ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, Л» 1 июль, 2005
© 2005 г. О. К. Пашаев*, М. JI. Франсиско*
ВЫРОЖДЕННЫЙ ЧЕТЫРЕХСОЛИТОННЫЙ ВИРТУАЛЬНЫЙ РЕЗОНАНС ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КП-Н
Предложен метод решения (2 + 1)-мерного уравнения Кадомцева-Петвиашвили с отрицательной дисперсией (КП-П), основанный на использовании второго и третьего членов диссипативного варианта иерархии Абловица-Каупа-Ньюэлла-Сегура (АКНС). Показано, что диссипативные солитоны (диссипатоны) соответствующих уравнений приводят к плоским солитонам уравнения КП-Н. На основе билинейного представления Хироты для потоков SL(2, К)-иерархии АКНС выписало новое билинейное представление для уравнения КП-П, с помощью которого построены одно- и двухсолитонные решения и исследован резонансный характер их взаимодействия. С помощью указанного билинейного представления удалось впервые построить резонансное решение с четырьмя виртуальными солитонами для уравнения КП-П и показать, что такое решение может быть получено как редукция четырехсолитонного решения в билинейном виде Хироты-Сацумы для уравнения КП-П.
Ключевые слова: диссипативный солитон, иерархия Абловица-Каупа-Ньюэлла-Сегура, уравнение Кадомцева-Петвиашвили, метод Хироты, солитонный резонанс, система реакции-диффузии.
1. ВВЕДЕНИЕ
Диссипативный вариант иерархии Абловица-Каупа-Ньюэлла-Сегура (АКНС) [1] был рассмотрен недавно в связи с (1 + 1)-мерными гравитационными моделями (гравитационными моделями на линии) [2]. Было обнаружено, что второй поток, описываемый диссипативным вариантом нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) (так называемая система реакции-диффузии (РД)), допускает новый тип солитонных решений, называемых диссипатпонами. Диссипатоны имеют экспоненциально возрастаю-щую/убывающую амплитуды, при этом их билинейное произведение имеет форму идеального солитона, а взаимодействие носит резонансный характер.
В настоящей работе мы исследуем резонансные диссипативные солитоны в иерархии АКНС и показываем, что они приводят к плоским солитонам (2 + 1)-мерного уравнения Кадомцева-Петвиашвили с отрицательной дисперсией (КП-П). В основе нашего подхода лежит следующий метод построения решений (2 + 1)-мерного уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КП): мыпоказываем, что если рассмотреть решения, удовлетворяю-
* Department of Mathematics, Izmir Institute of Technology, Urla-Izmir, 35430 Turkey. E-mail: oktaypeishaev@iyte.edu.tr
пше одновременно системам уравнений второго и третьего потоков иерархии АКНС, то их произведение е+е~ удовлетворяет уравнению КП-И (см. предложение в разделе 4). Используя эти результаты, мы строим новое билинейное представление для уравнения КП-П, которое имеет одно- и двухсолитонное решения. Показано, что наше двухсоли-тонное решение соответствует вырожденному четырехсолитонному решению уравнения КП в стандартном виде Хироты и обнаруживает резонанс с четырьмя виртуальными солитонами.
2. 51,(2, К)-ИЕРАРХИЯ АКНС
Диссипативная 51/(2, К)-иерархия АКНС эволюционных уравнений
на—(")•
tff
где N = 0,1,2,..., А < 0, порождается оператором рекурсии
(1)
(2)
Второй и третий члены иерархии АКНС выглядят соответственно как
+ + Л + _ + е£ = ехх + 4е е е ,
_ Л , _ _ -е<1 = ехх + —е+е е
+ _ + ЗА + _ +
е*2 ~~ еххх + е ех >
_ _ _ ЗА + _ _
еххх "I" ^ е е ех •
(3)
(4)
Первая система (3), диссипативный вариант НУШ, называется системой РД [2]. Она связана с калибровочной формулировкой (1 -I- 1)-мерной гравитации, с поверхностями постоянной кривизны в псевдоевклидовом пространстве [2] и с задачей о солитоне НУШ в квантовом потенциале [2], [3].
