научная статья по теме ВОЗНИКНОВЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ РЕЖИМОВ В ЗАДАЧЕ КУЭТТА-ТЕЙЛОРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ КОРАЗМЕРНОСТИ 2 Математика

Текст научной статьи на тему «ВОЗНИКНОВЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ РЕЖИМОВ В ЗАДАЧЕ КУЭТТА-ТЕЙЛОРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ КОРАЗМЕРНОСТИ 2»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 3, 2014

УДК 532.516

© 2014 г. С. Н. Овчинникова

ВОЗНИКНОВЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ РЕЖИМОВ В ЗАДАЧЕ КУЭТТА-ТЕЙЛОРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ КОРАЗМЕРНОСТИ 2

Рассматриваются бифуркации при обходе точки пересечения двух нейтральных кривых (точки бифуркации коразмерности 2) в задаче Куэтта— Тейлора о движении жидкости между вращающимися цилиндрами. Вторичные режимы в малой окрестности точки бифуркации коразмерности 2 изучаются с помощью системы нелинейных амплитудных уравнений на центральном многообразии. Анализируются стационарные решения амплитудных систем, которым соответствуют вторичные периодические режимы типа бегущих волн, нелинейные смеси бегущих волн, нестационарные двух-, трех- и четырехчастотные квазипериодические решения системы Навье—Стокса. Проведен численный анализ условий существования и устойчивости невращательно симметричных стационарных течений жидкости между вращающимися в одну сторону цилиндрами.

Большинство теоретических работ по рассматриваемой проблеме посвящено анализу первой потери устойчивости течением Куэтта, в результате которой появляются стационарные (вихри Тейлора) или колебательные (волнистые вихри) режимы течения. В некоторых экспериментах [1—3] подход к границе первой потери устойчивости иногда осуществлялся сверху (угловые скорости вращения цилиндров уменьшались), тогда в зависимости от условий эксперимента наблюдались движения с разным числом ячеек Тейлора и азимутальных волн. Анализ [4—6] показал, что это явление может быть объяснено поведением решений нелинейной системы уравнений движения в окрестности пересечений нейтральных кривых для задачи, линеаризованной на течении Куэтта. Каждой такой точке отвечает несколько независимых нейтральных мод, взаимодействие которых описывается нелинейной системой амплитудных уравнений на центральном многообразии. Исследование амплитудных систем позволяет анализировать появление вторичных, третичных и следующих за ними течений жидкости между вращающимися цилиндрами. Существуют соотношения между параметрами задачи в точках пересечения двух нейтральных кривых, которым соответствуют семь типов амплитудных систем, различающихся дополнительными резонансными слагаемыми [7]. При вращении цилиндров в противоположные стороны построены и изучены [4—6] амплитудные системы для точек бифуркации коразмерности 2 с одинаковыми осевыми числами (резонанс Res 1).

Ниже для случая сонаправленного вращения цилиндров проведен анализ условий существования и устойчивости невращательно симметричных течений жидкости в малой окрестности разных точек Res 1, приведенных ранее [8].

1. Постановка задачи. Течения вязкой несжимаемой жидкости в зазоре между двумя бесконечными соосными твердыми цилиндрами радиусов r1 и r2, вращающимися с угловыми скоростями Q1 и Q2 соответственно, описываются системой безразмерных уравнений Навье—Стокса (УНС)

-д. + Ау = vр + R1L(v, V), V-V = 0 (1.1)

Здесь и далее используются следующие обозначения: V = (иг ,и0,иг) — скорость течения, p — давление, г, 0, г — цилиндрические координаты, ось г направлена вдоль оси

цилиндров, К1 = ^1г12(п - 1)2/V и К2 = ^2г22(п - 1)2/V — числа Рейнольдса (далее также используется параметр ^ = = К2/(Я1п )), V — кинематический коэффициент

вязкости, п = г2 /г1 — отношение радиусов цилиндров. Дифференциальные операторы A, Ь и V задаются выражениями

(Ау)г =Аиг - ^ - Л^, (Ау)0 =Аи0 - ^ + -2^, (Ау)г = Д„

г2 г2 ае н г2 г2 дв г г

,г, чч 5мг иа диг диг иаЫп (Ь(у,и))г = иг —- + ——г + иг —- -

дг г д9 дг г

чч ди0 и0 ди0 ди0 Оаиг (Ь(у, и))0 = иг —0 + ——0 + иг —0 + -а-г-дг г д9 дг г

<т< чч ди и0 д^ д^

(Ь(У и))г = иг + + О;—!

