ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 1, с. 89-104
УДК 519.633.9
ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПЕРЕД ut В УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО УСЛОВИЮ НЕЛОКАЛЬНОГО НАБЛЮДЕНИЯ ПО ВРЕМЕНИ
© 2015 г. А. Б. Костин
(115409 Москва, Каширское шоссе, 31, Национальный исследовательский ядерный ун-т "МИФИ")
e-mail: abkostin@yandex.ru
Поступила в редакцию 04.04.2014 г.
Переработанный вариант 14.07.2014 г.
Изучается обратная задача о нахождении коэффициента p(x) = р0 + r(x) перед ut в уравнении теплопроводности. При этом неизвестная функция r(x) > 0 ищется в классе ограниченных функций, а р0 — заданная положительная постоянная. Помимо начальных и граничных усло-
T
вий (данных прямой задачи) задается условие нелокального наблюдения в виде J" u(x, t)d^(t) =
о
= x(x) c известной мерой d^(t) и функцией x(x). Отдельно рассматривается случай d^(t) = = ro(t)dt — интегрального наблюдения. Получены достаточные условия существования и единственности решения обратной задачи, имеющие вид легко проверяемых неравенств. Приведены примеры конкретных обратных задач, для которых выполнены условия доказанных в работе теорем. Библ. 29.
Ключевые слова: коэффициентные обратные задачи, обратная задача для уравнения теплопроводности, условие нелокального наблюдения (или переопределения), достаточные условия существования и единственности решения.
DOI: 10.7868/S0044466915010123
1. ВВЕДЕНИЕ
Обратные задачи нахождения коэффициентов в параболических уравнениях изучались во многих работах (см., например, [1]—[13]). Эти задачи являются нелинейными, так как неизвестные функции входят в уравнение в виде произведения, часто они оказываются еще и некорректными (см. [14], [15]). С общими методами решения обратных задач для уравнений математической физики и обзором литературы можно ознакомиться, например, в [16]—[18], [8]. В предлагаемой работе ищется коэффициент r(x), входящий в модельное уравнение теплопроводности
(р0 + r(x))ut(x,t) - Au(x, t) = g(x,t), (x,t) e Q, (1.1)
n
в котором p0 — положительная постоянная и правая часть g(x, t) заданы, Au = ^ ux,x, — оператор
i=1
Лапласа, Q = fi х (0, T), fi — ограниченная область Rn, n > 1, с границей dQ, x = (x1, ..., xn). Замена t/p0 на t и r/p0 на r сводит (1.1) к уравнению того же вида, но с р0 = 1. В дальнейшем при исследовании задачи мы будем считать, что такая замена и соответствующие переобозначения выполнены. Это не является ограничением общности, так как обратная задача восстановления коэффициента p(x) перед ut в классе p(x) > р0 > 0 с фиксированной константой р0 легко сводится к рассматриваемому случаю.
Для нахождения функций u(x, t) и r(x) из уравнения (1.1), помимо начального условия и условия на боковой поверхности S = SQ х [0, T] (данных прямой задачи), задается еще условие нелокального наблюдения (или переопределения) следующего вида:
T
Ju(x,t)d^(t) = x(x), x ей, (1.2)
0
где и %(х) — известные функции. Условие наблюдения вида (1.2) имеет нелокальный по переменной , характер, оно было предложено для линейной обратной задачи в [19] и включает в себя, в частности, финальное наблюдение
и(х, Т) = х(х), х еП,
и интегральное наблюдение
|и(х,?)ю(= х(х), х еП.
о
Если, например, ю(?) = 1/7, то имеем условие интегрального среднего функции и(х, 1)
т
— |и(х,?)Л = х(х), х еО.
о
Еще один из типичных примеров условия вида (1.2) следующий:
N
^аки(х^к) = х(х), х = О, 0 < < ¿2 < ... < tN < Т,
к=1
где ак > 0 и ,к — заданные числа. Данное условие может быть интерпретировано как задание средневзвешенного значения и(х, 1).
