научная статья по теме ВЫСОКОМОДОВЫЕ ВОЛНОВЫЕ РЕЛЬЕФЫ В РАМКАХ ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕЛОКАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ЭРОЗИИ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «ВЫСОКОМОДОВЫЕ ВОЛНОВЫЕ РЕЛЬЕФЫ В РАМКАХ ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕЛОКАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ЭРОЗИИ»

МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2014, том 43, № 4, с. 282-288

МАТЕРИАЛЫ НАНОЭЛЕКТРОНИКИ

УДК 537.534

ВЫСОКОМОДОВЫЕ ВОЛНОВЫЕ РЕЛЬЕФЫ В РАМКАХ ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕЛОКАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ЭРОЗИИ © 2014 г. А. С. Рудый, А. Н. Куликов, Д. А. Куликов, А. В. Метлицкая

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова E-mail: rudy@univ.uniyar.ac.ru Поступила в редакцию 20.09.2013 г.

DOI: 10.7868/S0544126914040103

ВВЕДЕНИЕ

Данная статья является продолжением работ [1—4]. В работе [1] была предложена, а в работе [2] учтена одна из детерминистских моделей эрозии поверхности под воздействием потока ионов. В настоящее время более известна иная модель этого технологического процесса — это модель Бред-ли—Харпера [5], основой которой служит нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа. Его иногда называют уравнением Бредли—Харпера, но очень часто оно сводится к более известному уравнению математической физики — уравнению Курамото—Сивашинского.

Обе модели, Бредли—Харпера (БХ) и нелокальная модель эрозии (НМЭ) в своей основе имеют одну и туже теорию, предложенную П. Зигмундом (см., например, [6]) и поэтому не имеют принципиальных отличий, но НМЭ предполагает некото-

рые уточнения и, как будет показано в рамках этой работы, способна предложить более сложную динамику решений. В частности, возможность появления высокомодовых волновых решений, у которых длина волны может быть достаточно мала.

Образование волнового нанорельефа (ВНР) на поверхности твердых тел относится к числу наиболее интересных и наименее изученных явлений. Волновой рельеф формируется на поверхности проводников, полупроводников и диэлектриков при облучении их потоками как инертных, так и химически активных газов. В рамках этой работы речь прежде всего пойдет об исследовании образования ВНР в рамках пространственной нелокальной модели.

Как и в работах [1—4] будем рассматривать уравнение, которое в простейшем варианте может быть записано в следующей форме

Ht = DHxx +у срс

H - H sin (©0 -©) cos ©

l

во

1 --

во cos © H - H cos(© 0 - ©) l

Hx

1 + eH

(1)

где Б — коэффициент поверхностной диффузии, I — длина свободного пробега "первичного" иона, 0 0 — угол между направляющей потока ионов и нормалью к невозмущенной поверхности до начала технологического процесса, 0 — угол между

направляющей потока и нормалью к той поверхности, которая сформировалась в результате возмущений на микронном уровне (см. модель Бредли—Харпера). Локально 0 ~ const, но не обязательно 0 = 0. Наконец,

Y с

JjY, во =Р-

а

cos(0c - 0)

, р1 = sin 0 cos 0.

В свою очередь, р — плотность материала мишени, /0 — плотность потока первичных ионов,

Y = Y(0C - 0) — коэффициент распыления. Если использовать формулу Ямамуры, то

Y(0с -0) =

(cos(0c - 0))

5с eXPl а"

а

cos(0c - 0)

с

а S0, а, в — некоторые постоянные, участвующие в процессе (ионов пучка и материала мишени).

Заметим, что р0 = 0, если cos(00 - 0) =а, т.е.

©о - 0 ~ © . Так, например, в системе Si-N+ при энергии пучка 5 кэВ получаем, что ©кр « ~ 75° (1.31 рад). Функция H = H(t, x) задает формулу возмущенной поверхности в системе координат xOz в момент времени t в точке с координатой x,

Й = H(t, x - lx), lx = l sin(00 - 0) cos 0.