дг г 59 дг

К = +1А +У = Г 11. г15_1

дг2 г дг г2 592 дг2' V г д г 'г 59' дг На поверхностях цилиндров выполняются условия прилипания

иг = иг = 0, ие = 1/(П - 1) , г = 1/(П - 1) иг = о7 = 0, ие = Пп/(п -1), г = п/(п -1)

(1.2)

При всех значениях параметров п, Д, К и а существует точное стационарное вра-щательно симметричное решение задачи (1.1), (1.2) (течение Куэтта) с вектором скорости

«г + ь,о), « = «3^, ь = - 1)112 2

г ! п2 -1 (П - 1)(П-1)2

Система (1.1) и ее линеаризация на течении Куэтта

-— + (А - К1К)и = УV- и = 0; Ки = Ди, V00) + Ду00,и)

дг

(1.3)

и = 0 при г = 1/(п- 1), г = п/(П- 1) где и и q — возмущения скорости и давления, обладают группой симметрии О = ¿0(2) х 0(2),

так как инвариантны относительно вращений вокруг и сдвигов вдоль оси цилиндров и преобразования инверсии, которые действуют по правилам

(Х0и) (г, г, 9, г) = и(г, г, 9 + 8, г), (х£и) (г, г, 9, г) = и(г, г, 9, г + И) (/и) (г, г, 9, г) = (иг (г, г, 9, -г), и0(г, г, 9, -г), -иг (г, г, 9, -г))

В силу этой симметрии существуют решения задачи (1.1), (1.2) с 2п-периодичными по 0 и (2п/а)-периодичными по z скоростью и давлением (а — заданное осевое волновое число).

Ненулевые решения линейной задачи (1.3) (нейтральные моды), разыскиваются в виде

(u, q) = exp(i(rnt - m9 - kaz)) (<Pom(r), Pom(r)) (1-4)

где ю — вещественная частота, m — азимутальное, k — осевое квантовые (целые) числа.

2. Точки бифуркации коразмерности 2. Критические значения параметров а, n, R\, R2, при которых существуют нейтральные моды, вычисляются с помощью задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получающейся после подстановки выражения (1.4) в систему (1.3). При фиксированных значениях а, п и 0 < R/R < 1 эта спектральная задача имеет строго упорядоченную по возрастанию последовательность

простых собственных значений — критических чисел Рейнольдса R1(*,) (p = 1,2,...). Имеется доказательство этого факта для О > 0 и вращательно симметричных мод (m = 0, ram = 0) [9]. Существование такой же последовательности для несимметричных мод (m ^ 0) при вращении цилиндров в любом направлении показано численно [8]. Однако при некоторых значениях m и Q вблизи границы R/R = 1 нарушается строгая

упорядоченность чисел R^.

Если зафиксировать два из трех значений а, n, R2, то в четырехмерном пространстве параметров (а, n, R1, R2) для любых квантовых чисел m и k существуют нейтральные

кривые R1 = Rp^a, n, m, k, R2), каждой точке которых соответствуют нейтральные моды с вещественной частотой ram. Эти кривые, отвечающие двум парам квантовых чисел (m, k) и (n, l), пересекаются в точке (Д*, R2*), где имеются несколько независимых нейтральных мод линеаризованной системы (1.3). Когда параметры системы изменяются в малой окрестности такой точки бифуркации коразмерности 2, становится возможным сильное взаимодействие всех этих (точнее, слегка измененных) мод, описываемое нелинейной системой амплитудных уравнений (САУ) на центральном многообразии. При некоторых соотношениях между параметрами у САУ, кроме обязательных резонансных, появляются дополнительные слагаемые [7].

