ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 5, с. 758-764
УДК 536.24
ВЯЗКОСТНО-ТЕРМОГРАВИТАЦИОННАЯ КОНВЕКЦИЯ И ТЕПЛООБМЕН В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОЛОСТИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕПЛОВЫХ УСЛОВИЯХ © 2015 г. А. Ф. Поляков
Объединенный институт высоких температур РАН, Москва E-mail: paf2003@mail.ru Поступила в редакцию 28.03.2014 г.
Получены аналитические решения для стабилизированной смешанной ламинарной конвекции и теплообмена жидкости при различных тепловых граничных условиях на поверхностях вертикального плоского канала.
DOI: 10.7868/S0040364415040213
ВВЕДЕНИЕ
Ранее было выполнено аналитическое решение задачи о стабилизированной ламинарной смешанной конвекции капельной жидкости в вертикальной полости при граничных условиях первого рода, а именно, при постоянных подводе тепла на одной стенке (Th = const) и отводе на противоположной (Tc < Th) [1].
В данной статье представлены результаты обобщенного аналитического решения для установившейся смешанной ламинарной конвекции жидкости с постоянными физическими свойствами в вертикальном плоском канале при различных тепловых граничных условиях, в том числе аналогичных использованным в [1].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается подъемное течение жидкости с постоянными свойствами в вертикальном обогреваемом канале. Используются граничные условия второго рода — постоянная по длине плотность теплового потока. Установившиеся течение и теплообмен вдали от начала обогрева в условиях малого изменения плотности р = р0 описываются следующими уравнениями движения и теплопереноса:
d 2u dp dy dx
(1)
d 2T dT a—2 = u—.
dy2 dx
(2)
рение силы тяжести; ц — динамический коэффициент вязкости, Нс/м2; р — плотность, кг/м3; а = X/ (рср) — температуропроводность, м2/с.
Задача решается при следующих граничных условиях:
Y = y/h = 0: u = 0, -XdT
dy
y=0
(3)
(4)
= qh = const (горячая стенка), Y = 1: u = 0, qc = (k - 1)qh = const (холодная стенка); варианты: К2 — k = 2, qc = qh; К1 — k = 1, qc = 0; К0 — k = 0, qc = -qh = const.
Для учета влияния массовой силы pg в (1) для случая установившегося теплообмена в канале вдали от начала обогрева при граничных условиях (3), (4) вводится реперная температура, определяющая р0.
Следует иметь в виду, что при задании в качестве граничного условия на стенках постоянной температуры режим с установившимся теплообменом отсутствует, поскольку вдоль канала температурный напор между стенкой и жидкостью уменьшается, а следовательно, уменьшается и степень влияния подъемных сил.
Основная особенность уравнения (1) связана с его правой частью. При задании граничного условия второго рода интенсивность влияния подъемных сил определяется модифицированным чис-
лом Грасгофа Grq = h qw
v \
[2], где масштабом ха-
Здесь и — скорость, м/с; х, у — продольная и поперечная координаты, отсчитываемые от левой (горячей) границы плоского канала, м; Т — температура, К; р — давление, Н/м2; g = 9.81 м/с2 — уско-
рактерной разности температур является qwh| X. В данном случае qw= qh (3), тогда безразмерная тем-Т
пература Т = ——-.
qhh А
Полагая изменения р и Т малыми по сравнению с их абсолютными значениями, принимаем
Р-Ро = -Рр(Т - Tq),
(5)
где р = -1 () — коэффициент объемного рас-
р\дТ)р ширения жидкости.
Из теплового баланса при граничных условиях (3), (4) следует линейный рост среднемассо-
вой температуры Ть = -1 \huTdy вдоль канала:
ык л
dTb dXP
= k,
Ть = кХр + То.
