КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2013, том 58, № 6, с. 868-877
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
УДК 534-16+534.242 „ _л „ , „.„
К 70-летию Института кристаллографии РАН
ВОЗБУЖДЕНИЕ ИНТЕНСИВНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ГЕКСАГОНАЛЬНЫХ КРИСТАЛЛАХ
© 2013 г. В. И. Альшиц, Д. А. Бессонов, В. Н. Любимов
Институт кристаллографии РАН, Москва E-mail: alshits@ns.crys.ras.ru Поступила в редакцию 10.06.2013 г.
Описано резонансное возбуждение интенсивной упругой волны с помощью отражения от свободной поверхности гексагонального кристалла волны накачки. Резонанс возникает при специальном выборе геометрии распространения, когда отражающая граница немного отклонена от симметричной ориентации, а интенсивная отраженная волна близка к направлению распространения особой объемной моды, удовлетворяющей условию свободной границы в невозмущенной симметричной ориентации. Показано, что в кристаллах с упругими модулями c44 > Сбб резонанс возникает при выборе исходной границы, параллельной гексагональной оси 6, а в кристаллах с модулями c44 < c66 — когда исходная граница ортогональна этой оси. Доля энергии волны накачки, попадающая в возбуждаемый пучок, зависит от конкретных соотношений между модулями упругости и может быть весьма значительной при специальном подборе кристаллов. Приведены примеры кристаллов, в которых при достаточно высоких частотах можно повысить интенсивность пучка в 5—10 раз, сохранив его расходимость на приемлемом уровне.
DOI: 10.7868/S0023476113060040
ВВЕДЕНИЕ
Узкие ультразвуковые пучки высокой интенсивности широко применяются в технике, медицине, научном приборостроении и т.д. В [1] описана возможность создания таких пучков в кристаллах с использованием особенности анизотропии их упругих свойств. Как сам принцип возбуждения, так и теория [1] применимы в самом общем случае произвольной анизотропии. Однако для оптимизации эффекта выбор кристалла должен осуществляться исходя из определенных критериев, зависящих не только от симметрии и геометрии распространения, но и от конкретных значений упругих модулей.
Речь идет о резонансном возбуждении акустических полей с помощью отражения специальной волны накачки, подобранной так, чтобы одна из отраженных волн распространялась в окрестности направления, допускающего существование собственной особой объемной волны в кристалле, удовлетворяющей условию свободной границы. Согласно [2], в любом кристалле можно выбрать такой срез поверхности с нормалью п0 и такое направление m0 вдоль границы, которые допускают распространение подобной волны. Более того, при определенном согласованном непрерывном изменении ориентации ортогональной пары ^^ п0} решение для такой собственной волны должно сохраняться. Вектор поляризации А особой объемной волны и ее поток энергии Р всегда параллельны плоскости границы кристалла.
Рассмотрим случай, когда собственная волна принадлежит промежуточной полости поверхности медленности. При этом, согласно [1], в той же сагиттальной плоскости п0} и при такой же приведенной фазовой скорости стационарного перемещения волнового поля вдоль поверхности должно существовать независимое отражение, в котором имеются только две объемные компоненты, падающая и отраженная, принадлежащие внешней полости поверхности медленности.
При несогласованном возмущении выделенной геометрии распространения п0} решения для особой объемной волны и для специального отражения исчезают. Вместо них появляется объединенная волновая суперпозиция, в которую бывшая собственная волна с промежуточной полости поверхности входит как дополнительная отраженная компонента. Нарушение ею граничного условия свободной поверхности при малом возмущении геометрии будет малым, следовательно, компенсация нарушения за счет остальных парциальных волн задачи отражения может быть обеспечена при весьма малых амплитудах этих волн. Возникает искомое резонансное отражение, в котором слабая падающая волна возбуждает интенсивную отраженную компоненту, распространяющуюся вблизи поверхности [1].
В [1] возмущением, искажающим исходную геометрию распространения, был выбран малый поворот сагиттальной плоскости п0} вокруг нормали п0. Отражающая граница кристалла
оставалась неизмененной. В качестве примера, иллюстрирующего общую теорию, в [1] рассматривался гексагональный кристалл с поверхностью, параллельной главной оси симметрии 6.
В настоящей работе резонанс в гексагональном кристалле рассмотрен при другом возмущении симметричной картины распространения — повороте исходной поверхности вокруг вектора т0. При этом сагиттальная плоскость, всегда ортогональная границе, тоже автоматически претерпевает соответствующее слабое изменение ориентации. Будут проанализированы ориентации, когда исходная граница параллельна гексагональной оси и когда она перпендикулярна данной оси. В первом случае резонанс возможен только в кристаллах с модулями упругости с44 и с66, удовлетворяющими соотношению с44 > с66, а во втором случае — только при обратном соотношении модулей с44 < с66.
Первый вариант отличается от варианта [1] новым типом возмущения. Условия оптимизации параметров резонанса при этом существенно отличаются от условий, найденных в [1]. Второй вариант принципиально возможен только при новом типе возмущения. Поскольку граница является плоскостью поперечной изотропии, поворот сагиттальной плоскости вокруг нормали к поверхности (как в [1]) фактически сохраняет исходную геометрию распространения.
