М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2013
УДК 532.516
© 2013 г. В. В. КОЛЕСОВ, М. Н. РОМАНОВ
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ХАОСА В ПРОБЛЕМЕ КУЭТТА-ТЕЙЛОРА ДЛЯ ПРОНИЦАЕМЫХ ЦИЛИНДРОВ
Методами теории бифуркаций коразмерности два с применением компьютерных вычислений исследованы стационарные, периодические и квазипериодические течения с двумя и тремя независимыми частотами, а также хаотические режимы движения жидкости между двумя бесконечными вращающимися проницаемыми концентрическими цилиндрами вблизи пересечения бифуркаций возникновения вторичного стационарного течения и автоколебаний с азимутальными волнами.
Ключевые слова: проницаемые цилиндры, вторичное стационарное течение, азимутальные волны, устойчивость, бифуркации, амплитудная система, хаотические режимы.
Экспериментальные исследования [1—3] показывают, что с ростом числа Рейнольд-са основное стационарное вращательно-симметричное течение жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами сменяется вторичным стационарным течением или автоколебательным режимом с бегущими в азимутальном направлении волнами. Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса приводит к усложнению структуры движений жидкости и возникновению различных сложных режимов, а затем к турбулентности.
Расчеты нейтральных кривых позволили обнаружить, что при определенных значениях параметров кривые, соответствующие монотонной вращательно-симметричной и колебательной трехмерной неустойчивости, пересекаются [4—8].
В середине 80-х годов XX в. В.И. Юдовичем в России, а также Ж. Йоссом и П. Шос-са во Франции была развита теория бифуркаций коразмерности два гидродинамических течений с цилиндрическими симметриями. Это позволило исследовать различные режимы движения жидкости, существующие вблизи точки пересечения бифуркаций возникновения вторичного стационарного течения и азимутальных волн для случая непроницаемых цилиндров [9, 10]. В данной работе эта теория применяется для расчета сложных движений жидкости в задаче Куэтта—Тейлора для проницаемых цилиндров.
1. Исходные уравнения и основной режим. Пусть вязкая однородная несжимаемая жидкость заполняет полость между двумя твердыми бесконечными проницаемыми концентрическими цилиндрами с радиусами Д и Во (В < В2), вращающимися с угловыми скоростями О! и О^- Предположим, что внешние массовые силы отсутствуют. За масштабы длины, скорости, времени примем соответственно В^, П^, 1/П^
В цилиндрических координатах г, ф, I (ось z направлена вдоль оси цилиндров) безразмерные уравнения Навье—Стокса и неразрывности имеют вид
Цт _ 2. дик г2 г2 дф
^ + (V, р+^ от г
(
+1 дП'
1
г дф X
\
Аи р+ —
г г дф
V У
(1.1)
м + (V^г = Г ди г,
от дг л
divV' = 0
А =
д2 +1 + х _д1 , д2
д г2 г дг г2 дф2 д г2;
V = IА _д_
дг'гдф'дг
Здесь V' = {и'г,оч, и г} — вектор скорости, П' — давление, ? — время, X = ОЯ /V — число Рейнольдса, V — коэффициент кинематической вязкости.
Предположим, что количество жидкости, втекающей через поверхность одного цилиндра, совпадает с количеством жидкости, вытекающей через поверхность другого цилиндра. Тогда краевые условия для системы (1.1) имеют вид
= X о,
и; = 1, и г = 0,
г = 1
(1.2)
и' = X о/Я, и; = ПЯ, и'г = о, г = Я
Здесь х0 = Я/^1Я1 — безразмерный коэффициент, характеризующий поток жидкости сквозь цилиндры, — размерный коэффициент, определяющий интенсивность поступления жидкости через поверхность одного цилиндра и вытекания ее через поверхность другого цилиндра, Я = Я2 /Я1, О = О2/П1.
