Восстановление прошлых температур поверхности ледникового купола Академии Наук на основе скважинных данных 2001 г.
О.В. Нагорнов, С.А. Тюфлин
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
Статья поступила в редакцию 4марта 2007 г. Представлена членом редколлегии Ю.Я. Мачеретом
Проведены реконструкции температуры поверхности для ледникового купола Академии Наук на Северной Земле, установлен предположительный возраст этого ледника.
Архипелаг Северная Земля — один из наиболее крупных районов современного оледенения Евразийской Арктики. Ледниковый купол Академии Наук на о. Комсомолец относится к самым большим ледникам архипелага. Проведенные в 2001 г. измерения [10] позволили уточнить предыдущие реконструкции температуры поверхности этого ледника, а также определить возраст его нижней части [9]. В настоящей работе реконструкции температуры поверхности ледника проводятся с помощью различных методов и датировок глубин на основе температурных профилей. Сравнение реконструкций между собой и с температурным режимом в Северном полушарии и Арктическом регионе позволило сделать заключения о возрасте ледника.
Математическая постановка задачи
На распределение температурного поля в ледниках влияют в основном два фактора: стационарный геотермический тепловой поток у основания ледника и изменения температуры на его поверхности [7, 19]. Распространение тепла в леднике описывается одномерным уравнением теплопроводности с учетом адвекции годовых слоев в нем [15]. Направим ось г от поверхности ледника к его основанию, и за начало отчета примем поверхность. Тогда распределение температуры в нем на отрезке времени [0,/у] находим при решении следующей задачи:
р (г)С(г)
дТ(г,() д1
дТ(г,1)
&
- р(г)С(г)Цг,/)
,
0 < г < Н, 0 < t < Т(0Л) = иТ(г,0) = и(г).
В качестве начального профиля температуры и(г) возьмем ее стационарный профиль, т.е. решение следующей задачи:
к{г)
~ск 0 < г < Н,
с/Ц (г, О'
,
ск
(2)
и(0) = и
о ■
(1)
Здесь Н — глубина ледника, р(г) — плотность льда, С(г) — теплоемкость, Щг) — коэффициент теплопроводности, q — геотермический поток, ио — начальная температура на поверхности, ¡и(0 — отклонение температуры на поверхности от начального значения (/(0) = 0), w(г,t) — адвекция, и(г) — начальный профиль температуры.
Прямая задача (1) может быть записана в операторном виде: Т(г,^) = R[л]. Если обозначить измеренный температурный профиль в скважине как Х(г), то решение обратной задачи можно записать следующим образом: /л = R-1[x]. Это уравнение не имеет точного решения для х(г), поскольку измеренный температурный профиль в скважине х(г) содержит возмущения температуры, которые приводят к тому, что у (-)£(?, где 0=КР — множество образов при отображении, осуществляемом оператором R и . Таким образом, обратная задача нахождения изменения температуры поверхности поставлена некорректно.
Методы решения обратной задачи
Кратко опишем используемые в настоящей работе методы реконструкции температуры поверхности.
Метод регуляризации по Тихонову. Представим температуру поверхности в виде кусочно-постоянной функции для некоторого разбиения отрезка [0,^]:
Метод регуляризации по Тихонову состоит в определении такой температуры поверхности, которая минимизирует следующий функционал [2]:
,
где а — параметр регуляризации, согласованный с точностью входных данных. Функционал
называется стабилизатором.
Здесь г — порядок стабилизатора, а коэффициенты — qj > 0.
Минимизация функционала ¥ реализована с помощью градиентного метода и представляет собой итерационную процедуру. На первом шаге итерации задается нулевое приближение вектора модельных параметров:
/7° = о ),ц(2 ),...^м))°.
На «-ом шаге итерации граничные температуры определяются из соотношения:
(¡"+1 = ¿п-уп%гас1¥,
где у «>° — градиентный шаг.
Итерационная процедура выполняется до тех пор, пока не будет достигнут минимум функционала ¥ с заданной точностью, которому соответствует оптимальное решение обратной задачи.
Метод, основанный на измерениях относительной концентрации ё 18O. Известно, что изменение температуры на поверхности Земли влияет на процессы испарения с водных поверхностей и конденсации пара в атмосфере. Эти процессы, в свою очередь, определяют концентрацию различных изотопов в атмосфере. Известна температурная чувствительность конденсации воды к некоторым изотопам. Так что между дефектом концентрации изотопов и температурой поверхности ледника существует взаимосвязь, и эта зависимость линейна [6]. Таким образом, имея данные о концентрации изотопов, температуре на разных глубинах и датировки этих глубин, можно найти изменение температуры на поверхности ледника в прошлом ¡и(0 по следующей зависимости:
¡и(0 = а¥(0 + Ь,
где а и Ь — некоторые коэффициенты, подлежащие определению, а — зависимость дефекта концентрации какого-либо изотопа от времени.
Введем параметр с в уравнение (1):
Т2,°) = с + и(2) .
Этот коэффициент отвечает за поправку к начальной температуре поверхности и также должен быть определен.
