ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 74. Вып. 3, 2010
УДК 539.3:534.1
© 2010 г. Е. В. Глушков, Н. В. Глушкова, А. С. Кривонос
ВОЗБУЖДЕНИЕ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В МНОГОСЛОЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ КОМПОЗИТАХ
В рамках интегрального подхода волновые поля, возбуждаемые при динамическом воздействии на композитные материалы с произвольной анизотропией упругих свойств составляющих их слоев, выражаются в виде свертки матрицы Грина с вектором напряжений заданной нагрузки. Ключевую роль для определения динамической реакции материала и анализа волновых полей играет построение Фурье-символа матрицы Грина и нахождение ее полюсов и вычетов в них, дающих асимптотику поверхностных и каналовых волн. В отличие от представлений классического модального анализа, последняя учитывает характеристики не только материала, но и источника. Дается краткое описание общей схемы волнового анализа и приводятся тестовые численные примеры, а также примеры влияния структуры материала на энергетические характеристики и направленность излучения волн, возбуждаемых в нем поверхностными пьезоактуаторами.
Многие композиты представляют собой многослойные структуры с резко отличающимися, как правило, анизотропными, механическими свойствами составляющих их слоев, что существенно затрудняет расчет как напряженно-деформированного состояния, так и динамического поведения изделий из таких материалов. Большие вычислительные затраты связаны также и со сложной структурой волновых полей, формирующихся при многократных переотражениях волн на границах слоев.
Возникающие здесь задачи можно условно разделить на следующие группы:
1) модальный анализ, т.е. определение волновых характеристик (фазовые и групповые скорости, собственные формы колебаний и т.д.), присущих рассматриваемому образцу вне зависимости от прикладываемой нагрузки;
2) лучевой анализ трансформации заданной падающей волны в слоистой структуре (отражения, преломления и т.п.);
3) определение динамической реакции на заданное силовое (контактное) воздействие;
4) амплитудный и энергетический анализ, т.е. определение амплитудных характеристик волн, возбуждаемых заданной нагрузкой, направленности их излучения, пространственной структуры энергетических потоков, характеристик отраженных волн, возникающих при дифракции на локальных неоднородностях (дефектах) и т.п.
Техника модального и лучевого анализа анизотропных слоистых волноводов отработана достаточно хорошо. Используемые здесь методы и подходы [1, 2], как правило, восходят к матричным алгоритмам Томсона—Хаскела—Петрашеня, предложенным еще в 1950-е годы для пакета изотропных упругих слоев (см., например, обзор [3]). В рамках этого подхода построение дисперсионных соотношений для нормальных мод сводится к поиску нулей определителя матрицы, формируемой из граничных условий между слоями, а собственные формы нормальных мод выражаются через соответствующие собственные векторы этой матрицы.
Расчет динамической реакции протяженных элементов конструкций обычно проводится в рамках упрощенных теорий, в которых зависимость полей напряжения и деформации от поперечной координаты предполагается линейной как в теории пластин Кирхгофа—Лява, или квадратичной либо кубической, как в теориях высшего порядка [4, 5]. В случаях, когда длина волны становится соизмеримой с толщиной пластины, например, при высокочастотном или ударном
воздействии, гипотезы, положенные в основу приближенных теорий, перестают работать, и возникает необходимость проведения расчетов в полной трехмерной постановке. В настоящее время в инженерной практике для этой цели обычно используются конечно-элементные (МКЭ) или конечно-разностные (МКР) пакеты. Однако в силу естественных ограничений допустимого числа элементов сеточной дискретизации стандартные МКЭ и МКР схемы применимы только для конечных тел или ограниченных областей, прилегающих к зоне нагрузки, причем их реально достижимый размер тем меньше, чем сложнее структура материала и возбуждаемых волновых полей.
По этой же причине указанные методы, основанные на сеточной аппроксимации, плохо приспособлены для решения задач четвертой группы, возникающих, например, при разработке методов ультразвуковой дефектоскопии или дистанционного волнового мониторинга конструкций с помощью распределенной системы пьезоактуаторов и сенсоров (SHM — structural health monitoring [6, 7]). Для преодоления указанного ограничения разрабатываются гибридные схемы, в которых решения в виде разложения по нормальным модам, построенным методами модального анализа, сшиваются на границе области сеточной дискретизации с численными решениями, полученными с помощью МКЭ или МКР [8]. Фактически тем самым в МКЭ пакет вводятся так называемые "бесконечные элементы", строго учитывающие структуру волновых полей, излучаемых от источника (области приложения нагрузки) на бесконечность.
Более естественным образом эта же цель достигается в рамках интегрального подхода, базирующегося на представлении волнового поля в виде свертки матрицы Грина рассматриваемого пакета слоев или слоистого полупространства с возбуждающей его поверхностной нагрузкой [9—11]. Сведение контурных интегралов, входящих в представление матрицы Грина, к сумме вычетов дает искомое разложение волнового поля по нормальным модам. Информация об источнике входит в такое разложение автоматически через заданную функцию нагрузки, поэтому здесь не требуется сложная процедура сшивания с численным решением в ближней зоне.
