ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 3, 2015
УДК 539.3:534.1
© 2015 г. Л. Г. Гулгазарян
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Рассматриваются вынужденные колебания ортотропных оболочек при наличии вязкого сопротивления, когда на верхней лицевой поверхности оболочки заданы два варианта пространственных граничных условий, а на нижней задан вектор перемещения. Асимптотическим методом получено решение соответствующих динамических уравнений трехмерной задачи теории упругости. Определены амплитуды вынужденных колебаний и установлено, что наличие вязкого сопротивления приводит к тому, что амплитуды вынужденных колебаний в области значений собственных колебаний возрастают, но остаются конечными. Получены функции типа пограничного слоя, установлены характеристические уравнения для определения скорости затухания пограничных колебаний в направлении от боковой поверхности внутрь оболочки.
Эффективность асимптотического метода определения собственных частот и форм колебаний пластин и оболочек [1—5] связана с тем, что один из геометрических размеров оболочки резко отличается от остальных. При переходе к безразмерным координатам в уравнениях и соотношениях трехмерной задачи появляется малый геометрический параметр, причем уравнения оказываются сингулярно возмущенными, их решения складываются из решений внутренней задачи и пограничных слоев [1, 4, 6—9]. Асимптотическим методом для отдельных классов задач, в частности, для полосы, получены математически точные решения. Это позволило чисто математически доказать справедливость принципа Сен-Венана в случае условий первой краевой задачи для полосы [4, 5].
Гипотезы классической теории балок, пластин и оболочек и существующих уточненных теорий неприменимы для решения классов задач, когда на лицевых поверхностях тонкого тела (балки, пластины, оболочки) задан, например, вектор перемещения или поставлены смешанные условия теории упругости (неклассические краевые задачи тонких тел), ибо соответствующими соотношениями этих теорий невозможно удовлетворить вышеуказанным граничным условиям на лицевых поверхностях. Асимптотический метод выделяется своей эффективностью при решении таких "неклассических" задач, в отличие от смешанных задач классической теории пластин и оболочек, когда вектор перемещения или смешанные условия задаются на боковой поверхности (с позиций теории упругости, несомненно, "неклассические" задачи остаются классическими). Установлена принципиально новая асимптотика для компонент вектора перемещения и тензора напряжений в статических и динамических неклассических задачах для полос [2], пластин [4, 6, 10, 11] и оболочек, в том числе анизотропных и слоистых [4, 6, 12—18], позволившая непосредственно найти решения внутренней задачи и пограничных слоев с заранее заданной асимптотической точностью. Рассматривались также вынужденные колебания полос и пластин при наличии вязкого сопротивления [19, 20]. Для отдельных классов задач при полиномиальных внешних воздействиях получены математически точные решения внутренней задачи [4, 6],
подтверждающие эффективность примененного асимптотического метода. Имеется обзор методов решения краевых задач для тонких тел [4, 6] и по применению асимптотического метода [5, 21].
Среди различных причин затухания колебаний механических систем одна из важнейших — рассеяние энергии внутри самой колебательной системы, в частности вязкое трение, которое обычно принимается пропорциональным скорости перемещения точек [22]. Ниже получены асимптотические решения неклассических краевых задач о вынужденных колебаниях ортотропных оболочек при наличии вязкого внутреннего сопротивления при разных граничных условиях на лицевых поверхностях.
1. Основные уравнения и постановка краевых задач. Рассмотрим вынужденные колебания ортотропной оболочки толщины 2к : Б = {а, в, у; а, в е Б0, -к < у < к] при наличии вязкого сопротивления. Здесь Б0 — срединная поверхность оболочки, а и Р — линии кривизны срединной поверхности, у — прямолинейная ось, направленная перпендикулярно к срединной поверхности. Требуется найти решения динамических уравнений теории упругости в выбранной триортогональной системе координат при серии граничных условий на лицевых поверхностях у = ±к и на боковой поверхности оболочки. Для упрощения выкладок будем пользоваться компонентами несимметричного тензора напряжений Ту [1,4] и введем обозначения у , = 1 + у/Я, (; = 1,2), где ^ и Я — главные радиусы кривизны срединной поверхности.
Имеем:
уравнения движения
1 д/„ ч , , 1 д I А , - дт ау , 2т ау , - - ди ~ ~ д2и
- да (Втаа ) - + - - (АтРа ) + катаР + У Г+^ " ^ Л2 ^ = РУ * 2 ^
(А, В; а, в; Я1, Я2,и,Г) (1.1)
дт.