В частности, если 00 - © = 0(lx = 0), то уравнение вырождается в обычное уравнение теплопроводности

Ht =

у которого при стандартных краевых условиях все решения H(t, x) стремятся к состояниям равновесия Й = 0(Й = Й0 = const). Поэтому далее априори считаем, что ©0 - © Ф 0, но не запрещен вариант, когда 0 Ф |©0 - ©| <§ 1.

Для дальнейших построений удобно и целесообразно перейти к новым переменным (независимым и зависимым). Положим

ti =

п,

x

l'

Й Й u = — w = —

Л l

(2)

В нормировках (2) фигурирует постоянная П > 0. Ее конкретное значение будет выбрано ниже. В работе [2] было предложено считать, что

Пу 0Р0 = 1.

Последняя регламентация достаточно удобна, если коэффициент р0 отличен от нуля квалифицированно. Если р0 ~ 0, то замена приводит к уравнению, которое следует интерпретировать как сингулярное.

Будем считать, что р0 « 0, а нормировка иная, но похожая Пу0/1 = 1. Второе отличие состоит в том, что нормирующий множитель в замене для х также изменен: 1/ 1х на 1/1 (см. [2]). Второе отличие менее принципиально. Теперь к = 1х/1 = 8т(©0 - ©)ео8 ©, т.е. к < 1 и часто |к| <§ 1, но конечно |к| Ф 0, так как предположено, что ©0 - 0 Ф 0.

В результате замены (2) уравнение (1) перепишется в иной форме (индексы "1" у новых независимых переменных опущены)

ut = auxx - cwx + 5(u - w) + b2hwx -

3 X

- b3hwx + 5b1h(u - w)wx - Sb4h(u - w)wx,

(3)

где

Dn

u = u(t, x), w = w(t, x) = u(t,x - h), a = x

l

h = sin(00 -0)cos0, c = h,

bx = cos 0sin 0, b3 = (cos 0sin 0)x (b3 = bX), 8 = p0, b1 = cos 0/cos(00 - 0), b4 = b1(cos 0 sin 0).

В уравнении (3) оставлены нелинейные слагаемые до третьего порядка включительно. Последнее допущение характерно для многих нелинейных задач математической физики и механики. В нашем случае можно отметить, что если оставить члены более высокого порядка малости, то коэффициенты будут иметь порядок 2-к, где к — степень отброшенного слагаемого. С учетом того обстоятельства, что согласно предположениям |5| <§ 1, можно ограничиться приближенным вариантом НУЭ, которое осмысленно, если 00 - 0 « 0кр.

Итак, вместо уравнения (3) далее будем рассматривать следующую его версию

Щ = аыхх - Шх + Ьтк^2 - Ьъкм!ъх. (4)

Без нарушения общности можно считать, что к > 0. Если к > 0, то замена х ^ -х приводит к первому варианту. Как обычно, дифференциальное уравнение (4) будем рассматривать вместе с периоди-

ческими краевыми условиями (см. мотивацию в работах [2, 3, 7, 8])

u(t, x + Xd) = u(t, x), (5)

где d > h(d > 1). Последнее предположение естественно, так как разумно считать, что период до перенормировок был больше, чем длина свобод-

h

ного пробега l, а h < 1. Обычно - <§ 1.

d

Далее перейдем к математическому анализу нелинейной краевой задачи (4), (5). Отметим две ее особенности. Во-первых, она имеет семейство однородных состояний равновесия u(t, x) = C, где С — произвольная постоянная. Во-вторых, краевая задача (4), (5) инвариантна относительно преобразования Галилея u ^ u + const. Поэтому в дальнейшем будем считать, что до момента начала технологического процесса однородное состояние равновесия выбрано следующим образом

u = 0.

Далее будет изучаться окрестность этого состояния равновесия в смысле нормы пространства начальных условий данной краевой задачи

«(0, х) = / (х). (6)

С математической точки зрения естественно считать, что /(х) е Н22 — пространству Соболева периодических функций с периодом 2я/ й, у которых конечна норма

\\Иi

+

/ IIX, +11 f "II

Li'-

IIZ2

inj d

f (x)dx.