(6)
Здесь Т0 — значение безразмерной температуры на входе в канал, ХР = —--безразмерная про-
кРе
дольная координата, Ре = РгЯе — число Пекле,
Рг — число Прандтля, Яе = — — число Рейнольд-
V
са, u = I J^ udy
средняя расходная скорость, V
dpi _ d(p + рь) dpb
где = dx
температур по длине трубы соответствует изменению среднемассовой температуры, а именно
дт = Т =
X ык2
следует
дТ _ dT _
дХР dXp
dx dx = к.
^ — р
С учетом вышеизложенного выполнено аналитическое решение одномерной задачи стабилизированного течения и теплообмена в плоском канале с использованием следующих безразмерных уравнений:
d 2U = _dP _ Gr, ^ dY2 dXR Re ,
d 2Э dY2
= kU.
(7)
(8)
Здесь = const, P = —pk--безразмерное
dX
pu
/2
коэффициент кинематической вязкости, м2/с. В соответствии с (6) для предельного случая к = О (вариант К0) среднемассовая температура сохраняет постоянное значение, равное температуре
жидкости на входе Тъ = Т0. Таким образом, использование в данном случае в качестве реперной температуры Тъ после стабилизации распределений скорости и температуры является совершенно точным. В другом предельном случае при двустороннем обогреве (вариант К2) рассматривается сечение канала в конце начального участка при установившихся профилях скорости и температуры, т.е. при ТЬ = 2Хр + Т0. Здесь Хьр — длина начального участка. То же относится и к другим вариантам. Теперь рассматриваемые малые изменения Т и р по аналогии с (5) будем отсчитывать от
<-> ЛТ7 Ъ
значений Тъ и рь, а именно
р-ръ =-вр(Т - Тр),
которые значительно меньше, чем при отсчете от значений на входе в канал. С учетом сказанного правую часть (1) запишем в следующем виде:
^ -pъgв(T - Тр), dx
= Pbg, Рь — гидростатическое
dx dx давление.
Теперь рассмотрим правую часть (2). Из теплового баланса (6) и того факта, что при стабилизированном теплообмене изменение локальных
давление, ХК = —, V = Ы, Э = Т-Тр.
к Яе ы чкк/X
При записи уравнений (7), (8) и нахождении постоянных интегрирования используются также
следующие соотношения: ^VdY = 1 — условие
постоянства расхода, ^V д dY = 0.
Рассмотренный в [1] случай с граничными условиями Т|у=0 > Т|у=к, которые постоянны по
поверхностям, фактически является одним из вариантов задания граничного условия с постоянными значениями тепловых потоков по длине канала, а именно варианту К0 (4). И в том, и в другом случае температура в поперечном сечении канала линейна, а среднемассовая температура Ть постоянна по длине канала.
РЕЖИМЫ С МАЛЫМ ВЛИЯНИЕМ ПОДЪЕМНЫХ СИЛ
Общее решение системы (7), (8) возможно при малом влиянии тепловой гравитационной конвекции (подъемных сил в обогреваемом канале). Для решения воспользуемся методом последовательного приближения, начиная от случая отсутствия влияния подъемных сил.
Отсутствие влияния подъемных сил. Рассмотрим данные по распределениям скорости, температуры и теплоотдаче для указанных граничных условий (3), (4), но без влияния подъемных сил. Эти результаты сравниваются с имеющимися данными. Данные по влиянию свободной конвекции в рассматриваемых условиях отсутствуют. Решение системы (7), (8) при Ог? = 0 дает следующие результаты:
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 -1.0
Рис. 1. Распределения относительных температур при подъемном течении жидкости в вертикальном канале: 1-3 - (9); 4-6- (12); 7, 8 - (18).
и 1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
/ я в н в - V * 7 4/ ~ А / * / ~ к / и \ ч \ ч\ А" \
// 1 п V ----5 Д 2 4
5 6
_ у |[ 1 1 1 1 V
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 У
Рис. 2. Распределения скорости в случаях малого (10%) влияния свободной конвекции: 1 - исходное параболическое распределение (Ог9 = 0); 2-4 — расчеты по (12); 5, 6 — (17), (18) соответственно; 2, 5, 7 — для К2, Ог^/Яе = 100; 3, 6, 8 - К1, 37; 4, 9 - К0, 15.
