ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 5, с. 10-23
УПРАВЛЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ И В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
УДК 517.977+681.51
ВЫЧИСЛЕНИЕ АНИЗОТРОПИЙНОЙ НОРМЫ ДЕСКРИПТОРНЫХ СИСТЕМ С НЕЦЕНТРИРОВАННЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
© 2015 г. О. Г. Андрианова, А. П. Курдюков, А. Ю. Кустов
Москва, ИПУРАН e-mail: andrianovaog@gmail.com Поступила в редакцию 05.08.14 г., после доработки 14.04.15 г.
Рассматриваются линейные стационарные дискретные дескрипторные системы, на вход которых поступает внешнее возмущение в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями и ограниченной средней анизотропией. Для такого класса систем получены условия ограниченности анизотропийной нормы в терминах обобщенных алгебраических уравнений Риккати и линейных матричных неравенств. На базе этих результатов разработан алгоритм вычисления анизотропийной нормы с помощью метода выпуклой оптимизации. Рассмотрены численные примеры, иллюстрирующие методику вычисления анизотропийной нормы.
DOI: 10.7868/S0002338815050029
Введение. Теория стохастического анизотропийного робастного управления для обыкновенных систем появилась в России в 1994 г. [1—3]. Данная теория, находясь в некотором смысле между классическими H2- и И„-теориями управления, позволяет конструировать регуляторы, которые минимизируют введенную определенным образом норму замкнутой системы (анизо-тропийную норму). Основными понятиями теории анизотропийного управления являются анизотропия случайного вектора, средняя анизотропия входной последовательности и анизотро-пийная норма системы. Анизотропия случайного вектора (или "цветность") характеризует меру отличия его плотности распределения вероятности (п.р.в.) от п.р.в. стандартного гауссовского случайного вектора с нулевым средним и скалярной ковариационной матрицей. Средняя анизотропия последовательности представляет собой усредненную по времени анизотропию расширенного вектора, составленного из элементов исходной последовательности. Анизотропийная норма системы играет роль максимального среднеквадратичного коэффициента усиления по всем возможным входным возмущениям с уровнем средней анизотропии, не превосходящим заданное число.
В классических постановках задач анизотропийного анализа и синтеза в качестве внешних возмущений рассматриваются стационарные эргодические последовательности гауссовских случайных векторов с нулевыми математическими ожиданиями [4, 5]. Однако в реальных ситуациях, при различных сбоях в оборудовании или при наличии нетривиального внешнего воздействия, средние значения векторов возмущений отличны от нуля. Такие возмущения называют нецентрированными. Следовательно, в рамках излагаемой теории имеет смысл рассмотреть внешние возмущения, содержащие ненулевую детерминированную составляющую.
Математические модели объектов управления не всегда могут быть описаны только разностными или дифференциальными уравнениями. Системы, математические модели которых составлены в терминах физических переменных, могут содержать алгебраические уравнения связи между элементами вектора состояния. Такие системы называются дескрипторными (алгебро-дифференциальными, алгебро-разностными, сингулярными и т.д.). Из-за наличия алгебраических связей дескрипторная система может приобретать свойства, не характерные для обыкновенных, что осложняет применение классического математического аппарата. Методы анализа и синтеза, разрабатываемые для дескрипторных систем, можно с успехом применять и для обыкновенных, которые являются частным случаем дескрипторных, если в последних отсутствуют уравнения связи.
Решение задач синтеза регуляторов основывается на проверке условий ограниченности функционала качества заданным числом, что напрямую связано с задачей вычисления нормы замкнутой системы. В данной работе решается задача вычисления анизотропийной нормы дескриптор-
ной системы методом выпуклой оптимизации для случая, когда на вход объекта поступает не-центрированное внешнее возмущение. Это исследование базируется на следующих результатах, полученных для центрированных возмущений: в [6] были получены условия ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы в терминах обобщенных алгебраических уравнений Риккати (анизотропийная частотная теорема, anisotropy-based bounded real lemma), а в [7] — аналогичные условия в терминах линейных матричных неравенств (ЛМН).
Данная работа состоит из следующих разделов. В разд. 1 приведены основные сведения по теории дескрипторных систем и теории стохастического анизотропийного робастного управления. Достаточные условия ограниченности анизотропийной нормы формулируются в разд. 2 как в терминах уравнений Риккати, так и в терминах ЛМН. На их базе разработан метод вычисления анизотропийной нормы для обыкновенных и дескрипторных систем с нецентрированными внешними возмущениями. В разд. 3 приведены численные примеры.
1. Основы теории дескрипторных систем и теории анизотропийного управления. В этом разделе приводятся основные сведения по теории дескрипторных систем, а также даются определения и обозначения из теории анизотропийного управления, необходимые для дальнейшего изложения.
1.1. Дескрипторные системы. Дескрипторные линейные стационарные системы дискретного времени P записываются в виде
ГEx(k + 1) = Ax(k) + Bw(k),
P ~ \
\z(k) = Cx(k) + Dw(k), (1.1)
x(0) = xo,
где x(k) e Rn — состояние объекта, w(k) e Rm — входное возмущение, z(k) e Rp — регулируемый выход, A, B, C, D, E — известные матрицы соответствующих размерностей, причем rank E < n. Если rank E = n, то система (1.1) сводится к обыкновенной системе той же размерности, x0 — заданный вектор соответствующей размерности. Для описания как обыкновенных, так и дескрипторных систем в ходе данной работы будет использоваться единое обозначение P. С системой (1.1) будем отождествлять матричную передаточную функцию
P ~ P(z) = D + C(zE - A)-1B, z e С.
