МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2014
УДК 539.374
© 2014 г. А. А. БАХОДИРОВ, К. С. СУЛТАНОВ
ВОЛНЫ В ВЯЗКОУПРУГОМ СТЕРЖНЕ, ОКРУЖЕННОМ ГРУНТОВОЙ СРЕДОЙ, ПРИ ПЛАВНОМ НАГРУЖЕНИИ
Приведены результаты численного решения нестационарной волновой задачи о распространении продольных волн в системе стержень — грунтовая среда. Материал стержня и грунт считаются линейновязкоупругими (стандартное линейное тело). На границе контакта стержень — грунт выполняется нелинейное условие взаимодействия. В зависимости от механических характеристик грунта, стержня и параметров взаимодействия определены закономерности распространения продольных волн и изменения продольных напряжений в стержне.
Ключевые слова: стержень, грунт, трение, волны, метод характеристик, численное решение, граница контакта
1. Постановка задачи и метод решения. В [1] рассмотрены нестационарные задачи о распространении волн в упругих стержнях, взаимодействующих с внешней средой по закону Кулона. Решения неодномерных задач с условиями взаимодействия стержня с окружающей средой, отличающимися от классических условий (прилипание и проскальзывание без трения), в настоящее время практически отсутствуют. Это связано с большими математическими и вычислительными трудностями, возникающими при решении этих задач. Даже в одномерной постановке задачи о взаимодействии протяженных конструкций (стержней) с внешней средой являются нелинейными и достаточно сложными. В [1] получены точные аналитические решения задач о распространении нестационарных волн в упругих стержнях, взаимодействующих с внешней средой по закону Кулона. Однако небольшое усложнение условий взаимодействия или учет неупругих свойств стержней приводит к тому, что получение аналитических решений становится невозможным. Применение численных методов для решения этих задач требует проверки результатов расчетов с помощью точных решений или эксперимента. Экспериментальная проверка задач, рассмотренных в [1], проведена в работе [2], где получено хорошее совпадение результатов теоретических расчетов и соответствующих экспериментов. Экспериментальные исследования распространения волн в упругих стержнях, находящихся в песчаном грунте, содержатся в [3]. Условия взаимодействия стержней с внешней средой, отличающейся от закона Кулона, рассмотрены в [4—8].
В статье изучаются нестационарные задачи о распространении волн в упругих и вязкоупругих стержнях, взаимодействующих с внешней средой — грунтом по законам, предложенным в [5, 6]. При этом учитываются волновые процессы, происходящие в грунте.
Рассматривается полубесконечный вязкоупругий стержень (труба), окруженный вязкоупругой грунтовой средой (полупространством). Координата вдоль оси стержня принимается за пространственную координату х. В граничном сечении х = 0 стержня и полупространства, задается плавно (непрерывно) меняющаяся нагрузка, создающая волну в системе грунт—стержень.
Начальные условия задачи нулевые, граничные условия следующие: при х = 0:
я, = amax sin (nt/ T), 0 < t <0, я, = 0, t >0 (1.1)
на фронтах волн при x¡ = c0it:
я i = -% Po¿ U = 0, U = -Co,e, = 0 (1.2)
где a¡ — продольное напряжение, б,- — продольная деформация, и, — скорость частиц (массовая скорость), amax — максимальное значение (амплитуда) нагрузки, t — время, T — полупериод изменения нагрузки, 9 — время действия нагрузки. c0i — скорость распространения продольных волн, p0i — плотность стержня (i = 1) и грунта (i = 2). Здесь и далее i = 1, 2. При i = 1 значения параметров относятся к стержню, а при i = 2 к грунтовой среде.
Продольная волна при t = 0 от начального сечения (х = 0) начинает распространяться одновременно по стержню и по грунтовой среде. Скорости распространения фронтов волн в стержне c01 и грунтовой среде c02 разные (c01 > c02). Они связаны с динамическими модулями EB¡ стержня и грунта соотношениями:
C0i = JEDJP0 (1.3)
Из-за различий c0i для стержня и грунта линии фронтов волн в стержне и грунте, в плоскости (t, х) имеют разные наклоны к оси х и являются линиями слабого разрыва.
В такой постановке уравнения движения, как для стержня, так и для грунтовой среды (полупространства) остаются одинаковыми и одномерными, что существенно упрощает задачу и получение решения.
Уравнения состояния стержня и грунта приняты линейно-вязкоупругими (стандартное линейное тело):
дг, да, ц.-ст,-
—i + s¡ = -L + 1
dt En,ot ESi
m si (1.4)
Vi
EDiESi
(EDi - ESi)4i
где — параметр вязкости, n — коэффициент вязкости, EDi — модуль динамического (при бj ^ да), а ESi — статического (при sj ^ 0) сжатия, sj = dz/dt.
При распространении непрерывных волн в грунтовой среде считается, что грунт деформируется как вязкоупругое тело. Более сложные законы деформирования грунтовой среды рассмотрены в [9].
Уравнения движения стержня и грунта с учетом силы трения на поверхности их контакта имеют вид
dUj dGj
P0i-т- - -г- + Xi= 0
dt dx
дз - дъ = о
dx д t
где Xi = signu для стержня, x2 = —signu для грунта, и = и1 — и2 — относительная скорость, и1 — скорость частицы стержня, и2 — скорость частицы грунта, aTi — приведенная сила трения, действующая на единицу длины стержня.