УУ
ду
ГТаа . 1 + 1 дТау + 1 дтРу + , - - дЖ _ - - дЖ
аа
в + в I + Т я + О^Т + кв%ау + катРу - ^1? 1?2 — _ Р?1?2' 2 ^ Я1 Я2 у А да В др дг дг
У1Т ар = У 2 т ра (условие симметрии) уравнения состояния (соотношения упругости)
^2 (А дда + каГ + Я) = ^ 1Я11Таа + ^2а12ТРР + а13туу (А, В; а о- в; Я1 о Я2; и о V; а11, а22; а13, а23)
У1У2 дЖ = У 1а13таа + У2а23трр + а33тyy, У1 (Вдв - + ^2 ((^ - каи) = У 1а66тар
(1.2)
~ ~ ди ~ и , 1 - дЖ ~
У1У2 — - У2 — + " У2 — = У 1а55тау
оу Я1 А да (А, В; а, в; Я1 о Я2; U,V; а55, а44)
где ка и кр — геодезические кривизны, А и В — коэффициенты первой квадратичной формы, к — коэффициент вязкого внутреннего сопротивления (считается, что сопротивление пропорционально скорости точек), р — плотность, ау — постоянные упругости. На лицевой поверхности у = к задана одна из следующих групп условий:
тау(Н) = 0, тРу(к) = 0, Т„(к) = 0 (1.3)
или
U (h) = 0, V (h) = 0, W (h) = 0 (1.4)
а на поверхности у = -h
U(-h) = u" (а, ß)sin(Q t), V(-h) = и "(а, ß)sin(Q t), W(-h) = w "(а, ß)sin(Q t) (1.5)
Условия на боковой поверхности пока конкретизировать не будем, ими обусловлено в данном классе задач появление пограничного слоя.
2. Решение внутренней задачи. В уравнениях и соотношениях (1.1), (1.2) перейдем к безразмерным координатам и перемещениям по формулам
а = R ß = Rn, Y = s R Z = hZ, U = Ru, V = Ru, W = Rw
где R — характерный размер оболочки (наименьший из радиусов кривизны и линейных размеров срединной поверхности), s = h/R — малый параметр. Решение преобразованных уравнений будем искать в виде
Q(x, y, z, t) = Qi fe П, Z) sin(Q t) + Qn fe n, Z) cos(Q t) (2.1)
где Q — любая из величин напряжений и перемещений, Q — частота вынуждающего внешнего воздействия. В результате получим сингулярно возмущенную малым параметром s систему относительно Q. Назовем ее системой Ds и вследствие громоздкости не выписываем.
Общее решение поставленной задачи имеет вид суммы решений внутренней (interior) задачи и пограничного (boundary) слоя [4, 13, 21]:
i = Qlnt + Rb
Установление правильной асимптотики — самый ответственный момент при асимптотическом подходе. Для пластин и оболочек асимптотика чутко реагирует на тип граничных условий на лицевых поверхностях.
Решение внутренней задачи ищем в виде асимптотического представления [4, 13]
т j П, Z) = e"1+sT j n, Z), m, k = 1,2,3; s = 0N; j = i, Ii
(u )nt(^, n, Q,uf& n, Z), w)nt(^, n, Z)) = (uffe n, Z),u(s)(£, n, Z), wffe n, Z)) .
Здесь и далее s = 0, N означает, что по немому (повторяющемуся) индексу s происходит суммирование в пределах целочисленных 0, N.
Принимается, что с самого начала имеется установившийся динамический процесс, т.е. не рассматривается квазистатическое состояние. Принято также, что изменяемость напряженно-деформированных состояний по тангенциальным направлениям в первую очередь зависит от изменяемости внешних воздействий, которые принимаются одинаковыми. Как следует из уравнений движения системы Ds, это будет,
когда интенсивность величины Q* = ph2Q2 (Q* имеет размерность напряжений) будет порядка единицы, т.е. может быть охвачен широкий спектр частот. Для этого класса задач лишь асимптотика (2.2) приводит к непротиворечивому итерационному процессу. В случае пластин, когда входящие в граничные условия (1.5) функции — многочлены от тангенциальных координат, итерационный процесс обрывается, и получаем математически точное решение внутренней задачи [10].
Если интенсивность Q* порядка s и ниже, процесс квазистатический, а при е 1 и выше он будет высокочастотным динамическим процессом, для которых асимптотика (2.2) пе-
рестанет быть верной и необходимо искать соответствующую асимптотику (предмет отдельного исследования).
Из асимптотики (2.2) следует, что в отличие от классической теории пластин и оболочек (на лицевых поверхностях заданы соответствующие компоненты тензора напряжений), где разные компоненты тензора напряжений и вектора перемещения имеют разные асимптотические порядки; например [1,4], для пластин компоненты тензора напряжений имеют следующие интенсивности:
таа/, та|3/> Т|3|У = 0(е 2), Тауу, Труу = 0(Е ^ Тууу = 0(Е°)
а компоненты вектора перемещения:
и] ,У] = 0(Б-2), Ш] = 0(Б-3)
Для оболочек еще сложнее: для данного класса задач все компоненты тензора напряжений асимптотически равноправны, равноправны (имеют одинаковый порядок) также перемещения, и в силу этого здесь неприменимы допущения классической теории пластин и оболочек: их использование приведет к противоречивым соотношениям при удовлетворении граничных условий на лицевых поверхностях.
Поскольку асимптотика решения трехмерной задачи для тонких тел чутко реагирует на тип граничных условий на лицевых поверхностях, а гипотезы классической теории неприменимы при иных граничных условиях, видимо, этим объясняется, что долгое время другие классы задач не были решены. Формулировка новых гипотез оказалась неочевидной. Исследования, проведенные асимптотическим методом, показали, однако, что определение решений иных классов задач сравнительно проще и вообще нет необходимости привлечения гипотез [4, 6].
Решение задачи должно удовлетворять условиям (1.3), (1.5) или (1.4), (1.5). При известной вышеуказанной структуре общего решения, для определения величин т(m)fg, и® (и, и, и) внутренней задачи из условий (1.3)—(1.5) будут следовать граничные условия
С = 1 Т(/3У- =-Т1(з)А (13,23,33), ]
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.