Определение 1. Пусть Ирхт(Г), Г = {z е С : |z| = 1}, — пространство матричнозначных функций P : Г —^ Сpxm, которые имеют конечную Ирхт(Г)-норму:
( 2п Л?
IIPI
lfm( Г)
— J tr(P*(e'm)P(e,m)) d ю
2п
V o
2
< да,
где Р*(в'а) = РТ(е— сопряженная функция по отношению к Р(в'®). Обозначим подпространство ^хт(Г), состоящее из всех рациональных передаточных функций, не имеющих полюсов вне единичного круга, через Н|хт. Тогда ^хт(Г) — норму передаточной функции Р (г), принадлежащей пространству Н|хт, называют Н2-нормой и обозначают ||Р|| .
Определение 2. Пусть Ц,хт(Г) — пространство матричнозначных функций Р : Г ^ Срхт, которые существенно ограничены на Г = (г е С : |г| = 1}, т.е. пространство функций, которые могут быть неограничены только на множестве меры нуль. Обозначим через Н^т подпространство пространства Ц,хт(Г), которое состоит из всех рациональных передаточных функций, аналитических вне замкнутого круга единичного радиуса. Н„-нормой передаточной функции Р е Н^*т называют число, равное
sup amax(P(eto)) = sup Лmax(P*(eto)(P(eto)),
юе[0,2л] юе[0,2л]
где X max (M) — максимальное собственное число квадратной матрицы M.
Определение 3. Дескрипторная система P называется допустимой, если она является регулярной (т.е. ЭХ ф 0: det(XE - A) ^ 0), причинной (т.е. degdet(zE - A) = rankE) и устойчивой
(т.е. p(E, A) = max {z| : det(zE - A) = 0} < 1). Более подробную информацию по теории дескриптор-
zeC
ных систем можно найти в [8, 9].
Если (1.1) — допустимая дескрипторная система, причем гапк(Е = г < п, то существуют невырожденные линейные преобразования координат, приводящие эту систему к виду
2ЭФ
Ir 0 0 0
5с1(к +1) _%2(к +1).
"An A12'
_A21 A22 J
'Нк) Мк)_
+
Д
B2
w(k),
z(k) = [C1 C2]
~X1(k)
Mk)_
(1.2)
+ Dw(k),
называемому второй эквивалентной формой (2ЭФ) [8, 10] системы (1.1), причем х^к) е Кг, Х2(к) е Кп-г, а 1Г используется для обозначения единичной матрицы размерности г х г.
1.2. Теория анизотропийного управления. Сформулируем основные сведения теории анизотропийного управления. Более полный обзор производится в работах [1, 2, 11, 12].
Пусть {^(к)}к>0 — нецентрированная стационарная эргодическая последовательность гауссов-ских т -мерных случайных векторов, генерируемых формирующим фильтром в виде следующей дескрипторной системы:
G
Egxg (к +1) = Agxg (к) + Bg (v(k) + ц), w(k) = CgXg (к) + Dg (г(к) + ц),
(1.3)
где последовательность {г(к)}к>0 — стандартный гауссовский m -мерный белый шум, ц е [m — постоянный вектор, Ag, Bg, Cg, Dg, Eg — известные матрицы. Составим из N первых элементов последовательности {^(к)}ка0 филь»тра (1.3) расширенн^1й случайН^1й вектор W0:N-1 = (w (0)... w (N - 1)) e [ . Определение 4. Анизотропией случайного вектора W0:N _1 называют число
A(W0:N-1) = mln (— E[|W0:N-12 ]) + f f(x)lnf(x)dx,
2 \ m „
RmN
где f (x) — п.р.в. случайного вектора W0:N_1, E[-] — оператор математического ожидания.
Определение 5. Средней анизотропией последовательности ^(к)}к>0 называют число
A(W) = lim
N
A(Wq:N-1) N '
Теорема 1 [10]. Средняя анизотропия внешнего возмущения {м>(к)}к>0, генерируемого системой (1.3), равна
A(W) =
f
4п J
ln det
mS (&)
JGI2 + M2
d ю,
где М — математическое ожидание вектора м^(к) при к ^ да, £(ю) = 0*(еш)0(еш) — спектральная плотность формирующего фильтра.
Замечание 1. Вектор М среднего значения на стационарном режиме определяется формулой М = + С&(Eg - Аё) 1Бё)|а и связан с матрицами второй эквивалентной формы вида (1.2) для формирующего фильтра (1.3) выражением М = (Ь + С(1п - А)-1Б)|, где А = Ап - А12А221А21, Б = Б1 - А12А22Б2 , С = С1 - С2А221 A21, ^ = Ьg - С2А22Б2.
Пусть на систему (1.1) подается внешнее возмущение {^(к)}к>0 вида (1.3) с ограниченной средней анизотропией А (Ж) < а.
Определение 6. Анизотропийной нормой системы P называют число
I
= sup Q(P,W) = sup
W :A(W )<a W :A(W )<a
\\PG\\2+pm 2
IIGI2 + Ml2
где ^M = (D + C(E - A) 1B) M — математическое ожидание выхода z(k) при k ^ да.
Те о р е ма 2 [10]. Анизотропийная норма дескрипторной системы (1.1) при наличии нецен-трированных внешних возмущений может быть вычислена по формуле
= sup {N(q) | d(q) < a},
?e[0j| Pi
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.