ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ПРИБОРЫ
531.3+537.311322
ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ тонкой ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРОВОЛОКИ
© 2008 г. И. А. Кузнецова, А. А. Юшканов*, Р. Р. Хадчукаев
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, *Московский государственный областной университет e-mail: kuz@uniyar.ac.ru Поступила в редакцию 20.10.2007 г.
В рамках классической кинетической теории исследуются особенности высокочастотной проводимости тонкой прямой полупроводниковой проволоки круглого сечения. Соотношение между радиусом проволоки и длиной свободного пробега носителей заряда считается произвольным. Рассматривается диффузный механизм отражения носителей заряда от границы проволоки. Расчет проводимости выполнен для случая невырожденного электронного газа.
МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2008, том 37, № 4, с. 270-277
УДК
1. ВВЕДЕНИЕ
Электрические свойства проводящих материалов, характерный линейный размер которых сравним с длиной свободного пробега носителей заряда X, существенно отличаются от свойств "массивных" образцов [1-4]. Среди причин, обуславливающих это различие, помимо квантовых размерных эффектов могут быть эффекты, имеющие классическое объяснение. Так, если радиус сечения цилиндрической проволоки Я сравним с длиной свободного пробега носителей заряда X или меньше ее (Я < X), взаимодействие носителей заряда с границей образца начинает оказывать значительное влияние на электрические и тепло-физические свойства проволоки. В этом случае локальные уравнения макроскопической электродинамики оказываются неприменимыми, и решение задачи необходимо проводить в рамках кинетического подхода.
В работе [1], посвященной расчету проводимости тонкой цилиндрической проволоки (отношение ее радиуса к длине много меньше единицы), рассматривались только стационарные электрические поля. В работе [2] экспериментально подтверждается важный факт: удельное электрическое сопротивление тонких металлических проволок (при заданной температуре) зависит от геометрии проволок. Непосредственно в данной работе измерялось электрическое сопротивление тонких металлических проволок прямоугольного сечения. В работе [3] рассчитывалась проводимость металлической проволоки прямоугольного сечения, а в работе [4] рассматривалась электрическая проводимость тонкой металлической проволоки круглого сечения в продольном магнитном поле.
В упомянутых работах [3, 4] применяется подход, основанный на решении кинетического урав-
нения Больцмана. При этом исследование проводилось только для случая вырожденного электронного газа, что соответствует металлическим проволокам.
В настоящей работе рассматривается цилиндрическая полупроводниковая проволока п-типа (р-типа) проводимости радиуса Я и длины Ь (считаем, что Ь > Я), к концам которой приложено однородное переменное напряжение частоты ю. Направление электрического поля совпадает с осью проволоки.
Кинетическим методом рассчитывается функция распределения, описывающая линейный отклик носителей заряда на переменное электрическое поле. По найденной функции распределения для случая невырожденного полупроводника рассчитывается зависимость интегральной проводимости от частоты внешнего поля ю и соотношения между радиусом сечения проволоки Я и длиной свободного пробега носителей заряда X.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И РАСЧЕТ
При условии, когда длина свободного пробега носителей заряда X много меньше радиуса проволоки Я (X <§ Я) для вычисления плотности тока можно применить локальный закон Ома [5]
j = Х(ю) Е, Х(ю) = V (1- (ют), (1)
где Х(ю) - проводимость Друде, Х(0) = в2пт/т - статическая проводимость, е - заряд электрона, п и т - соответственно равновесная концентрация и эффективная масса электрона (дырки), т -время релаксации.
В случае, когда радиус проволоки Я сравним с длиной свободного пробега электрона (дырки) X, связь между Е и j носит нелокальный характер
и макроскопическая электродинамика становится неприменима.
Однородное периодическое во времени электрическое поле
Е = Е0ехр(-гшО (2)
действует на носители заряда в проволоке, что вызывает отклонение /1 их функции распределения / от равновесной фермиевской /0
Яг, у) = /о(е) + /х(г, у),
(3)
/о =
1
ехр ((£ - ц) / к 0 Т) + 1'
(4)
здесь г - радиус-вектор (начало координат выбирается на оси проволоки), £ = иу2/2 - кинетическая энергия электрона (дырки) в случае простой сферически-симметричной энергетической зоны, ц - химический потенциал, Т - температура частицы, к0 - постоянная Больцмана.
Это приводит к возникновению высокочастотного тока в проволоке
= * | у/
2) ( т V)
иг~
= 2е\
т'
| у /1 ) V,
(5)
В формуле (5) использована стандартная нормировка функции распределения /, при которой плотность электронных состояний равна 2/й3.
Задача сводится к отысканию отклонения /1 функции распределения от равновесной ферми-
евской функции /0, возникающего под воздействием высокочастотного поля (2). В линейном приближении по внешнему полю, функция / удовлетворяет кинетическому уравнению [6, 7]
- гю / + у 3/1 + е (уЕ)/ = -/1, (6)
Эг о£ Т
где предполагается гармоническая зависимость /1
от времени (/ ~ ехр(-гшО), а интеграл столкнове- ()/1 = -Т'
ний взят в приближении времени релаксации Решая уравнение (6) методом характеристик электронов (дырок) Т- [8], для неравновесной функции распределения по-
лучаем
/1 = А(ехр(-VI') -1 )/у, Г > 0, (7)
V = 1/т - [ ш, А = е( уЕ)дд£0, (8)
/ = ехр ( ( £ - ц ) / к о Т)
. д£ ) [ ехр ( (£ - ц)/ко Т) + 1 ] 2 ко Т
где V - эффективная частота столкновений, причем V и А постоянны вдоль траектории (характеристики). Параметр I' в выражении (7) имеет смысл времени движения электрона вдоль траектории от границы, на которой происходит отражение, до точки г со скоростью У.
