научная статья по теме ВЗАИМНАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ГЕНЕРАТОРОВ С АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «ВЗАИМНАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ГЕНЕРАТОРОВ С АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2009, том 54, № 6, с. 726-732

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ

УДК 519.9

ВЗАИМНАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ГЕНЕРАТОРОВ С АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ

© 2009 г. Э. В. Кальянов

Поступила в редакцию 31.03.2006 г.

Предложена новая автоколебательная система с хаотической динамикой, основнная на возбуждении нелинейного осциллятора путем создания автопараметрической запаздывающей обратной связи. Рассмотрено взаимодействие двух таких автоколебательных систем, когда в одной из них автономно реализован режим регулярных колебаний, а в другой хаотический, а также когда в обеих подсистемах автономно возбуждаются хаотические движения. Рассмотрено влияние запаздывания в элементах связи на процесс взаимодействия хаотических связанных подсистем.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время наряду с синхронизацией генераторов регулярных колебаний известна возможность синхронизации автоколебательных систем с хаотической динамикой. Явления, наблюдающиеся при неавтономной работе хаотических систем, естественно, значительно сложнее, чем в случае регулярных колебаний и они исследованы в меньшей степени, особенно в хаотических генераторах с запаздыванием.

Как известно, в генераторах регулярных колебаний при неавтономной работе и в случае взаимной связи возможны два режима - синхронный и асинхронный. При синхронном режиме частоты взаимодействующих колебаний совпадают или кратны. Этот режим использовался для сложения мощностей при взаимной синхронизации колебаний [1], при стабилизации частоты с помощью слабого сигнала [2] и самосинхронизации [3], а также для преобразования колебаний (деления и умножения частоты) [4]. Асинхронный режим, при котором наблюдаются биения (нелинейные) при наличии частичного увлечения частоты, широко применялся для преобразования колебаний во времена развития автодинного приема информации. Известны различные функциональные преобразователи на основе связанных генераторов [5].

По аналогии с генераторами регулярных колебаний в простых хаотических автоколебательных системах, описываемых, например, уравнениями с полутора степенями свободы, следовало ожидать тоже два режима - синхронный и асинхронный, но в более сложном проявлении и, возможно, с менее четким их разделением. При этом синхронный режим должен проявляться в воспроизведении воздействующих колебаний или в генерировании синхронных хаотических движений, а асинхронный - в частичном увлечении при сложных биениях, которые могут способствовать развитию хаоса. Однако в литературе описано достаточно много режимов синхрони-

зации применительно к простым генераторам хаоса: полная, обобщенная, частичная, фазовая и др. [6]. При этом различие между некоторыми видами синхронизации, как показано в [7], несущесщественное. В то же время при синхронизации сложных хаотических систем, описываемых уравнениями с запаздывающим аргументом, наряду с обычным поведением систем с запаздыванием, наблюдающимся в неавтономной системе [8], основанной на упрощенной модели Мэки-Гласса, возможны особенности, которые относительно мало исследованы. Например, с помощью внешнего сигнала в многомодовой хаотической системе с запаздыванием реализуется принудительное переключение взаимодействия на одну из многих мод [9].

Хаотические системы представляют большой научный интерес [10-15]. Они также важны для применения на практике [16], так что необходимость их дальнейшего изучения не вызывает сомнений. Исследование новых хаотических систем с запаздыванием и, в частности, их взаимной синхронизации остается актуальным.

В данной работе новый способ создания автопараметрических систем с запаздыванием рассмотрен применительно к нелинейному осциллятору и приводятся результаты численного анализа процесса их взаимной синхронизации.

1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВЯЗАННОЙ СИСТЕМЫ

В качестве исходных соотношений удобно выбрать параметрическую систему связанных осцилляторов, описываемую нелинейными уравнениями Матье [17]

2 2 3

й х^йг + к1йх11 йг + (1+ Аео8Ог)х1 + х1 = = СХ( йхI йг - йх{ I йг),

где г,] = 1, 2; кг - параметры потерь; А, О - амплитуда и частота внешнего сигнала; С - коэффициент взаимной связи.

Уравнения (1) исследовались в работе [17] как система связанных хаотических генераторов; на основе этих уравнений развита теория взаимной синхронизации. Однако парциальные подсистемы, описываемые приведенными уравнениями, не являются автоколебательными, а явление синхронизации, как отмечается, например, в [6], присуще именно автоколебательным системам. В соответствии с этим в системе (1) происходит не взаимная синхронизация автоколебаний, а лишь установление стационарного режима при параметрической накачке сложной системы, описывающей модель связанных нелинейных осцилляторов.

Для создания на основе связанных осцилляторов (1) хаотической автоколебательной системы введем вместо гармонического внешнего сигнала колебания самой системы, задержанные на время т с помощью автопараметрической запаздывающей обратной связи. В этом случае уравнения (1) преобразуются к виду

й2 / йг2 + к{йХ{/ йг + (1 + д ¡хн) + х3 =

(2)

(3)

= - к 1У1 - [ 1 + ?1 Х1 (г - т)]Х1 - х! + С[у2 - У1 ], йх2/йг = у2, йу2/йг =

= - к2У2- [ 1 + <?2Х2(г - т)]Х2- Х3 + С[У1 - У2] .