и = 67(1 - У), -9 = - - У - к I-9 - У3 + 1 У4). (9) 2 \70 2 /
На рис. 1 кривыми 1-3 показаны распределе-
Т — Т.
ния относительных температур ТТ =
Т — Т.,
- — -, Эь — Э,
для вариантов К2, К1, К0 соответствен-
но, рассчитанные по (9). Здесь Т[ - температура в средней плоскости симметрии канала. На рис. 2 представлено параболическое распределение
скорости (9), очевидное для рассматриваемых случаев.
Величина, обратная безразмерной температуре на стенке, представляет собой число Нуссель-та, а именно, при У = 0 и У = 1 соответственно
^Ц ь =
1
Шс
^ ад _
- Т) к -1
1
- 9к/35' 2(к -1)
(10)
ад - Ть) Зс 26к/35 -1
С использованием зависимости № А(к) (10) для вариантов К2, К1, К0 получим 4.12, 2.69, 2 соответственно. Данные значения аналогичны приведенным в монографии [3]. Величина N = 4.12 является широко используемой в литературе величиной для теплоотдачи в плоском канале с однородной плотностью теплового потока по поверхностям.
Слабое влияние термогравитационной конвекции. Обобщенное решение для трех вариантов тепловых граничных условий можно записать как
Ог 2
и = 6У(1 - У) +-—У[35(1 - ЗУ + 2У2) -
420 Яе (11)
- к(13 - 27У + 21У4 - 7У5)],
а = 1 - у - к (9 - уз +1 у4) - Ог-
70
[1 - к/2 + 0.025к2 - к(10У3
к (26У3 7
27У4 + 6У7
720 Яе 15У4 + 6У5
1.5У8))].
(12)
На рис. 2 представлены результаты расчетов распределений скорости по уравнению (11). Для всех трех вариантов тепловых граничных условий здесь кривыми 2-4 показаны профили скорости при малом влиянии подъемных сил, приводящем к отклонениям распределений скорости от исходной параболы (линия 1) в пределах 10%. Для варианта К2, естественно, наблюдается симметричная деформация профиля скорости с максимальным отклонением от параболы вблизи плоскости симметрии, т.е. при У = 1/2. Изменения скорости в режимах К0, К1 с ростом ее значений вблизи обогреваемой стенки сходны. Знаменательным является тот факт, что практически одинаковая степень воздействия свободной конвекции происходит при существенно различных величинах безразмерного параметра, характеризующего ее, а именно Ог9/ Яе = 100, 37, 15 для вариантов К2, К1, К0 (рис. 2) соответственно.
Коэффициенты сопротивления трения на горячей (У = 0) и холодной (У = 1) поверхностях в
X
cfh
7 [ cfc 6 5 4 3 2 1 0
10 100 1000 10000
Gr? /Re
Рис. 3. Изменение относительных коэффициентов сопротивлений трения на горячей с/к = с/к/с/0 ^ 1 (1, 3, 5, 7, 9) и холодной с/с = с/е/с/0 ^ 1 (2, 4, 6, 8,10) поверхностях; 1, 2 - К2 по (13); 3, 4 - К1; 5, 6 - К0; 7, 8 -К2 по (19); 9, 10- К1.
-1 □ 2
-3 д 4
5 - - - -6
7 - 8
Рис. 4. Распределения скорости в случаях предельного влияния подъемных сил: 1 - (9); 2 - К2, Grq/Re = 1061 (11); 3 - К1, 194; 4 - К0, 72; 5 - К2, 3100 (17); 6 - К1, 510; 7 - k = 1.5; 8 - k = 0.5.
1
соответствии с (7) описываются следующими зависимостями:
= т J (pu 72) = ^ ^ ' Re JF
F=0
'/с
= _2_ Re
Re JF
6 +
Grq
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.