Задача определения коэффициента перед и, в параболическом уравнении по условию финального наблюдения изучалась в [3], [8]. Решение рассматривалось в классах Гёльдера, что исключало возможность разрывных коэффициентов. В [6], [7] проведено исследование подобной коэффициентной обратной задачи в классах С.Л. Соболева, причем сразу для финального и интегрального наблюдения. В [11] восстанавливался коэффициент перед Аи в случае интегрального наблюдения. Отметим, что рассматриваемая нами задача к такому случаю не сводится. В настоящей работе результаты работ [6], [7] переносятся на более общее переопределение (1.2), предложен и обоснован итерационный метод нахождения коэффициента г(х) в классе ограниченных функций. Отдельно рассмотрен случай интегрального наблюдения для гладкой весовой функции ю(0, который ранее для такой задачи не рассматривался. Это позволило доказать теорему об однозначной разрешимости обратной задачи при более слабых ограничениях на заданные функции. Отметим также, что обратная задача восстановления коэффициента г(х) с общим наблюдением вида (1.2), в котором функция имеет ограниченную вариацию на [0, Т], ранее не исследовалась. Но даже в случае интегрального и финального наблюдений теоремы 1 и 2 дают новые, по сравнению с [6]—[8], условия однозначной разрешимости обратной задачи. В частности, снято требование нулевых начальных данных, присутствующее в [6]—[8], найдена явная оценка искомого коэффициента. При доказательстве основных теорем используется метод монотонных операторов и качественные свойства решений параболических уравнений.
Работа состоит из шести разделов, в разд. 2 дана точная постановка задач и сформулированы основные результаты, а в разд. 4, 5 приведено их доказательство. В разд. 3 для удобства ссылок собраны некоторые вспомогательные утверждения. Разд. 6 посвящен примерам и заключительным замечаниям.
Будем использовать ряд общепринятых обозначений функциональных пространств Ьр(0), Жр (П),
21 II и и и(2) и п(21) п и
(0,1 < р < да, С(£г) (О—некоторый компакт) с соответствующими нормамиЦ|рП, Ц| а, Ц , Ц0
(см., например, [20, гл. 1, § 1]). Встречающиеся в тексте равенства и неравенства понимаются почти всюду (п.в.), а производные — как обобщенные по С.Л. Соболеву (см., например, [21, гл. 1, § 4]). Пространство скалярных (вещественных) функций ограниченной вариации на [0, Т] обозначим через ВУ[0, Т], а через С([0, Т]; Е) обозначим пространство непрерывных на [0, Т] функций со значениями в банаховом пространстве Е. Значок V 0(|д) будем использовать для полной вариации функции ц е ВУ[0, Т] на отрезке [0, Т]. Для равенства по определению применяется обозначение А: = В, где слева стоит определяемый объект.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Пусть Qc Kn — ограниченная область с границей 5Q е C2. В цилиндре Q = Q х (0, T) с боковой поверхностью S = dQ х [0, T] рассмотрим задачу о нахождении пары функций {u(x, t); r(x)} из следующих условий:
(1 + r(x))ut(x,t) - Au(x,t) = g(x,t), (x,t) e Q, (2.1)
u(x,0) = u0(x), x eQ, u(x,t) = p(x,t), (x,t) e S, (2.2)
T
l(u) := Ju(x,t)d^(t) = x(x), x ей. (2.3)
0
Здесь функции g, u0, в, ||, x заданы, A — оператор Лапласа. Основным пространством в работе является пространство E = L^(Q) с конусом E+ = {r е | r(x) > 0 в Q}, в котором ищется неизвестный коэффициент r(x). Полуупорядоченное (при помощи конуса E+) пространство E является условно полным. Последнее означает, что всякое непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество E имеет точную верхнюю (точную нижнюю) грань, принадлежащую E. Если коэффициент r(x) известен, то через ur := u(x, t; r) будем обозначать решение прямой задачи (2.1), (2.2), uM(x, t) := u(x, t; M) для r(x) = M, M = const > 0. Таким образом, u0(x, t) — это решение (2.1), (2.2) с r(x) = 0.