Задача (1.1)—(1.2) обладает группой симметрий О — она инвариантна (сохраняет
свой вид) относительно вращений около оси цилиндров на произвольный угол 8,
сдвигов ь\ вдоль этой оси на произвольное расстояние к и преобразования инверсии /, действующих на поле скоростей по правилам
(Х®т г, ф, г) = Г(1, г ,ф + 5, г)
(Ь\ У')(г, г, ф, г) = Г(и г, ф, г + к)
(1.3)
(ТУ') (?, г, ф, г) = {и'(?, г, ф, -г), г, ф, -г), г, ф, -г)}
для любых вещественных 8 и к.
Задача (1.1)—(1.2) допускает точное решение [4, 5], представляющее собой основное стационарное вращательно-симметричное течение с ненулевой радиальной компонентой вектора скорости
Уо = {иог ,Ц)Г0}, П о = |
V 2 л Цор + Хо
V 5 *
ds + СОШ^ и0г =
Хо
х+1 , Ь ^ 0 а11п г + 1
г г
X = -2
(1.4)
Р Я2 -1
Ях+2 - 1'
= 1 - а,
Р Я2 - 1 X
а1 = 1 В ' X о =7 1п Я А
Здесь х = Я/V — радиальное число Рейнольдса. При х > 0 радиальный поток жидкости направлен от внутреннего цилиндра к внешнему, а при х < 0 — наоборот.
Фиг. 1. Линии тока основного стационарного течения при В = 2, А = 10: а — П = 0, х = 0, б — П = 0, х = о.5, в - П = -0.5, х = о. 5
В случае отсутствия радиального потока жидкости (х = 0) частицы жидкости двигаются по концентрическим окружностям в плоскости, перпендикулярной оси цилиндров. Их центры лежат на оси цилиндров. Это — круговое течение Куэтта (фиг. 1, а).
Наличие даже небольшого радиального потока жидкости (%ф 0) приводит к ненулевой радиальной компоненте вектора скорости, поэтому частицы жидкости перемещаются не только в азимутальном, но и в радиальном направлении.
Когда внешний цилиндр покоится (О = 0) либо цилиндры вращаются в одну сторону (О > 0), а радиальный поток жидкости направлен от внутреннего цилиндра к внешнему (х > 0), частицы жидкости двигаются по спиралям, вращаясь в ту же сторону, что и цилиндры (фиг. 1, б). Повышение интенсивности радиального потока (увеличение X) ведет к уменьшению числа витков и более раннему выносу частицы через поверхность внешнего цилиндра.
Увеличение положительного значения отношения угловых скоростей вращения цилиндров О приводит к росту количества оборотов, которые совершает частица вокруг оси цилиндров, прежде чем будет отведена сквозь стенку внешнего цилиндра.
При вращении цилиндров в противоположных направлениях (О < 0) траектории движения частиц жидкости усложняются. Частица, поступив через поверхность внутреннего цилиндра, совершает вращения вокруг него, постепенно удаляясь в радиальном направлении и замедляя свое движение в азимутальном направлении. Далее, продолжая радиальное перемещение, частица изменяет азимутальное направление движение на противоположное, теперь уже совпадающее с направлением вращения внешнего цилиндра. Достигнув его поверхности, она отводится через нее из полости между цилиндрами (фиг. 1, в).
Рост модуля отрицательно значения О приводит к тому, что место смены направления вращения частицы смещается к внутреннему цилиндру.
Аналогичным образом ведут себя частицы жидкости и в случае отрицательных значений радиального числа Рейнольдса (х < 0), но направление движения частиц в радиальном направлении изменяется на противоположное.
2. Постановка задачи. Наложим на основной режим (1.4) возмущения скорости V и давления П, т.е. ищем решение задачи (1.1), (1.2) в виде
V' = У0 + V, п' = П 0 +ПД
Подставляя (2.1) в (1.1)—(1.2), получаем нелинейную задачу для возмущений
(2.1)
г, uruv 1 дП 1 in 2 диг ,
+iï4N + U21- divV =0 (22)
ur = = uz = 0, r = 1, Л
1 + ^ + (V, V), D2 = A-X^--1
dt 5ф r dr r
иоФ d , 1\
Ю = —, g = -| — + ) и0ф r \dr r!