Таким образом, восстановление температуры поверхности сводится к нахождению коэффициентов а, Ь и с с использованием в качестве условия переопределения измеренного профиля температуры в скважине
Х(2) = ТЩ) .
Тогда решение задачи (1) на конечный момент времени можно записать в виде:
Т(гЛг) = и(2) + аПф + Ьи2ф + сиз2),
где и]2 — решение задачи (1) на конечный момент времени с и(0Л) = ¥(0,
дЦ, дг
{//,0 = 0
и нулевым начальным условием, и2&) — решение задачи (1) на конечный момент времени с и2(°Л) = 1,
ас/.
ЦН, 0 = 0
дг
и нулевым начальным условием, а изф — решение задачи (1) на конечный момент времени с из(°,0 = 0,
дЦг дг
(И, 0 = 0
и из(2,°) = 1 . Параметры а, Ь и с подбираются исходя из условия минимума функционала
.
Метод Монте-Карло [8, 16] тестирует случайно выбранные комбинации поведения температуры на поверхности ледника, используя их в качестве входных данных для задачи (1), и принимает во внимание степень согласованности между вычисленным и измеренным температурными профилями.
Схема Монте-Карло использует случайные блуждания в многомерном пространстве всех возможных моделей температурных историй /1. Функция вероятности для вектора модельных параметров /7 имеет вид:
где $(¿1) = — невязка между вычисленным
значением температуры в скважине К(^) и измеренным профилем х, С — нормировочный множитель.
В качестве стартовой точки для случайного блуждания может быть принята любая точка модельного пространства. Случайное блуждание можно описать следующей схемой: 1) выбирается пробная температура поверхности ¿С!', из окрестности ее текущих значений ц'^1; 2) проверяется (Х^ с вероятностью:
пи:!.'' ;
\ ^сиг )
3) если 1-С, принимается, то ц^1 иначе ^ =ц °,,
Таким образом, можно набрать необходимое число допустимых модельных параметров, невязки для которых меньше определенного значения Sо (обычно согласованного с погрешностью измерения температуры в скважине). По такой статистике можно построить гистограммы для каждого значения температуры поверхности в заданное время. Подобное распределение обычно имеет зону максимума, т.е. наиболее вероятные значения соответствующих величин, которые и будут представлять собой реконструкции температуры поверхности в заданные моменты времени [8, 16].
Экспериментальные данные
Как уже отмечалось, в настоящей работе рассматриваются данные, полученные на ледниковом куполе Академии Наук. Первая скважина на этом куполе была пробурена в 1986/87 г. [1, 3]. Данные по ледниковому керну были получены с относительно маленькой точностью и большим интервалом по глубине. Точность измерений температуры в скважине составляла 0,1°С. С 1999 по 2001 г. были проведены повторные измерения с целью получения более точных данных, а также проверки предыдущих датировок [10]. Точность новых измерений температуры в скважине составила 0,01°С. В апреле 2000 г. на глубине 10 м была зафиксирована температура -10,2°С [10]. Поскольку сезонные температуры не проникают на такую глубину, это значение было выбрано в качестве средней температуры за 2001 г. на этой глубине. Результаты измерений температуры в скважине представлены на рис. 1.
В 2001 г. в ледниковом керне были измерены электропроводность и изменение стабильных изотопов (ё 180 и Ж), и по этим данным вычислена толщина годовых слоев ледника, а также проведена датировка. Толщина годового слоя на поверхности ледника оказалась равной 0,46 м в.э. Также было установлено, что толщина годового слоя у основания составляет 0,12 м в.э. По этим значениям с помощью линейной зависимости толщины годового слоя от глубины была проведена датировка [9], согласно которой возраст нижней части ледника составляет около 2500 лет. Полученная толщина годового слоя не согласуется с толщиной слоя 0,26—0,28 м в.э. на поверхности, предложенной в [1] и использованной
\
1 I \ \
-200 - f \
1
I -400 -%
-600-
+ + + I . - 2
-800 -|-1-1-1-1-1-1-1-1-г
.16 -14 -12 -10 -8
Температура, ° С
Рис. 1. Температуры в скважине: 1 — измеренные значения, 2, 3 — стационарные профили, вычисленные по данным об аккумуляции из [9] и [12], соответственно Fig. 1. Temperatures in borehole: 1 — data measured, 2, 3 — calculated steady-state profiles with accumulation from [9] and [12]
для датировки данных 1987 г. по леднику Академии Наук в [12], а также при проведении реконструкции температуры его поверхности в [17]. Согласно этой датировке, возраст нижней части ледника составляет примерно 12500 лет.
Реконструкции температуры поверхности
Сначала определим стационарные профили температуры в скважине и геотермический тепловой поток из задачи (2). В большинстве ледников профили температуры у основания соответствуют стационарным распределениям. Таким образом, были установлены стационарные профили и значения геотермического теплового потока для измеренного температурного профиля при различных профилях аккумуляции. Значения геотермического теплового потока у основания ледника оказались равными 0,036 и 0,031 Вт/ м2
1200 1400 1600 1800 2000
Рис. 2. Реконструкции температуры на глубине 10 м по
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.