Ограничения на заданные функции оказываются более слабыми в случае d|(t) = ®(t)dt, поэтому рассмотрим отдельно случаи интегрального наблюдения и общего переопределения (2.3) с функцией |i е BV[0, T]. В последнем случае интеграл в условии (2.3) понимается как интеграл Ри-мана—Стилтьеса (см. [22, гл. 8, § 6]).
2.1. Обратная задача с интегральным наблюдением
В случае интегрального наблюдения, т.е. d^(t) = w(t)dt, в (2.3) будем предполагать выполненными следующие условия гладкости и согласования:
g,gt е LoQ); А«0, Ах е LJO); ЗФ(х,t): Ф,Ф, е W2\Q), причем (A1) выполнены условия: Ф(х, 0) = u0(x) в fi, Ф(х, t) = ß(x, t) на S;
T
w g C1[0, T], /(1) = J®(t)dt = 1;
0
(Bi) Uo(x) = ß(x, 0), /(ß)(x) = x(x), x g 5q,
где первое из условий согласования (B1) выполнено автоматически в силу (A1). Отметим, что при выполнении условий (A1) и любом r g E+ решение прямой задачи (2.1), (2.2) принадлежит классу
2 1 — Wp' (Q) сp > n + 1 и по теореме вложения является непрерывным в Q. Поэтому в задаче (2.1)—(2.3)
условия (2.2), (2.3) можно понимать в классическом смысле.
2 1
Определение 1. Пара функций u g Wp' (Q), p > n + 1, r g Lx(Q), r(x) > 0 в fi называется решением обратной задачи (2.1)—(2.3), если эти функции удовлетворяют уравнению (2.1) п.в. в Q, а условиям (2.2), (2.3) — в классическом смысле (по непрерывности).
Важную роль в разрешимости обратной задачи играют константы
ß0 = min {ßt(x, t)}, к0 = ess inf {Au0(x) + g(x, 0)},
(2.4)
n
К = ess sup{Ax(x) + l(g)(x)},
n
а также неравенства
g > 0, gt > 0 в Q; U0(x) > 0 в О; ß> 0, (2 5)
ßt > 0 на £ ffl(t) > 0, ©'(t) < 0 на [0,T]; (.)
ß0 > 0, к0 > 0, к1 < к0. (2.6)
Для задачи с интегральным наблюдением доказана
Теорема 1. Пусть выполнены условия (А1), (В1), справедливы неравенства (2.5), (2.6) и
А[/(и0) - х] (х) < 0 в а
Тогда существует, и притом единственная, пара {и; г} — решение обратной задачи (2.1)—(2.3), причем и(х, 1) обладает следующими свойствами дополнительной гладкости:
и, е С([0, Т]; Ьр(П)), и е С([0, Т]; Жр2(0)) при р > п + 1, (2.7)
а функция г(х) > 0 удовлетворяет оценке г(х) < М1 = тах {0, к0/р0 -1}.
Замечание 1. Аналоги условий единственности решения вида ю(?) > 0, ю'(0 < 0 на [0, 7] для обратной задачи восстановления младшего коэффициента (коэффициента с(х) при и(х, ,) в уравнении) имеются в [9], [11].
2.2. Общее переопределение Для обратной задачи (2.1)—(2.3) с ц е ВУ[0, Т] будем предполагать выполненными следующие
условия:
g,g, е W2'1(ö); Д«0, Ах 6 4,(0); ЗФ(Х,t): Ф, Ф,, Ф„ е W„21(Ö),
(A2) причем выполнены условия: Ф(х, 0) = u0(x) в D, Ф(х, t) = ß(x, t) на S;
|i е BV[0, T], ||(0) = |(0+), |i(t) Ф const; (B2) U0(x) = ß(x, 0), /(ß)(x) = x(x), ßt(x, 0) = 0, x eSO,
g(x, 0) + Au0(x) = 0 в D.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.