Значения aTi для стержня и грунта определяются из соотношения
ат, = 4Dmi/(D2Hl- D2bi) (1.6)
где т — сила трения (касательное напряжение), действующая на поверхность контакта стержня и грунта, DH1 — внешний диаметр, DB1 — внутренний диаметр трубчатого стержня; для грунта DH2 ^ », DB2 = DH1. С помощью уравнения (1.6) поверхностная сила трения т приводится к объемной силе, действующей на единицу длины стержня [1]. Для грунтового полупространства, согласно (1.6) стт2 ^ 0 при DH = DH2 ^ <». Исходя из этого, следуя [1], влиянием силы трения т на движение грунтовой среды, пренебрегаем.
Решение задачи сводится к интегрированию системы (1.5), замыкаемой уравнением (1.4), с нулевыми начальными и граничными условиями (1.1), (1.2), отдельно для стержня (i = 1) и отдельно для грунта (i = 2).
Система уравнений (1.4), (1.5), гиперболическая, ее характеристические соотношения имеют вид
dai- coipoidи = - 4роigi(at,et)dt + Х£ыaTidt при dx = +сш
dt
dai + C0iP0id Ui = - 4P0igi(ai,Si)dt - Xic0iaTidt при ddX = —c0i
dt
2 2
d<3i - c0iP0idSi = -c0iP0igi(CTi, £,■)dt при dx/dt = 0 (1.7)
g (a S) = 0/ - EDEsi( Si - a i/EDj) gi(ai, Si) = - ^ r -
П (EDi - ESi)ni
Перейдем к безразмерным переменным и параметрам:
x° = Ц 1х/c0i; t ° = М; a° = ai/ amax
= Ui/ Umax; S° = Si/Smax (1.8)
Umax = —amax/c01p01; Smax = °max/ED1
Основные уравнения в безразмерном виде таковы:
Ku д да° о п д OSi
——- + —- - XiaTi = 0, —- + —- = 0
дt° дх° Ti дх° дt°
+ KEK„ s° = да° + KnYt a° (1.9)
д^ e ' дt° ц
о aTic0i . EDi. r p0i, у EDi. r Hi
a°i = -; Yi = TT; Ku = —; = K = —
amax Ц1 ESi P01 ED1 Ц1
При у, ^ 1 уравнение состояния стержня и грунта переходит к уравнениям упругой среды Гука.
Граничные условия в безразмерном виде следующие:
= 0: а° = sin (к t° f^T), 0 < t° < , ст° = 0, t° > ц ¿ = Kcta° = 0, s° = 0, u° = 0, Ke = c{]ifc{n
(1.10)
Характеристические соотношения в безразмерных переменных примут вид + КСКи= Кц(КЕ6° - у (И° + при (х°/(И° = +КС
- КСК„= Кц(КЕ6° - у;а°)- хКпри (х°/= -Кс (1.11)
- КЕ(б° = Кц(КЕ6° - у<°)при (х°/= 0
В уравнениях (1.9) и (1.11) при г = 1, очевидно Ки = К = К = Кс = 1.
Решение системы уравнений (1.11) с граничными условиями (1.10) получено на ЭВМ с использованием метода характеристик. Теоретические основы нахождения численных решений волновых задач рассмотрены в [10]. Учитывая соотношения (1.8), безразмерные решения задачи далее переводятся в размерные.
Система уравнений (1.11) для стержня и грунта решается раздельно. Однако эти системы, в общем случае, связаны значениями силы трения т, действующей на поверхности их контакта.
2. Закон взаимодействия стержня с грунтовой средой. Согласно [5, 6] закономерности взаимодействия стержня с грунтом т(и) зависят, в основном, от следующих факторов: степени нарушенности структуры грунтов на поверхности контакта стержень — грунт; значения нормального к поверхности контакта грунт — стержень давления; шероховатости поверхности стержня, контактирующего с грунтом; скорости относительного смещения (сдвига) или скорости взаимодействия стержня с грунтом.
Здесь и — относительное смещение, и = их — и2, их — смещение частицы стержня, и2 — смещение частицы грунта. Значения их и ы2 — определяются по ходу решения задачи
С ' ^
численным интегрированием значений скорости
u¡ = Г o¡dt
v
0
Исходя из этих предположений, в разных точках поверхности контакта стержня с грунтом закономерности взаимодействия проявляются по-разному, т.е. они имеют локальный характер.
В общем случае закономерности взаимодействия стержня с грунтом, в целом, состоят их двух стадий: первая, где значения касательного напряжения зависят от значений относительного смещения; вторая, где такая зависимость отсутствует. Вторая стадия наступает после достижения относительным смещением значения и*. Результаты [5, 6] показывают,
что значение и* не зависит от скорости взаимодействия и структуры грунта.
Возвратное движение стержня относительно грунта или условная разгрузка происходит по линейному закону. В первой стадии взаимодействия наклон линии разгрузки зависит от структуры грунта, т.е. с увеличением значения относительного смещения наклон этой линии к оси и увеличивается. В этой стадии при повторном взаимодействии начинающееся в стадии разгрузки изменение касательного напряжения происходит по этой же линии разгрузки. Во второй стадии взаимодействия при возвратном движении значение касательного напряжения мгновенно падает до нуля. Далее начинается новый цикл в зависимостях т(и). В случае, когда нормальное к поверхности
контакта стержня с грунтом напряжение (давление) меняет знак и > 15* |, проис-
ходит отрыв грунта от поверхности подземного сооружения, и значение касательного напряжения мгновенно падает до нуля. Здесь а* — предел прочности грунта на растяжение. В случае разрушенного контактного слоя грунта значение а* равно нулю.
Для описания процесса взаимодействия используем нелинейный закон, основанный на модели стандартного линейног
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.