Для однозначного определения функции /1 необходимо задать для нее граничное условие на цилиндрической поверхности проволоки. В качестве такового принимаем условие диффузного отражения электронов от этой поверхности [7, 3]:
/1 ( г, у ) = 0 при
|г±| = к г±у±< 0'
(9)
где г± и у±, соответственно, компоненты радиус-вектора электрона г и его скорости V в плоскости перпендикулярной к оси проволоки.
Это ясно из следующих геометрических соображений. Используя очевидное векторное равенство г = г0 + VI', где г0 - радиус-вектор электрона в момент отражения от границы проволоки, и проектируя его на плоскость перпендикулярную к оси симметрии, имеем г± = г0! + v±í', где вектора г±, г0! и V! являются компонентами исходных векторов в плоскости проекции. Возводя обе части последнего равенства в квадрат, и, разрешив полученное уравнение относительно г', можно получить выражение (10).
При отражении электрона от границы проволоки параметр г' в выражении (7) определяется как
(10)
Соотношениями (7), (8), и (10) полностью определено решение / уравнения (6) с граничным условием (9), что позволяет рассчитать ток (5).
При вычислении интеграла (5) удобно перейти к цилиндрическим координатам как в пространстве координат (г±, ф, г; полярная ось - ось X; вектор Е0 параллелен оси X), так и в пространстве скоростей а, V полярная ось - ось V) Ось симметрии проволоки совпадает с осью X. Поле (2) в цилиндрических координатах имеет лишь г-компоненту:
г' = { г± V! + [( г± V!)2 + ( Я2- г!) VI]1'2} / VI.
Е = Егег; Е г = Е0ехр(-г'юг).
Соответственно, и ток (5) обладает лишь г-компонентой (линии тока являются прямыми, параллельными оси X):
Л = 2е2т-Ег|V2|[ехр(-Vг') - 1 ]й3V =
Ег |Ц
Н V
ехр
V ,
22 т (vг + V ±)
2к0 Т
к о Т
(11)
0 0
(т (V2 + V!) |
ехр ( —-г—--
V 2коТ коТ
-[ 1 - ехр (-V г')] V!dv!dаdvг
+1
коТ
2
В силу симметрии задачи интегрирование по всему диапазону скоростей vz в (11) заменяется интегрированием по положительному диапазону, и результат удваивается. Кроме того, движение носителей заряда симметрично относительно любой диаметральной плоскости, в которой лежит
точка их положения на траектории, поэтому можно считать, что угол а в пространстве скоростей меняется в пределах от 0 до п, и удваивать результат интегрирования по этой переменной. Учитывая сказанное и вводя новые безразмерные переменные, для плотности тока (11) получим
Л =
2 п ^ I—
е пЯЕг с с с ехр (иг + и! - и1)^иг
г!_г 111
п7о^ 1 г0 0 0 [ехр(и + и! - иц) +1 ]2
1 - ехр( -
йигйа йи!,
(12)
1/2 ,
_ и йи
'0 1 ехр(и - и„) +1'
_ I;
Здесь безразмерные переменные:
Я Я ¿Яш
z = V — = т--= X - 1у,
V1 Л V,
1
VI' =
т V г
м = 2100Т'
г& / ч /1 &2 . 2. ,,1/2п г Г
z-T= [%008(а) + (1-% 81п (а)) ] = z-7= п, % =
и | =
ц
2
т V =18 =
2 к0 Т' к0 Т' к0Т'
(13)
где z, х и у нормированы на характерную скорость носителей заряда v1, которая вводится следующим образом:
П V1
.2 _ 5 Г 2,2) (т V)
= и V3/
,3
Н
- I т _ г1/2| 5 г
1 = 42к0ТVl = 10 [зJ
0
=2 (т) >
3/2
Л 7
и аи
1/2
ехр (и - мц) + 1
0 а V = 4п —
т \3(2к0Т)3/2
Н) V т
(14)
п
Для случая вырожденного Ферми-газа при Т —► 0 v1 —► v0, где V,) - фермиевская скорость, определяемая выражением (14) для функции Ферми /0(Т —► 0). В другом предельном случае невырожденного электронного газа (мц < 0) при
75 кТ/.
т,
т.е. имеет порядок средней тепловой скорости носителей заряда.
Полный ток I через поперечное сечение цилиндрической проволоки определяется выражением
I = 2 п Я
(15)
Формально воспользовавшись законом Ома в виде I = ви (где и - напряжение на концах проволоки) и учитывая, что электрическое поле внутри проволоки однородно (и = ЕгЬ, где Ь - длина проволоки), получаем формулу для расчета интегральной проводимости проволоки в:
в = в0Р(х, у, Мц), в0 = 2
23
е пЯ mv 1Ь'
> 1 п
Р (х, у, мц) = и ЯЯ%
ехр (и1 + м± - мц)7м
[ехр(+ м± - мц) + 1 ]2
1 - ехр [ -
z П ^
0000
7м! )-
)а а% аи1йи!.
Проведем в (17) замену переменной интегрирования во внутреннем интеграле а —► п
(16) (17)
008 а = (п2 + %2-1) / (2 п%),
22 % - п -1
а а =
2п2%
( ГХ.2 2 1Ч2)
1 (% +П -1)
22 4п %
а п,
0
оо
1п
11 + Ч
Ц( ...)йайЧ _ -I I (-)йцйЧ.
01-Ч
0 0
Далее, меняя порядок интегрирования, получим
11 + Ч Л 1 2 1
-II (...)йцйЧ _ -[II (...)йЧйц +11 (...)йЧйц
01-Ч
ч0 1 - п
1 п-1
Так как области интегрирования и подынтеграл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.