По той же причине рассматриваемый резонанс не возникает в изотропных средах. На их свободных границах также существуют особые объемные волны (5Н-моды), однако они сохраняются и при изменении ориентации поверхности, и при вариациях направления распространения. Никакой связи с волнами других поляризаций изотропия не допускает.
Тем не менее развиваемая теория относится не только к кристаллам. Она полностью применима и к текстурам, которые по своим упругим свойствам ничем не отличаются от гексагональных кристаллов, обладая той же поперечной изотропией [3].
ИСХОДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНА ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ ОСИ
Невозмущенные волновые решения. Рассмотрим полубесконечную поперечно-изотропную упругую среду плотности р с поверхностью, параллельной главной оси симметрии (г), и сагиттальной плоскостью (ху), перпендикулярной этой оси. Симметрию среды отражает поверхность медленности — трехполостная поверхность обратных скоростей объемных упругих волн [3]. Сечения этой волновой поверхности исходными граничной и сагиттальной плоскостями пред-
(а)
г || 6
У
Исходная поверхность
щ/ ,1 1
ъу V/1
/ -1
Сагиттальная —
плоскость У
(1)
Рис. 1. Ориентации поверхности и сагиттальной плоскости кристалла: а — невозмущенная конфигурация и сечения поверхности медленности, б — поверхность выведена из симметричной ориентации в результате малого поворота вокруг оси х на угол 0.
ставлены на рис. 1а. Показанные на рисунке ско рости
V1 = V ^66 / Р, V 2 = V с44 / р, V 3 = л/ сп / р, v1 < ч2 <
отвечают скоростям распространения трех изо-нормальных объемных волн в базисной плоскости (ху) такой же безграничной среды. В этом разделе рассматриваются кристаллы, в которых с66 < < с44 < с11. В силу условий устойчивости [3] в поперечно-изотропных средах всегда с11 > с66. Что касается модуля с44, то обычно с11 > с44, хотя противоположный знак этого неравенства также не противоречит условиям устойчивости.
На рассматриваемой свободной поверхности кристалла хг с нормалью п0 = (0, 1, 0) || у вдоль волновой нормали т0 = (1, 0, 0) || х может распространяться особая объемная волна, удовлетворяющая граничному условию свободной поверхности. Ее поле упругих смещений представим в виде
и 0х (х, 0 = Сех Аех ехр[/к(х
V 2/)],
(2)
Аех = (0,0,1) || г, к0х = кш0. Здесь Сех — скалярная амплитуда, Аех — вектор
поляризации, к 0х — волновой вектор. Данная особая волна с частотой ю и скоростью V = ю/к (1), распространяющаяся в симметричном направле-
игеГ (х, у, г) = Г и 0(у) + Сг и 0 (у) + + С1 и0(у)]ехр[¡к(х - V2г)].
Рис. 2. Фрагменты внешних полостей (1, 2) поверхности медленности в ее сечении сагиттальной плоскостью и схема отражений: а — сосуществующие особая объемная волна и специальное отражение (невозмущенная геометрия распространения); б — резонансное отражение при возмущении.
нии — вдоль линии пересечения двух плоскостей симметрии хг и ху, имеет поток энергии строго вдоль направления волнового вектора.
Независимо от волны и 0х (2) при той же скорости у2 в плоскости ху существует трехпарциаль-
ное отражение. Его формируют падающая (и 0) и отраженная (и 0) волны, а также волна, локализованная у границы (и 0):
Конкретизируя выражения для входящих сюда парциальных волн, имеем
и1,г(у) = С1,ГА1,г ехр(+/кру),
А¡,г « (±М0)л/^66/С44, (4)
к1,г = (т о + р п 0)к, р = д/Д 46 / ^66; и1 (у) = С1 А1 ехр(-кду), А1 « (1, ¡д,0Ь1 еп/С44, (5)
к1 = (т 0 + ¡дп 0)к, д = ^А 14/еп.
Здесь введено обозначение Аар = еаа - ерр.
Структура волнового поля при резонансном отражении. Для реализации резонансного отражения, одна из отраженных компонент которого обладает высокой интенсивностью, необходимо слегка изменить исходную выделенную геометрию распространения (рис. 1а), чтобы найденные выше независимые решения для особой объемной волны (2) и трехпарциального отражения (3) интегрировались в смешанную резонансную комбинацию. В [1] та же исходная геометрия возмущалась малым поворотом сагиттальной плоскости вокруг нормали к поверхности п0. Здесь в качестве альтернативы рассмотрим возмущение ориентации поверхности. Поворот граничной плоскости хг вокруг направления главной оси симметрии г (единственный вариант, при котором сагиттальная плоскость остается неизменной) ничего не меняет в исходной геометрии задачи в силу поперечной изотропии рассматриваемой среды, а потому не возмущает и решений (2) и (3). В связи с этим необходимо поворачивать поверхность вместе с сагиттальной плоскостью. Наиболее простой вариант возмущения сводится к малому повороту поверхности кристалла вокруг оси х на угол 9 (рис. 1б):
п0 ^ п = (0,1,0).
(6)
При возмущении волновые решения и0х(х, г) (2)
и игеГ(х, у, г) (3) трансформируютс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.