ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2015
УДК 531.3, 533.6, 534.1
© 2015 г. Балакшин О.Б., Кухаренко Б.Г.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ФЛАТТЕРА ЛОПАТОК РОТОРА АКСИАЛЬНОГО ТУРБОКОМПРЕССОРА
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва
Исследуются условия возбуждения изгибного флаттера лопаток и пульсации давления сжимаемого потока воздуха после резонанса лопаток на крутильной частоте. Две подсистемы аксиального турбокомпрессора, участвующие во флаттере: лопатки ступени ротора и сжимаемый воздушный поток имеют различные динамические характеристики. Неустойчивые процессы в них развиваются со сдвигом времени. Для аксиального турбокомпрессора это выражается опережающим ростом энергии колебаний отдельных лопаток ротора и энергии мод пульсаций давления потока относительно энергии колебаний других лопаток ротора и означает кратковременное запаздывание синхронизации колебаний лопаток при изгибном флаттере. Выравнивание времени и масштабирование записей колебаний лопаток и пульсаций давления потока обнаруживает, что источником возбуждения изгибного флаттера лопаток являются пульсации давления воздушного потока.
Экспериментальные исследования показывают, что неустойчивость колебаний лопаток ступени ротора турбокомпрессора связана со сжатием потока, возникновением пульсаций его давления и, как результат, возрастанием аэроупругости потока между лопатками этой ступени ротора [1]. В настоящей статье на основе экспериментальных данных отдела динамической прочности ЦИАМ им. П.И. Баранова изучается возникновение и развитие флаттера в аксиальном турбокомпрессоре и синхронизация колебаний лопаток ротора. Флаттеру, как правило, предшествует резонанс на одной из собственных частот лопаток, вызываемый гармоникой частоты вращения ротора [2]. С ростом частоты вращения ротора процесс развития резонанса прерывается в результате наступления флаттера. Ротор обладает круговой симметрией, что определяет вид синхронных колебаний лопаток при флаттере. При изгибном флаттере соседние лопатки ротора колеблются с изгибной частотой fB и постоянным сдвигом фаз. Пусть вектор u(i) = [u:(i), ..., uNj (?)] представляет степени свободы лопаток ротора, Nb — число лопаток в ступени ротора турбокомпрессора. Периодическое колебание лопатки на изгибной частоте fB представляется декомпозицией на круговые моды
N -1
0 = X Vm exp (J( + (i - 1 )a m)), (1)
m
-Nh + 1
где
N, m = 0, 1.....(Nh - 1), (2)
Порядок m определяет число узлов круговой моды синхронных колебаний лопаток ротора (число ее узловых диаметров). В диапазоне сдвигов фаз am(2) от 0 до 180°, т.е. при наиболее значимом числе диаметров m = 1, 2, 3, фактор демпфирования (логарифмический декремент с обратным знаком) 8B на изгибной частоте fB положительный и круговые моды синхронных колебаний лопаток неустойчивы. С ростом частоты fR вращения ротора растет давление в компрессоре. Изгибный флаттер возникает, когда соседние лопатки ступени ротора начинают чувствовать колебания друг друга через сжатый поток, что приводит к неустойчивости с положительным фактором демпфирования 8B.
Временная зависимость частоты вращения ротора типа блиск (блиск от английского сокращения blisk — (integrally) bladed disk design) исследуемого аксиального турбокомпрессора приведена в [3]. В блиске колебания лопаток слабо структурно и конструкционно демпфированы по сравнению с диском со вставленными лопатками (имеющими естественную диссипацию в замке), и слабое демпфирование облегчает возникновение флаттера. В [3] приведены тензометрические записи колебаний лопаток 3, 5 и 14, выполненные в пучности изгибной моды с частотой fB « 81 Гц (частота дискретизации «20 кГц). В диапазоне времени t = 4, ..., 20 с первоначально возбуждаются крутильные моды лопаток с частотой fT « 178 Гц, близкой в этом диапазоне времени гармонике 3fR частоты вращения ротора, передаваемой лопаткам аэродинамическими следами в воздушном потоке. При увеличении частоты вращения ротора происходит уход из резонанса на частоте fT крутильной моды лопаток и наступает флаттер на более низкой частоте fB « 81 Гц изгибной моды лопаток. В [3] показан процесс синхронизации изгибных колебаний лопаток 3, 5 и 14 первой ступени ротора при флаттере. Спектральные параметры записей колебаний определяются по методу Прони. Оценка временной зависимости спектров факторов демпфирования и частот и соответствующих им спектров амплитуд осуществляется по записи колебаний в результате последовательных нецелых сдвигов временного окна фиксированной длины L = 2000 (временная длительность окна «0,1 с).
Для каждой из записей (временных рядов) uf, i = 1, 3 неустойчивых колебаний лопаток 3, 5 и 14, представленных в [3], с использованием оконной функции Хана можно вычислить кратковременную энергию
k - 1
et [ k] = £ (w [ k-j] u j])2, k = 17N, i = Ц, (4)
j = k - n - 1
где оконная функция Хана j1)
w [j] = (1 - (cos (^-^JJ J, j = 1,(Z + 1). (5)
Для наглядности кратковременная энергия (4) часто нормируется на параметр Ь длины окна (5) [4]. Для целей настоящего исследования специальный интерес представляют временные зависимости энергии колебаний лопаток на частоте флаттера /в « 81 Гц. Линейная фильтрация представленных в [3] записей колебаний лопаток 3, 5 и 14 на изгибной частоте/в « 81 Гц показывает, что после ? « 23 с в фильтрованных записях доминирует частота/в. На рис. 1 представлены временные зависимости энергии колебаний 3-й, 5-й и 14-й лопаток на изгибной частоте/в « 81 Гц для длины окна Ь = 2 ■ 322 (5), соответствующей временной длительности «0,1 с. Для оценки канонической (универсальной) временной зависимости энергии синхронных колебаний лопаток, кратковременные энергии колебаний отдельных лопаток (рис. 1) должны быть
e
15
10
5
0
0
20 30 40 50 t, c 60
20 30 40 50 t, c 60
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 1. Энергии колебаний лопаток на частоте fB : 1 — 3-й; 2 — 5-й; 3 — 14-й Рис. 2. Каноническая временная зависимость энергии колебаний лопаток (рис. 1).
