Возникновение конвекции в слое снега, нагреваемого радиационным потоком
П.В. Богородский, А.В. Пнюшков
Арктический и Антарктический научно-исследовательский институт, Санкт-Петербург
Исследована задача устойчивости жидкости, насыщающей стратифицированный пористый слой, рассмотрены различные варианты динамических и тепловых граничных условий, проведено параметрическое исследование задачи в зависимости от теплофизических, геометрических и оптических свойств среды.
Введение
Снег представляет собой пористую среду, состоящую из ледяного скелета и наполненных воздухом пор [8]. При нагревании такой среды, обусловленным разными причинами, в ней возможно конвективное движение воздуха (конвективная фильтрация). Устойчивость равновесия воздуха в однородном слое снега в приближении Дарси-Буссинес-ка рассматривалась в [4, 5]. С использованием интегрального метода Галеркина авторы указанных работ получили значения критических чисел Рэлея для различных типов граничных условий, а также вывели уравнения, определяющие плотность потока тепла в снеге. Возникновение конвекции в пористой системе из двух слоев с одинаковыми теплофи-зическими параметрами, но разными толщиной и проницаемостью, исследовано в [6]. В настоящей работе в аналогичной постановке рассмотрено влияние неоднородности снежного покрова, а также радиационного нагрева на конвективную устойчивость воздуха. Сформулирована общая методика приближенного решения задачи устойчивости для многослойной системы, в которой учтено различие теплофизических свойств слоев. Для двухслойного снежного покрова показана возможность существования нерэлеевского типа неустойчивости и определены отвечающие ей параметры.
Формулировка задачи
Пусть горизонтальный слой снега, ограниченный плоскостями z=0 и £=И, лежит на подогреваемом снизу теплопроводном массиве. Рассмотрим слой морского льда. Обозначим отношение толщины снега к общей толщине системы к, тогда толщина ледяного массива Н(1— к)/к. Слой снега имеет проницаемость К и заполнен воздухом плотностью р и вязкостью V. Теплофизические параметры воздуха, снега и льда (индексы «/» , «т» и «5», соответственно), считаем постоянными. Предполагаем также, что изменение проницаемости поперек слоя снега подчиняется экспоненциальной зависимости К=К0е^-Н), где К0 — максимальная пористость при z=0.
Если снег насыщен воздухом, то плотность потока тепла с учетом процессов конденсации и испарения пара может быть представлена в виде [5]:
где и=(йх,йу,й!) — скорость фильтрации, Т — температура, (рСр)у — теплоемкость единицы объема воздуха, Хт*=Хт+1прч/рщТ/Я№&02, Хт — коэффициент
теплопроводности снега, р
WQ
насыщающая плот-
ность пара при 0°С, Я№ — газовая постоянная водяного пара, ©о=273К, Ьт — удельная теплота испарения снега, Б^ — коэффициент диффузии водяного пара в воздухе. Для исследования устойчивости механического равновесия введем малые возмущения. Из уравнений конвекции в пористой среде в приближении Дарси-Буссинеска путем линеаризации вблизи состояния равновесия получаем уравнения [2]:
-—Ур-—и - g&T 1 = 0 , Po K
(2а)
dL+x*mV2T+AQ(u ■ 1) = 0 , Уи = 0 , (2б,в) (pcp)f dt
dTs /at+xsv2L = o ,
(2г)
q=-K*VT+[(p€p)f+Lm2PWo/Rw&o2] Tu ,
(1)
где А — равновесный температурный градиент, Хт =Хт /(рСр)у — эффективный коэффициент температуропроводности, 0=1+1т2р„0/Я„&о2(рср)/, 1 — единичный вектор, направленный по вертикали вверх. В качестве уравнения состояния воздуха используется р=ро(1—РТ), где в — коэффициент теплового расширения.
На границе раздела снег-лед принимаются следующие условия: непроницаемость границы, непрерывность температуры и теплового потока. На нижней границе слоя льда температура фиксирована и равна температуре замерзания воды. Верхняя граница снега может быть как проницаемой (вариант динамических граничных условий «а»), так и непроницаемой для воздуха (вариант граничных условий «б»; физически это означает существование корки льда на поверхности снега). Температурным граничным условием в этом случае служит пропорциональность плотности теплового потока возмущению температуры.
Введем нормальные возмущения, зависящие от времени и горизонтальных координат по экспоненциальному закону. После подстановки в систему (2)—(3), исключения давления и горизонтальных составляющих скорости получим уравнения для нейтральных амплитуд возмущений вертикальной компоненты скорости и^) и температуры 9^) и (принцип монотонности доказывается обычным образом [2])
115 -
-э-
Материалы гляциологических исследований, вып. 102
u"eG(1-z)—(k2—G2eG(1-z))u=-k2R 9 , 9 "—k29=-u, 9„"—k29 =0 .
(3а,б,в)
Граничные условия имеют вид u=0, 9=9s, X9's=9' (при z=0), 9s=0 (при z=l—l/A),,
9'+Ь9=0, u'=0 или u=0 (при z=1) .
(4)
R =
ek [4G(2G3 + G 2k + k2 п2) + eG (2 - п2)]
4Gk 2(п2 + 4k 2)(G2 + n2)[-2kC1 + ek (1 + С2(п + 2ekk) + nC1)]
для варианта граничных условии «а» и
R =
ek (п2 + к2)[Gk2 (G2 + 4п2) + 4п2 (eG -1)(1 - G2)] Gk 2(G2 + 4п2){2пС1 + ek [1 + 2п(С1 + C2(1 + ek))]}
Амплитудная задача (3)—(4) записана в безразмерном виде на основе единиц расстояния Н, скорости Хт/ ОН, давления и температуры АН и содержит следующие безразмерные параметры: волновое число к, геометрический параметр к, фильтрационное число Рэлея R=gвKoQAД 2/%т^, коэффициент теплоотдачи (число Био) ¿=(pc)yHVQ/%m*(pc)m, где V — скорость ветра [4], параметр вертикальной неоднородности О=уН и отношение теплопроводнос-тей Х=Х5Дт*. Переход к однородной среде достигается, очевидно, при 0^0.