Расчеты прододились методом Рунге-Кутта четвертого порядка при шаге интегрирования 0.0025. Неизменяемые параметры к1 и к2 заданы при численном анализе так, что к1 = к2 = к = 0.2.

2. АВТОНОМНАЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ ПОДСИСТЕМА

С целью выбора режимов работы взаимодействующих автогенераторов целесообразно рас-

1.6

0.8

0

12

Ч

Рис. 1. двухпараметрическая бифуркационная диаграмма автономной автопараметрической системы.

смотреть работу автономной парциальной подсистемы, описываемой уравнениями (3) при С = 0, так что, опуская индексы, будем иметь

йХ/йг = У,

3

йУ/йг = - кУ - [ 1 + дХ(г - т)]Х - Х ,

(4)

= СХ(йХ^/йг - йХг/йг),

где Хгт = Х(г - т). Параметр д г определяет величину обратной связи.

Система (2) уже позволяет исследовать процесс взаимной синхронизации хаотических автоколебательных подсистем. Возбуждение хаоса в каждой автономной подсистеме можно ожидать в связи с тем, что запаздывающие колебания Хт при достаточно большой задержке воздействуют подобно внешнему сигналу.

При численном анализе система (2) записывалась в виде

йХ1/йг = у1, йУ1/йг =

На рис. 1 приведена двухпараметрическая бифуркационная диаграмма, построенная на основе серии однопараметрических диаграмм, отображающих изменение максимальных значений колебательного процесса Х(г) в зависимости от параметра д при различных значениях запаздывания т. Однопараметри-ческие дианраммы рассчитывались при адиабатическом уменьшении коэффициента автопараметрической обратной связи т.

Область 1 на диаграмме рис. 1 соответствует отсутствию автоколебаний. Она сужается с увеличением запаздывания. Область 2 отображает режим, при котором существуют колебания с простым предельным циклом. Область 3 соответствует сложным движениям, отображающим переход от простых колебаний к хаосу, а область 4 - хаотическим колебаниям. С увеличением запаздывания хаотические колебания возбуждаются при меньших величинах коэффициента автопараметрической обратной связи. Из диаграммы рис. 1 следует, что параметр д должен быть больше единицы и является, по существу, не коэффициентом обратной связи, а параметром линейного усиления в цепи дополнительной обратной связи, обеспечивающей автопараметрическое воздействие.

Характерные фазовые портреты и спектры мощности £, рассчитанные при т = 1.2 и соответствующие регулярным и хаотическим режимам на диаграмме рис. 1, приведены на рис. 2 и рис. 3. Рис. 2а и кривая 1 рис. 3 рассчитаны, когда начальные условия для переменных соответствующих значениям этих переменных при д = 3.9 (область 2), а рис. 26, 2в и кривые 2 и 3 рис. 3 - когда начальные условия для переменных соответсвуют значениям этих переменных при д = 10 и д = 12 (область 4). Видно, что в режиме, соответствующем области 2, траектория

т

3

4

(а)

-500

У

-600

Рис. 2. Фазовые портреты при регулярном (а) и хаотических (б, в) режимах работы: q = 3.92929 (а), 10.07314 (б), 12.075418 (в).

движения в фазовом пространстве {х, у} имеет вид простого предельного цикла, спектр мощности является дискретным и отображает нелинейный характер колебаний. В области 4 аттракторы являются хаотическими, а спектры мощности непре-

дБ

-15 -

-35

-55

Рис. 3. Спектры мощности при регулярном (кривая 1) и хаотических (кривые 2 и 3) режимах работы: q = = 3.92929 (1), 10.07314 (2), 12.075418 (3).

рывными, занимающими широкие полосы частот. При этом аттракторы и спектры мощности свидетельствуют о хорошем перемешивании фазовых траекторий.

Приведенные результаты показывают возможность возбуждения регулярных автоколебаний в автопараметрической системе, а также возможность их хаотизации. Хаос реализуется в широком интервале изменения параметров т и q.

3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РЕГУЛЯРНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

На рис. 4а, 46 приведены бифуркационные диаграммы, иллюстрирующие изменения максимальных значений колебательных процессов соответственно х1(г) и х2(г) в зависимости от параметра связи. При этом параметры первой подсистемы такие, что автономно возбуждаются регулярные колебания, фазовой портрет которых отображается рис. 2а, а спектр мощности - кривой 1 рис. 3. Хаотический аттрактор и спектр мощности, приведенные на рис. 26 и рис. 3 (кривая 2), соответствуют автономным колебаниям в режиме, выбранном для второй подсистемы.

В первой подсистеме регулярные колебания сохраняются в интервале изменения параметра связи С е [0, 1.5], за пределами которого колебания хао-тизируются, что отображается нерегулярным разбросом точек, соответствующих максимальным величинам колебательного процесса. Во второй подсистеме регуляризация колебаний происходит в интервале изменения параметра связи С е [0.2, 1.5]. За пределами этого интервала изменения С сохраняется режим хаотических движений, но влияние связи с первой подсистемой проявляется. В режиме регулярных колебаний устанавливаются колебания, которым соответствует дв

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Электроника. Радиотехника»