СУДОСТРОЕНИЕ 6'2003
ВОЗМОЖНОСТИ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ
МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ КОРПУСНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
(В порядке обсуждения)
В. И. Сутырин, канд. техн. наук (Балтийская государственная академия рыбопромыслового флота) удк 629.5.023.4.001.24
Экстремальность ситуаций в отечественной экономике выдвигает на первый план необходимость снижения трудоемкости и сроков проектирования сложных конструкций. Традиционным становится моделирование проектируемых объектов численными методами. При создании новых объектов нередко рассматривается ряд альтернативных вариантов, принимаются нетрадиционные конструктивные решения, предусматривающие оптимизацию подбора и распределения материала. Особые ограничения на расчеты могут накладываться необычными условиями монтажа и эксплуатации объектов, определяемыми, например, повышенными требованиями экологической безопасности и др. Принимаемые конструктивные решения нередко ограничивают возможности ввода многих традиционных упрощающих гипотез и тем самым предопределяют использование усложненных пространственных расчетных моделей.
Все сказанное можно в полной мере отнести к практике проектирования корпусных конструкций. В идеальном случае математическая модель и специализированные программные средства для ее анализа должны использоваться на этапах проектирования и эксплуатации судна. Спектр решаемых при этом задач оказывается достаточно широким и может, в частности, включать: обоснование и выбор размеров конструктивных элементов, отработку конструктивного исполнения узлов с целью снижения уровней концентраций напряжений, оценку остаточного напряженно-деформированного состояния конструкций после выполнения технологических операций, обоснование конструктивных решений при модернизации и ремонте, а также прогнозирование опасных сочетаний внешних нагрузок и экспертизу аварийных состояний (столкновений) и др.
Вместе с тем моделирование и расчеты судовых корпусов имеют ряд специфичных особенностей. Так, современные расчетные модели корпусов достаточно сложны. Порядок систем разрешающих уравнений для эталонных (имеющих по шесть узловых перемещений) пространственных моделей нередко достигает сотен тысяч. Алгоритмы решения подобных систем требуют совершенствования.
При решении задач, связанных с конструированием корпусов судов, используются вероятностные подходы. Учет случайного характера параметров расчетной модели многократно усложняет задачу ее анализа и требует разработки новых расчетных приемов и методов, ориентированных на применение высокопроизводительных вычислительных средств.
Для инженерного анализа корпусных конструкций крайне необходим комплексный подход, объединяющий оценки статической прочности, устойчивости и надежности. Комплексные исследования требуют объединения ряда расчетных методов, которое возможно на основе обобщающего метода, допускающего применение аналитических и численных процедур и ориентированного на использование современной вычислительной техники. Таким методом в настоящее время является метод конечных элементов (МКЭ) [1, 2]. Для успешного преодоления трудностей, возникающих при расчетах корпусных конструкций, разрабатываются альтернативные подходы к алгоритмизации метода. В качестве примеров повышения эффективности традиционного МКЭ можно привести методы конечных полос [3], суперэлементов [4], модуль элементов [5], редуцированных элементов [6]. Исследования последних лет показывают, что разработка надежного и эффективного инструментария для расчетов сложных конструкций возможна на основе оптимизации расчетных схем и интеграции МКЭ с другими численными и аналитическими методами.
В статье рассматривается один из вариантов решения перечисленных выше проблем, заключающийся в систематическом понижении размерности решаемой задачи путем приведения матриц жесткости, массы и внешней нагрузки к отдельным узлам расчетной модели корпуса. Глобальная система МКЭ при этом не формируется, что позволяет эффективно использовать основную память компьютера и применить многопроцессорную обработку.
Понижение размерности задачи. Конечно-элементная система строится и редуцируется фрагментарно, по частям. В рамках фрагмента всегда выделяются сохраняемые
2 Судостроение № 6, 2003 г.
ПРОЕКТИРОВАНИЕ СУДОВ
СУДОСТРОЕНИЕ 6'2003
{Чз} и исключаемые {чп} перемещения. Если матрицу жесткости и вектор узловых перемещений фрагмента системы обозначить соответственно как | К | и {ч}и представить их в блочном виде, то можно записать
I | т
I К| {ч} = I I {ЧзЧп}т, (1)
I Кпз Кпп I
где Т — обозначение операции транспонирования.
При ненагруженных исключаемых перемещениях получаем
I О Ы + ! Кпп I Ы = 0 ;
{Чп} = ^ О | О {Чз} .
Обозначим I I I = - I Кпп I -1
II ММ
Кпз I , тогда
{ч}= I Е ¿т | т {Чз},
(3)
{^з}Т{Чз} = {^}Т{Ч} . (4)
Преобразуя (4), получим {Гз}т = {Г}т| Е ¿т |т или
^ = I Е ¿т| {Р} .
(5)
пр
где
I Кпр| =| А | | К| | А | т; (7)
IМ I = I М I 1/2 I М I1/2, и
пп пп пп
опуская промежуточные преобразования, получим [7, 8]
I Кпр | =| Кзз | +| Кзп | | ¿I ; (9)
I Мпр I = I Мзз I + I о I +1 о I т + + | с| I С| т,
10)
где I О I = I ¿I т I Мпз I; I С | = I ¿I т| Мпп I 1/2.
