волн, для которых произведение ka, а - амплитуда волны, близко к предельному значению ka = 0.44 (см. [6]).
Наоборот, для длинных волн и на мелкой воде, когда Ш < 1, то
ю2 = ghк2. (3)
Важным результатом в статистическом описании волнового процесса было установление универсальной формы частотного спектра энергии
возвышений водной поверхности Sh(ro). Это было сделано в 1966 г. в работе В.Е. Захарова и H.H. Фи-лоненко [7]. Они составили кинетическое уравнение взаимодействия волн, решением которого является функция
Sh (ю) = ею-4. (4)
До того с 1958 г. был известен спектр О. Фил-липса (см. [8, 9]):
Sh(®) = g2 ю-5 (5)
и эмпирический спектр Пирсона-Московица (см. [9, 10]):
Sh (ю) = A ю-5ехр (-B ю-4), (6)
где экспоненциальный множитель устраняет расходимость спектра для малых частот, A, B - константы. Спектр (4) был в 1973 г. независимо предложен Тоба [11], который получил его, обрабатывая данные своих измерений. Он же из соображений подобия и размерности предложил форму предстепен-ного множителя в (4) в виде е = gv*, где V* - динамическая скорость или скорость трения в воде. При этом спектральная плотность скорости в волне
Sv (ю) = ю2 S^), (7)
поскольку скорость есть производная координаты по времени, а спектр есть квадратичный функционал от поля скорости. При этом жидкость предполагается несжимаемой, т.е. дивергенция скорости равной нулю, а тогда, если отвлечься от асимметрии компонент скорости в волне, частотные зависимости их спектров должны быть одинаковыми.
Ветровое волнение очевидным образом связано с передачей импульса от ветра водной поверхности, что может происходить лишь на возмущениях этой поверхности, отклонениях ее от горизонтали, а тогда вступает в действие сила тяжести, появляется ее компонента, действующая вдоль уклона поверхности. Поток импульса от ветра к водной поверхности
равен т = pv *. Отсюда понятно, что скорость роста энергии волны по соображениям размерности равна е = v*g, согласно тому, что мощность есть произведение силы на скорость.
Знание частотного спектра возвышений и скорости, благодаря (7), с помощью дисперсионного соотношения (1) дает путь для определения пространственного спектра скорости в волне в виде функции волнового числа k. Последнее дает возможность с помощью преобразования типа Фурье процесса со стационарными приращениями [12] определить пространственную структурную функцию поля скорости при волнении в зависимости от расстояния r:
Dv( r) = 2 J( 1 - cos kr) Sv( k) dk. (8)
Теперь коэффициент относительной диффузии может быть определен [12] как произведение размера пятна на среднюю разность скоростей на масштабе пятна:
К( г) = с г [Б (г)]1/2, (9)
где с1 - численный коэффициент, который может быть найден лишь из анализа экспериментальных данных. В случае общего вида дисперсионного уравнения (1) намеченная программа требует численного интегрирования встречающихся на этом пути интегралов для разных значений расстояния г и глубины слоя жидкости h. Однако асимптотики для коротких и длинных волн позволяют выполнить намеченную программу аналитически при спектре (4).
Связь между частотным и пространственным спектрами дается соотношением
ж ¿) = еЦ. (10)
С учетом (1), (7) и (4) для глубокого моря и/или коротких волн, Ш > 1, получаем отсюда
= к-3/2, (11)
в то время как пространственный спектр возвышений оказывается Sh(k) ^ к5/2. Степенной вид спектра возвышений был впервые измерен в [13]. Показатель степени был получен в пределах 2.4-2.6. Так что есть основания считать, что спектр скорости в виде (11) соответствует реальности, хотя прямая проверка этой формулы, или соответствующей ей приведенной ниже формулы (12), весьма затруднительна.
Подставляя выражение (11) в (8), получим
1/2 1/2 г) = C2g V*г ,
(12)
с2 = 21/2п[Г(5/4)]-1 ® 4.7,
где численный коэффициент с2 соответствует преобразованию типа Фурье (8) и не включает, как и всюду здесь, численные множители, которые могут быть найдены лишь экспериментально.
Формула (9) дает нам теперь зависимость коэффициента относительной диффузии от размера пятна в случае глубокого моря или коротких волн в виде
гт, ч 1/2 1/4 1/2 5/4 /10Ч
К(г) = С1С2 g V* г . (13)
В противоположном случае мелкого моря и/или длинных волн структурная функция скорости находится в виде
Dv(г) = Dv(г, И) = сз2^-^ сз(|кг, (14) (gИ)
откуда в этом пределе
ЦТ ,ч 1/2 1/2, ,7 ч1/4 3/2
Г = K(r, h) = cic3 v* (g/h) r (15)
и появляется слабая обратная зависимость от глубины в виде h1/4, но зато более сильная, чем в другом пределе и даже чем в атмосферном случае, зависимость от размеров пятна r. Численный множитель c3 может быть найден из данных наблюдений.
Знание коэффициента диффузии, степенным образом зависящего от координаты, позволяет оценить рост пятна со временем, исходя из уравнения диффузии
дu д TJr, ,du
т- = TT-K( r) т—.
дt дr дг
Отсюда видно, что если K(r) ~ rn, то площадь пятна
Ci 2 2 - n
S ~ r ~ t .
(16)
При п = 0, S ~ t, как в случае броуновского движения, при п = 4/3 площадь S ~ et3, как для диффузии Ричардсона. В нашем случае в начальное вре-
с;, 0 2/3 4/3^8/3 -
мя, когда п = 5/4, Л ~ g V* t , а для больших времен, когда в игру вступают длинные случайные волны и начинает чувствоваться глубина,
-1 2 4
S~gh v*t .
(17)
тром ПМ является стационарным случайным процессом, в то время как спектры (4) и (5) для возвышений соответствуют случайным процессам со стационарными приращениями второго порядка из-за расходимостей при малых частотах [12]. В результате для спектра ПМ можно подсчитать дисперсию как возвышений
B
;( 0 ) = | S (ю) dm,
так и дисперсию скоростей
B
.( 0 ) = Jro2S(ro) dro.
Подставляя сюда выражение (6), делая очевидную замену х = Вю-4, находим искомые дисперсии
Bz ( 0 ) = cj = A /4B,
(18)
Для простоты все рассмотрение ведется здесь в предположении локальной изотропности поля скоростей волнения, в то время как для реального волнового поля четко выделяется направление ветра. Поэтому угловой спектр волн, показывающий пучок углов, в котором распространяются волны, достаточно узкий. Это должно приводить к тому, что пятно на поверхности будет расти вдоль ветра гораздо быстрее, чем поперек, приобретая эллипсовидную форму, в согласии с наблюдениями [14]. Также для простоты рассмотрение ведется для горизонтального дна в статистически стационарном случае, когда спектры у
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.