Компоненты поля скорости и давление считаем периодическими по ф и z с известными периодами соответственно 2п/т и 2п/а, где m, а — азимутальное и аксиальное волновые числа.
Таким образом, нелинейная задача для возмущений (2.2) зависит от шести безразмерных параметров: отношения радиусов цилиндров R, отношения угловых скоростей вращения цилиндров Q, числа Рейнольдса X, радиального числа Рейнольдса %, азимутального и аксиального волновых чисел m и а.
Для любых V = {ur, vv, и U = {ur, uv, uz} определим дифференциальные выражения
MV = {д Ur-XdU + (х- ^ - 2. дф, r dr r 2 r д ф
Xdv- / 2 dur . xdvz
-—- - (X + 1)-r + -r—~z —2 r dr r r 5ф r dr
Ш = + {-2&v(?,-gvr, 0} (2.3)
Щ, и) = \ (V, \)иг - , (V, У)и„ + , (V, У)щ { г г
1и) = Щ, и) + ки, V)
Тогда нелинейная задача для возмущений примет вид
^ = 1 мv - т - -уп - щ, V)
д1 X X (2.4)
divV = 0, иг = и<р = = 0, г = 1, В
Выполненные в [6—8] вычисления показали, что с ростом числа Рейнольдса течение (1.4) теряет устойчивость двумя способами. В результате монотонной вращатель-но-симметричной неустойчивости возникает вторичный стационарный режим (расчет путем прямого численного интегрирования задачи (2.2) выполнен в [11]). Колебательная трехмерная неустойчивость порождает автоколебательный режим с бегущими в азимутальном направлении волнами. Нейтральные кривые, соответствующие этим двум типам потери устойчивости, при определенных значениях параметров задачи пересекаются. Оказывается, что вблизи таких точек монотонные и трехмерные возмущения сильно взаимодействуют. Такое взаимодействие приводит к возникновению
большого количества разнообразных режимов движения жидкости. Для отыскания таких режимов в данной работе применяется методика изучения кратных бифуркаций [9], использованная для поиска аналогичных режимов в изотермической проблеме Куэтта—Тейлора для непроницаемых цилиндров.
Цель данной работы — отыскание вторичных течений, в том числе хаотических, возникающих в малой окрестности точки пересечения нейтральных кривых монотонной и колебательной потери устойчивости основного режима, а также исследование устойчивости и бифуркаций найденных течений с учетом наличия радиального потока.
3. Амплитудная система. Пусть (Р *, X *) — точка на плоскости параметров (О, X), отвечающая пересечению нейтральных кривых монотонной вращательно-симметричной и колебательной трехмерной потери устойчивости течения (1.4). Предположим, что X близко к X*, а Р — к Р*, так что 81 = X - X* и 82 = Р - Р* — малые параметры одного порядка.
Следуя [9], решение нелинейной задачи для возмущений (2.4) ищем в виде линейной комбинации независимых собственных решений линеаризованной задачи устойчивости
V = #](Ф + Ф*), П = Щ(Р + р*) (3.1)
Ф = по©Фо(г, г) + егс*?[п1©Ф1(г, ф, г) + П2©Ф2(г, Ф, г)] +...
Р = По©Ро(г, г) + е'с*'[п1©Р1(г, ф, г) + П2©Р2(г, ф, г)] +...
Здесь п0, Пъ П2 — неизвестные комплексные амплитуды — функции "медленного" времени Е, = 181|с* — неизвестная циклическая частота (фазовая скорость азимутальных волн), найденная при X = X * и Р = Р *; Ф0, р0 — собственное
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.