При наличии статических нагрузок на исключаемые узлы равенство (9) необходимо дополнить равенством следующего вида:
(2) {Рпр} = | ¿| Ч^Ь
(11)
где Е — единичная матрица порядка 5.
Поскольку до и после преобразований соответствующие компоненты сил {Г} и {Гз} должны совершать одинаковую работу, можно записать равенство
При свободных колебаниях силы имеют упругие и инерционные компоненты, следовательно
{Г} = | К| {ч} + | М I ¿2{Ч}/^. (6)
Подставив (6) в (5), получим известное выражение [1]
{Г5} = | Кпр I {Чз} + | Мпр I с!2^}^,
I МПр| =| А | | М| I А |т; | А | =| Е| ; (8)
| Кпр | , | Мпр I — матрицы жесткости и массы, приведенные к сохраняемым узлам.
Представим матрицы фрагмента I К I и I М I в четырехблочном виде подобно тому, как это было сделано в (2). Тогда, перемножая блоки, согласно (7) и (8), с учетом того, что
где {Рпр} — вектор внешних нагрузок, приведенный к сохраняемым узлам.
Таким образом, коэффициенты жесткости, нагрузки и массы можно исключать по единому модифицированному алгоритму Гаусса. Причем инерционные коэффициенты приводятся к сохраняемым узлам так же, как и нагрузки. Наибольшая эффективность вычислений достигается при построчном исключении коэффициентов [7]. В этом случае отпадает необходимость в обращении промежуточных блок-матриц, а также в возведении их в дробную степень.
Вихревые расчетные схемы. Важная роль в расчете корпуса отводится рекуррентной схеме редуцирования фрагментов системы. Если выбрать некоторый узел расчетной модели, то, используя традиционную для МКЭ матрицу связи узлов (в которой все конечные элементы представлены построчно номерами своих узлов в общей нумерации узлов расчетной модели), нетрудно найти в ней все конечные элементы, стыкуемые в этом узле, и построить первый фрагмент расчетной модели. Затем можно исключить указанный узел и привести жесткости, массы, нагрузки к окаймляющим его узлам. Тогда последние образуют упругое дискретное основание (фронт) по границам исключенной области. Перебирая узлы фронта, например, по часовой стрелке, и выполняя вновь все перечисленные операции, получаем фронтальную схему исключения степеней свободы, которая «раскручивается» подобно вихрю (вихревая схема). Отметим ряд ее существенных свойств:
1. Рекуррентные вычисления по вихревой схеме выполняются в огра-
ниченном объеме основной памяти компьютера, что полностью исключает продолжительные буферные обмены с внешней памятью. В памяти удерживаются лишь те коэффициенты жесткости и массы, на которые непосредственно распространяются выполняемые корректировки;
2. В процессе расчетов отдельные узлы модели могут сохраняться и использоваться на заключительных этапах расчета [7, 8]. Формируется шлейф узлов конденсации различного назначения. Традиционная расчетная схема МКЭ при этом преобразуется [9].
Преобразованные расчетные схемы. Некоторые из применяемых преобразованных расчетных схем судового корпуса иллюстрируются рис. 1.
На рис. 1, а показано окаймление с помощью указанных узлов бортового (аналогично — днищевого либо палубного) перекрытия с целью конструирования, анализа последствий повреждений, подбора подкрепляющих элементов, контроля устойчивости и т. п. [10]. Получаемые в ходе расчета обобщенные коэффициенты контурных узлов (КУ), объединенные в матрицы жесткости и нагрузки, характеризующие граничные условия перекрытия, сохраняются неизменными при его пересчете. Многократный пересчет корпуса при этом не производится.
Рис. 1, б иллюстрирует расчетную схему судового корпуса, в которой расчетные узлы (РУ) назначены в местах опирания протяженного судового валопровода [11]. Система РУ имеет в подобных расчетах небольшой порядок, характеризует упругое дискретное основание валопровода и поэтому позволяет эффективно определять расчетные реакции, частоты и формы его колебаний, контролировать напряженно-деформированное состояние, вводить в расчет изменяющиеся внешние нагрузки, не подвергая пересчету весь судовой корпус.
На рис. 1, в показан выбор РУ в местах пересечений крупных балок набора корпуса, т. е. в местах наибольшей концентрации масс, с таким расчетом, чтобы формы его колебаний по возможности точно совпадали с формами колебаний системы РУ [8, 9]. Дополнительный ввод в расчет КУ, охватывающих области контроля напряженно-деформиро-
б)
||1 ||1|| ЦТ?-X-
м 1111 1 [/ \
Рис. 1. Преобразованные расчетные схемы судового корпуса:
1 — узлы исходной сетки КЭ; 2, 3 — контурные и расчетные узлы; 4 — расчетные
перемещения
ванного состояния с густой сеткой конечных элементов, позволяет с наибольшей эффективностью контролировать местную и общую вибрацию конструкции.
Рис. 1, г иллюстрирует назначение РУ в местах опирания судна на кильблоки при постановке его в док [12]. Одновременно интересующие расчетчика конструктивные узлы (обычно перекрытия корпуса) охватываются КУ. Причем последние взаимодействуют с РУ, имея в обобщенной матрице коэффициентов
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.