выровнены во времени и масштабированы. Это обеспечивается обучением модели непрерывного профиля (Continuous Profile Model — СРМ) [5].
Пусть имеются К (наблюдаемых) временных рядов кратковременной энергии (4) e,. = еДк], к = .
Каноническое представление для набора наблюдаемых асинхронных временных рядов с Гауссовым шумом в виде скрытой записи
предполагает, что каждый наблюдаемый временной ряд е. моделируется как неоднородная выборка элементов скрытой записи z (6), к которым применены преобразования выравнивания времени и масштаба. Если М §> Ж, то любой элемент наблюдаемого временного ряда е. отображается в элемент скрытой записи z (6). Генерация наблюдаемого временного ряда на основе скрытой записи определяется соответствующей ему последовательностью скрытых состояний СРМ-модели. Скрытое состояние представляет собой пару состояние времени/состояние масштаба
Состояния времени тДк], к = 1, N принадлежат последовательности натуральных чисел 1, М, представляющих скрытое время, которое индексирует скрытую запись. Состояния масштаба %[к], к = 1, N принадлежат упорядоченному набору 1, 0. В Марковской модели [6] распределение вероятности эмиссии элементов наблюдаемого временного ряда e¡ = еДк], к = 1, N, производимых последовательностью скрытых состояний уДк], к = 1, N (7) на основе скрытой записи z = г[к], к = 1, М (6), имеет вид
z = г[к], к = 1, M
(6)
к ] = {тД к ],х[ к ]}, к = 1, N.
(7)
p(e,[к] |z, к], u, а,) = N(e,[к] |и,г[тДк]]Х[к], а,),
(8)
где
N(^1, ст) =
: ехр
пст
( ( л2
О - г )
. 2 ст2
— Гауссово нормальное распределение; ст(- — вариация шума в наблюдаемом временном ряду; и, — глобальный параметр масштаба для наблюдаемого временного ряда, который корректирует (глобальную) разницу масштаба временного ряда е1 и скрытой записи г (6).
Вероятности переходов между состояниями времени и вероятности переходов между состояниями масштаба определяются отдельно. Поэтому в Марковской модели [6] совместная вероятность переходов между скрытыми состояниями факторизуется следующим образом:
ТлМ^д 1] -Р(уДк]|уД/]) = Р(т,[к]|тД1])р(х[к]|Х[/]).
(9)
Состояния скрытого времени всегда продвигаются вперед, но не могут перескакивать больше, чем на / последовательных значений скрытого времени, индексирующего скрытую запись. Кроме этого, разрешаются переходы только между соседними состояниями масштаба. С учетом факторизации (9) число возможных скрытых состояний, из которых могут быть совершены переходы в текущее скрытое состояние, оказывается равным 3/. Поэтому матрица переходов Тф [к] ф ^] (9) сильно разрежена. Каждый
наблюдаемый временной ряд имеет собственное (мультиномиальное) распределение вероятности переходов между последовательными состояниями скрытого времени
Р(тдк] = а|тдк - 1 ] = Ь) =
9Д1 ], если а - Ь = 1, 9Д2], если а - Ь = 2,
9ДI], если а - Ь = I, 0 в противном случае
(10)
и последовательными состояниями скрытого масштаба
Р(Х[к] |%[к - 1 ]) =
1 ], если d(а, Ь) = -1, 2], если d(а, Ь) = 0, 1 ], если d(а, Ь) = 1, 0 а противном случае,
(11)
где й(а, Ь) = —1 означает, что а на одно состояние меньше, чем Ь, й(а, Ь) = 0 означает, что а = Ь и й(а, Ь) = 1 означает, что а на одно состояние больше Ь.
Распределение Дирихле гарантирует не нулевые вероятностей переходов (10) и (11) между скрытыми состояниями
р( е,) = о( е,|Л) х П (0,[/ ]) -1, р( 5) = о (|у) х П (])
V/ -1
(12)
/ = 1
/ = 1
2
2
Гладкость оцениваемой скрытой записи (6) обеспечивается штрафной функцией
/ M - 1 N
p(z) = exp U ^ (z[k + 1 ] - z[k])21, (13)
1 k = 1 J к
где U = 1 • У (u[i])2 — средний глобальный масштаб по всем наблюдаемым времен-K
i= 1
ным рядам.
Соответствие масштаба скрытой записи масштабу наблюдаемых временных рядов обеспечивается использованием логарифмически нормального распределения для
глобальных масштабов u, i = 1, K
p(log(Ui)) = N(log(Ui)|0, w), i= (14)
Временные ряды энергии (рис. 1) выравниваются во времени и масштабируются, используя СРМ-модель. Длина канонической временной зависимости (рис. 2) энергии колебаний (скрытой записи (6)) M = 2(1 + s)N, s = 0,05, где N = 3 ■ 107 длина временных рядов энерг
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.