Отметим, что в рамках интегрального подхода решаются также и задачи модального анализа: полюса Фурье-символа матрицы Грина являются волновыми числами, а вычеты в них — собственными формами нормальных мод. Интегральные представления используются также и при решении задач третьей группы. Смещения поверхности в области приложения нагрузки, необходимые для анализа динамической реакции материала, определяются путем численного интегрирования, либо (при заданных смещениях в зоне контакта) задача сводится к интегральному уравнению типа свертки относительно неизвестных контактных напряжений [9].
Ниже дается описание реализации интегрального подхода для решения задач волнового мониторинга слоистых композитов, т.е. многослойных волноводов с произвольной анизотропией составляющих слоев.
1. Общая схема волнового анализа. Для слоистых волноводов главный вклад в асимптотику бегущих волн дают вычеты в вещественных полюсах. Соответствующая математическая техника неоднократно описана, в том числе и в учебной литературе, но, как правило, на примере изотропных сред. Работы, в которых рассматриваются трехмерные анизотропные волноводы, встречаются значительно реже, поэтому ниже дается краткое описание вывода основных соотношений, используемых далее для численного анализа.
Гармоническое волновое поле ue-"n', возбуждаемое нагрузкой qe-"n', приложенной в некоторой области О к поверхности I = 0 упругого волновода с плоскопараллельными границами, представимо в виде
u(x) = (х - у - п, г)q^dn =
а
= —1— I" ГЦа15 а2, г)Q(а1, а2)е '^ + "2У)^а1йа2 ( 2 я)^
Предполагается, что среда занимает объем —да < x, y < да, — H < г < 0, при H = да — это упругое стратифицированное полупространство; x = {x, y, z] — вектор пространственных координат, K = 9[k] и Q = 9[q] — Фурье-символы (т.е. результат преобразования Фурье 9 по горизонтальным координатам x и y) матрицы-функции k(x) и вектор-функции q(x, y), Г1, Г2 — контуры интегрирования обратного преобразования Фурье 9-1, отклонение которых от вещественных осей Imam = 0 (m = 1, 2) фиксируется в соответствии с принципом предельного поглощения. Здесь и далее по возможности используются обозначения и понятия, традиционные для предыдущих работ [10—12]. В полярных координатах
а,! = а cos у, а2 = а sin y , * = rcos ф, y = rsin ф, z = z
i 2 2 l 2 2 r = aJx + y , а = /^/а! + а2, 0 < ф, y< 2п
представление (1.1) принимает вид
Здесь Г — контур, идущий вдоль положительной вещественной полуоси [0, да], отклоняясь от нее при обходе вещественных полюсов (п = 1, ..., Я), как правило, в нижнюю полуплоскость 1та < 0 комплексной плоскости а. Сверху обходятся только так называемые нерегулярные полюса с отрицательным углом наклона касательной
Представление (1.2) справедливо как для изотропных, так и анизотропных волноводов, причем не только однородных, но и многослойных с произвольной кусочно-непрерывной зависимостью упругих свойств от вертикальной координаты г (функционально-градиентные среды). Различие заключается только в конкретном виде и свойствах матрицы К. Для изотропных сред зависимость ее элементов от угловой координаты у в представлении к(г, ф, г) сводятся к функциям Бесселя /т(аг) (т = 0, 1), а оставшийся однократный интеграл по а при Н < да можно точно заменять рядом по вычетам в полюсах которые описывают цилиндрические волны, выражающиеся
через функции Ганкеля Н1 (Спг). Анизотропия упругих свойств приводит к такой зависимости К от у, которая в общем случае не позволяет получить явное аналитическое представление интегралов по у и соответственно явно выписать к^) в виде ряда по вычетам. Поэтому вывод асимптотики поверхностных и каналовых волн здесь проводится по иной схеме.
Для г > г0, где г0 — радиус круга, целиком содержащего область О убывание или рост подыинтегрального выражения (1.2) в комплексной плоскости а зависит только от знака показателя экспоненты. По лемме Жордана контур Г можно замкнуть в верхнюю полуплоскость для у таких, что ео8(у — ф) < 0 и, соответственно, в нижнюю для остальных. Далее, применяя теорему Коши о вычетах и оценивая поведение интегралов по замыкающим мнимым полуосям [/'да, 0] и [—/да, 0], а также по берегам разрезов (в случае полупространства Н = да) как О ((гк)-3/2), гк ^ да, приходим к представлению
iarcos(y - ф)
аdа dY
(1.2)
dZ„/dv [9].
N
u(x) = у un(r, Ф, z) + о((rK)-3/2), гк —> да
n = 1
i ClWQ \ iZni^rsiny (L3)
Un = 2П J bn(0' z)e dy' 0 = Y + Ф + n /2
0
bn (Y, Z) = in res [ K(a, y, z) Q(a,y)a] |a = ^
к = ю/ и — волновое число, соответствующее характерной скорости распространения волн и, jn = 1 для регулярных и jn = —1 для нерегулярных Z„. Вектор-ф
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.