3. РЕЗОНАНСНЫЕ ДИССИПАТОНЫ В ИЕРАРХИИ АКНС
3.1. Диссипатоны системы уравнений РД. Второй член иерархии АКНС (3), уравнение РД, с помощью подстановки
±_ /Тс^х,!)
можно записать в билинейном представлении Хироты, £ =
Л = О, = (6)
Таким образом, любое решение последней системы определяет решение системы РД (3). Простейшее решение билинейной системы (6) имеет вид [3]
± е(<-ИГ)
с± = ±е"' р = <7)
где VI — к^х ± + ■ Это решение определяет солитоноподобные решения
системы РД с экспоненциально возрастающей и убывающей амплитудами, называемые диссипатонами [2]. Однако произведение е+е~ имеет идеальную односолитонную форму:
е+е~ = _—__(8)
амплитуду к = (к* + к±)/2 и распространяется со скоростью V = —(к^ — к±) из начального положения хо = — 1п(£]|" + к± )2 + т)*^ +
Система РД допускает геометрическую интерпретацию на языке поверхностей постоянной кривизны [2]. Если функции е^ удовлетворяют уравнениям РД (3), то соответствующая риманова метрика описывает двумерное псевдориманово пространство-время постоянной кривизны А: Я = д^Яци = А. Метрика, вычисленная для решения с одним диссипатоном (7), имеет сингулярность (изменение знака) при Ш к(х -иг) = ±у/2к. Эта сингулярность (называемая причинной) допускает физическое истолкование в рамках физики черных дыр и связана с резонансными свойствами солитонов. Действительно, построив решение с двумя диссипатонами, мы обнаруживаем, что оно описывает столкновение последних, в результате чего образуется резонансное (метаста-бильное) связанное состояние [3].
3.2. Диссипативные солитоны для уравнений третьего потока. Для третьего потока иерархии АКНС мы имеем систему с кубической дисперсией (4). Билинейное представление этой системы уравнений для функций е±(х, ¿) в терминах трех вещественных функций , Р (5) имеет вид
= = -2в+в-. (9)
Из последнего уравнения получаем выражение для произведения
Простейшее решение этой системы
± е^Т+Ъ)
где т= к^х — + определяет диссипативное односолитонное решение сис-
темы (4):
е±-±жт__ (12)
У-А 2 сЬ[(Л++Л1-)(х-^-х0)/2]'
остей по-РЛ (3), то со-пространст-ленная для ре-при к(х -.чес кое истол-солитонов. л, что оно (метаста-
Лля треть-► 1 Билинейное грех вещее-
(9)
Г
(10)
(П)
:~зение сис-
Рис. 1
гдеи = к±2 — + к^2, хо = {Пг^ + 77Г^)/'г1~*Г' = —21п Резонансное взаимодействие слияния трех диссипатонов в два диссипатона для системы (4) представлено на рис. 1.
Система (4) допускает следующую редукцию симметрии: е+ = е~ = и, приводящую к модифицированному уравнению Кортевега-де Фриза (мКдФ):
ЗА
Щ2 = иххх + их
(13)
При такой редукции = кх = к, и диссипативный солитон (12) превращается в одно-то литонное решение мКдФ:
= е =и(х,г) = г
1*1
(14)
(12)
—А сЬ к(х — к2Ь — хо) Таким способом можно убедиться, что диссипативный солитон является достаточно общим объектом, который допускает редукцию к настоящему солитону мКдФ. Аналогичным образом диссипативное двухсолитонное решение системы (4) с помощью редукции к* = к[~, /с+ = сводится к двухсолитонному решению мКдФ. Естественный вопрос заключается в том, чтобы найти эволюционное уравнение для произведения диссипатонов е+е~. Как будет показано ниже, таким уравнением является уравнение КП-П в размерности (2 + 1).