При таком выборе/(х) смешанная задача (4), (5), (6) локально корректно разрешима (см., например, [4]).

1. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОРОДНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ

Для исследования устойчивости состояний равновесия (и = 0) следует рассмотреть линейное приближение краевой задачи (4), (5):

ut = A(a)u, u(t, x + id) = u(t, x),

(7)

(8)

K = -a (n

n2 - i П hn exp (-i nhn\,

d \ d I

vn(x) = exp (i ^x), n = 0; ±1; ±2,....

Пусть Xn = Tn + ia„, а = —, a = a0h2. В нашем слу-

d

чае X 0 = 0, а при n ф 0 имеем

тn = тn(a) = —a0an — an sin an,

an = an(a) = —an cos an.

Для устойчивости достаточно проверить выполнение неравенства

Т„ < 0 (n Ф 0).

(9)

где дифференциальный оператор А(а) определен равенством

А(а)у(х) = ау"(х) - ку(х - к),

а у(х) периодическая функция с периодом 2я/й, имеющая достаточное число производных. В обозначении для линейного дифференциального оператора (ЛДО) А(а) подчеркнута зависимость от нормированного коэффициента а. Напомним, что а пропорционален 1//, где J интенсивность потока (убывает при увеличении интенсивности). Поэтому, наряду с к, одним из основных параметров задачи будем считать а.

Как обычно, для исследования устойчивости решений вспомогательной краевой задачи (7), (8) найдем ее решения вида и(?, х) = ехр(Х1)у(х)(у(х) Ф 0), где X — действительное или комплексное число. Такие X и у(х) — решения следующей задачи А(а^(х) = Ху(х), где у(х) удовлетворяет краевым условиям (8), т.е. X — СЗ(собственное значение), а у(х) — СФ (собственная функция) линейного оператора А(а). Откуда

Если же тк > 0 при некотором к, то нулевое решение вспомогательной краевой задачи (7), (8) неустойчиво. При а0 > 1(а > к ) выполнено неравенство т„(а) < 0 (п Ф 0) при любых а0(а) и а(к). Если же а0 = 0(а = 0), то последовательность тп(0) меняет знак. Следовательно, существуют такие а0(а), что выполнены два условия: 1) тп(а) < 0 при всех п; 2) тт(а) = 0 при т ф 0 (всегда X0 = 0). Последний случай назовем критическим, а наибольшее из возможных а = акр(а0кр) — критическое значение параметра а. Последние замечания означают, что потеря устойчивости происходит при уменьшении а и после достижения некоторой критиче-

ской величины a,

кр-

Пусть выполнено равенство т т(а) = 0 при некоторых т ф 0 и а > 0. Тогда оно эквивалентно равенству:

a = -

2 ■

an sin an

nn d

i

= -h

i sin na na

Иначе a0 = -

sin na na

Обозначим yn = na, yn =

= — sinyn/yn, Ясно, что lim у n = 0 и, кроме того,

существуют номера n = n, при которых yn >

j

>0 (sinyn < 0). Последнее замечание заведомо справедливо, если а относительно мало (a е (0; я/2] — например). Поэтому существует а0кр = = max у n > 0(акр = ^2а0кр) и это наибольшее значе-

n*0

ние достигается при некотором m > 0 (а также и при —m в силу четности функции у (у)).

0

При y > а изучим у (y) более детально. Отметим два ее свойства, используемые далее:

1) lim y(y) = 0;

2) необходимое условие экстремума (у '(y) = 0) выполнено в точках y = цк, к = 1,2,..., а координаты цк находятся из уравнения

П = tgn.

Последнее уравнение при п > 0 имеет счетный набор корней 0 < п1 < П2 < • •• < Пк < Пк+1 < — Для корней с нечетными номерами справедливо неравенство у(п2р-1) = Vp > 0. Поэтому max y(y) =

ye[0;»)

= max y p. Стандартно проверяется, что =

peN

= 1 + np. Откуда max y p = y1. При малых a верно приближенное (необязательно точное) равенство yт « n(ym «

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Электроника. Радиотехника»