Непрерывная стратификация
Для нахождения приближенного решения скорость в пористом слое аппроксимируется функцией и=$т(гсг/2) для варианта граничных условий «а» и и=Б1п(п2) для варианта «б». Критическое число Рэлея найдем обычным путем, составив интегральное условие Галеркина [2] для уравнения (3а). После вычислений получим
(5)
для варианта «б». Здесь С! и С2 — постоянные интегрирования (не приводятся в силу громоздкости); ^=1—1/к, где ^ — толщина нижележащего массива.
Характер зависимости критических чисел К от параметров О и к для вариантов «а» и «б» при значениях Х=10, типичных для системы «лед-снег» [8], изо-
Рис. 1. Зависимость критического числа R от G и k для проницаемой (а) и непроницаемой (б) верхней границы Fig. 1. Critical Rayleigh number as a function of G and k for penetrable (a) and non-penetrable (б) upper boundary
бражены на рис. 1. В обоих случаях числа R почти не зависят от толщины нижележащего массива Z; такая зависимость проявляется лишь для длинноволновых возмущении k<<1 (длина волны возмущения намного больше толщины слоя). Критические числа R для коротковолновых возмущении (k>1) перестают зависеть от характера граничных условий и поэтому нейтральные кривые при k^^ сближаются. Повышение R при переходе к варианту «б» связано со стабилизирующим действием вязких сил. Основной параметр, влияющий на величину R, — число Био. Предельные случаи Ь^0 и Ь^^ отвечают теплоизолированной (Г'=0) или изотермической (T=0) границе, соответственно; первому случаю соответствуют меньшие значения числа Рэлея. Расчеты показывают, что уже при Ь>3 верхнюю границу можно рассматривать как изотермическую. Переход между указанными предельными случаями по мере увеличения Ь характеризует табл. 1. Для варианта «б» при G^0 с ростом Ь значение R стремится к известной величине 4п2. С переходом к такой границе критические волновые числа k смещаются в коротковолновую часть спектра.
Слоистая стратификация. Длинноволновые
возмущения
Пусть теперь вертикальная неоднородность в слое отсутствует, но снежный покров состоит из однородных горизонтальных слоев; ось Z направлена по вертикали вверх и координата z отсчитывается от нижней границы системы. Используем принятые вы-
Таблица 1
Критические значения К и к для различных параметров стратификации О для двух типов динамических граничных условий
0,01 9,8841 1,57195 28,0217 2,34676 28,8216 2,26376 39,5771 3,14552
0,05 9,93859 1,57627 28,3813 2,35961 28,9249 2,27008 39,9723 3,16112
0,1 9,9986 1,581 28,8317 2,37553 29,0386 2,27701 40,4667 3,18043
0,4 10,1484 1,59268 31,5386 2,46755 29,322 2,29414 44,3994 3,32622
0,5 10,1069 1,58946 32,4332 2,49669 29,2435 2,28941 46,7642 3,40793
1 8,95126 1,49406 36,6447 2,62655 27,035 2,14979 48,9577 3,48024
1,5 4,70192 0,968865 39,7576 2,71582 21,9417 1,38795 52,3036 3,5848
- 116 -
-е-
ше обозначения и отнесем индексы 1,2,...,п к слоям, начиная с нижнего. Полная толщина системы (толщина п слоев) Н; через ку обозначим отношение толщины у слоев (1<у < п) к Н. Из непрерывности вертикального потока тепла следует связь между равновесными градиентами температуры в слоях ХтуАу=Хту +А+1. Обе внешние границы предполагаются теплоизолированными, нижняя граница системы непроницаема для воздуха. Кроме того, предполагаем, что отношения параметров граничащих слоев постоянны и равны: К=Ку/Ку+1, Х=Хгпу /Хгпу +1. Безразмерные переменные выбираются на основе единиц расстояния Н, скорости хт1*/О1Н, давления р^х^/К и температуры А1Н. На внешних границах системы ставятся условия равенства давления или прилипания и отсутствия возмущения теплового потока, на внутренних — непрерывности нормальных компонент скорости, давления, температуры и теплового потока.
Запишем амплитудную задачу для нейтральных монотонных возмущений (нижележащий массив, вследствие малого влияния, не рассматривается)
ы]"-к2ы]+а]к2Яеу=0, е/'-^2 к2е/+и/ = 0, (6а,б)
а=К(1-у), Ьу=Х /-1),
Ы1=0, ех'=0 (при ^=0), е/=е/+1, (7)
^/=е/+1', Ы/=ы/+1, Ы/=Кы/+1, (при т=Щ
ып'=0 или ып=0, еп'=0 (при £=1).
Условие существования нетривиального решения задачи определяет критическое число Рэлея Я(К,Х,И), при котором теряется устойчивость равновесия; при подогреве снизу Я>0. Теперь оно определено через полную толщину системы и параметры нижнего слоя: Я =g РВДАН 2/%т1^.
Поскольку для системы с теплоизолированными границами критическое волновое число равно нулю, можно представить функции ы и е в виде разложений в ряды по степеням к2. Условие устойчивости у-слойной системы следует из решения составленных таким образом - уравнений для членов разложений второго порядка ы^1 и е^1) (подро
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.