4. РЕЗОНАНСНЫЕ СОЛИТОНЫ УРАВНЕНИЯ КП-П
4.1. Уравнение КП-П и иерархия АКНС. Иерархия АКНС позволяет также развить новый метод для нахождения решений (2 + 1)-мерного уравнения КП. В зависимости от знака дисперсии различают два типа уравнений КП. Знак минус в правой части уравнения КП отвечает случаю отрицательной дисперсии, а соответствующее уравнение называется КП-П. Чтобы связать уравнения КП-П с иерархией АКНС, рассмотрим пару функций е+(х, у, Ь), е~(х,у,Ь), которые удовлетворяют уравнениям, составляющим второй и третий члены диссипативной иерархии АКНС. Обозначим по-новому
временные переменные в этих уравнениях: ¿1 = у и ¿2 ^ Дифференцируя уравнения систем (3) и (4) соответственно по £ и по у, находим, что эти системы совместимы.
Предложение. Пусть функции е+(аи е~(х,у,Ь) являются одновременно решениями уравнении (3) и (4). Тогда функция 1/(х,у,1) = е+е~ удовлетворяет уравнению КП-П
(т + + [71ХЛ = -3 иуу. (15)
Доказательство. Возьмем производную от функции и по переменной у и используем формулы (3), так что 1/у = (е+е~ - е~е+)х,
Щу = {е+ххе~ + ехххе+ - (е+ех)х) + ^ихи. (16)
Аналогичным образом для Ыг получаем
^ = - (е+ххе~ + ^ие~ех + ехххе+ + ^11ехе+), (17)
их* = -(е+ххе-+ехххе+ + ^иих^ . (18)
Объединяя полученные формулы,
ЗА,
4 иХ1 + 3 иуу =
-е
ixxe - ехххе+ - тгии* - 3(е+ех )ж
(19)
и используя формулу иххх = е£Ххе + ехххе+ + ^еххех + ^ехехх > получаем уравнение КП-П^б)1).
4.2. Билинейное представление для уравнения КП-П с помощью потоков АКНС. Используя билинейные представления для систем (3) и (4) и доказанное выше предложение, можно найти билинейное представление для уравнения КП-П. Для системы РД (3) билинейное представление дается формулами (6), а для системы (4) третьего потока - формулами (9).
Рассмотрим теперь и ^ как функции трех переменных = (х, у, ^ = Р(х, у, ¿) и потребуем, чтобы они были одновременно решениями билинейных систем (6) и (9). Поскольку второе уравнение в обеих системах одинаковое, достаточно рассмотреть следующую билинейную систему:
Г = о,
^ + (20)
^Как недавно указал нам Б. Конопельченко, подобные результаты известны также в литературе как симметрийные редукции КП (см., например, [4]).
Щ>уя уравнения естимы.
г одновременно фовлетворяет
(15)
У и исполь-(16)
(17)
(18)
(19) уравнение
потоков
оевыше Для систе-'4) третьего
систем (6) рассмот-
(20)
литерату-
Тогда в соответствии с предложением любое решение этой системы порождает решение уравнения КП-П. Из последнего уравнения можно прямо выразить функцию II только через функцию Р:
и = е+е- = 8 С+С~ _ 4 °2х(Р ■Р) _ 8 &
=
-Л Л Л дх2
Простейшее решение этой системы
в± = ±е^, 1 +
е(Ч1"+Ч, )
(*1+ + *Г)2'
(21)
(22)
где — (А:^ )2у — (к^ + определяет односолитонное решение уравнения
КП-П по формуле (21):
2(*1" + *Г)2
[/ =
ЛсЬ2 [((*+ + к^)х + (к+* - к^)у - {к+3 + + 7)/2]
(23)
где 7 = — 1п(к^~ + к} )2 + + Этот солитон представляет собой плоский
волновой барьер, двигающийся в произвольном направлении, и называется плоским со-литоном.
4.3. Двухсолитонное решение. Продолжая разложение Хироты, находим двух-солитонное решение в виде
(24)
1 +
е^ е^Г
(^Г)2 Ой")2 (^+Г)2 (*2+2-)2 * ' (К)
где 4 = к±х ± (к±)2у - (к?)Ч + = к,? + к), 1,з = 1,2, а, Ь= +,
± _ (^ ~ *2 )2 л± _ ~
± _ 1-±\2
«1 =
(*1+1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.