Далее рассматриваются САУ для точек резонанса Res 1, когда равны осевые квантовые числа (будем считать k= l = 1). Несколько САУ с азимутальными числами m и n = m + 1 были численно изучены [5, 6] для точек Res 1 при вращении цилиндров с малым зазором в противоположные стороны (Q < 0). Такие точки находятся вблизи кривой первой потери устойчивости течения Куэтта. Первой потере устойчивости соответствуют значения чисел

R*(a m*, n, m, R2) = min R*1)(a, n, m, R2)

а

При вращении цилиндров в одну сторону (Q > 0) наименьшим критическим числам Рейнольдса всегда отвечают вращательно симметричные возмущения (m = 0), кривая первой потери устойчивости не пересекается ни одной другой нейтральной кривой. Пересекаются нейтральные кривые R1 = Rp'^a, n, m, R2) и R1 = RiP2)(a, n, n, R2) при m ф n.

Вблизи границы R2 /Rx = 1 появляются также пересечения таких кривых с одинаковыми квантовыми числами m = n и частотами ram ^ юп [8]. В их малой окрестности найдены условия существования и устойчивости резонансных режимов, похожих на течения, наблюдаемые в экспериментах [2].

3. Система амплитудных уравнений. В силу симметрии линеаризованная на течении Куэтта система УНС (1.3) в каждой точке (Д*, Д*) резонанса Кез 1 при фиксированных т ф 0, п ф 0, а и п имеет четыре (комплексные) независимые нейтральные моды

(Ф1, Фз) = е^ (Ф 0т (г, е, г), Ф1т(г, 9, г)) (Ф2, Ф4) = е1ап (Ф 0п(г, е, г), Ф1п(г, е, г)) Ф к = е -(г0+(-1)Каг)Фкг (г), I = т, п, к = 0,1

Рассматривается малая окрестность точки пересечения (Д*, Д*), состоящая из точек К1 = Лр + к1е2, К2 = К2* + к2г2

где е — вещественный малый параметр. Фиксированным значениям параметров над-

2 2

критичности к\, к2 к + к2 = 1) соответствует луч на плоскости (Д,Д) с началом в точке (Д*, Д*).

Задача состоит в исследовании бифуркаций при обходе точки пересечения [10], т.е. при повороте вектора (къ к2). Асимптотическое решение нелинейной системы (1.1) в окрестности точки (Д*, Д*) разыскивается с вектором скорости

и = V 00 + Б(Ф + Ф*) = V 00 + 2е^(Ф) (3.1)

Здесь слагаемые степени 2 и выше по параметру е опущены, у00 — вектор скорости течения Куэтта при критических значениях чисел Рейнольдса, звездочка означает комплексное сопряжение, вектор-функция Ф является линейной комбинацией нейтральных мод:

Ф = ^ 0т(т)Ф + 5 0п(т)Ф2 + ^1т(т)Фз + ^(ТФ

с неизвестными комплексными амплитудами, зависящими от медленного времени т = е2?. САУ для амплитуд ^кт, Е, кп (к = 0,1) имеет вид [10]

^'хт = £ хт(о + А + В -х)т| + °Хп\ + С |^(1-х)п| ) + 6^(1 -х)т^хп^*1-х)п

^Хп = ^хп(ц + P хт| + ^ |^(1-х)т| + U хп| + ^ |^(1—Х)П| ) + F^хт^*1-х)т^(1 -Х)П (3.2)

х = 0,1, С = <5^1 + О 2k2, Ц = ЦЛ + ^2

Выражения для коэффициентов САУ (3.2) не приводятся ввиду их громоздкости (см. [10, 11]).

При всех значениях параметров САУ (3.2) имеет тривиальное решение, соответствующее течению Куэтта. Оно асимптотически устойчиво, если одновременно выполняются условия

О^ + <52^2 < 0, + ц2Д2 < 0

Здесь и далее нижний индекс г означает действительную часть, а I — мнимую часть комплексного числа.

На плоскости параметров надкритичности (k1, Ъ2) существуют области, где САУ помимо тривиального решения, имеет другие устойчивые или неустойчивые предельные решения. Некоторые из них находятся на инвариантных подпространствах пространства амплитуд

^ = 0m, ^1m, ^0n, ^1п) е С4

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»