МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2012, том 41, № 1, с. 30-35
ТОНКИЕ ПЛЕНКИ
УДК 533.951:537.5:519.6
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ Н-ВОЛНЫ С ТОНКОЙ МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПЛЕНКОЙ © 2012 г. А. В. Латышев, А. А. Юшканов
Московский государственный областной университет E-mail: avlatyshev@mau.ru, yushkanov@inbox.ru Поступила в редакцию 15.09.2010 г.
Показано, что для тонких металлических пленок, толщина которых не превышает толщины скин-слоя, задача допускает аналитическое решение для произвольных граничных условий. Проведен анализ коэффициентов прохождения, отражения и поглощения электромагнитной волны в зависимости от угла падения, толщины слоя, коэффициента зеркальности и частоты колебаний поля.
ВВЕДЕНИЕ
Задача о взаимодействии электромагнитной волны с металлической пленкой длительное время привлекает к себе внимание [1—5]. Это связано как с теоретическим интересом к этой проблеме, так и с многочисленными практическими приложениями.
Исследования взаимодействия электромагнитной волны с проводящей (в частности металлической) пленкой проводились в основном для случая зеркального рассеяния электронов на поверхности пленки. Это связано с тем, что для более общих граничных условий задача существенно усложняется и не допускает в общем случае аналитического решения. В то же время для реальных материалов коэффициент зеркальности при отражении электронов от поверхности как правило далек от единицы. Например, в работе [6] на основе анализа продольного магнитосопро-тивления тонкой металлической проволоки показано, что для натрия коэффициент зеркальности равен 0.3.
В настоящей работе показывается, что для тонких пленок, толщина которых не превышает тол-
Здесь с — скорость света, ] — плотность тока, к — волновое число (к = ю/с).
Обозначим толщину слоя через й.
Коэффициенты прохождения Т, отражения Я и поглощения А электромагнитной волны слоем описываются следующими выражениями [1, 7]:
щины скин-слоя, задача допускает аналитическое решение для произвольных граничных условий.
Отметим, что большая часть проведенных ниже рассуждений справедлива для более общего случая проводящей (в частности, полупроводниковой) пленки.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим тонкий слой металла, на который падает электромагнитная волна. Угол падения обозначим 0. Будем предполагать, что вектор электрического поля электромагнитной волны параллелен поверхности слоя. Такая волна называется Н-волной [3] (или Б-волной [1]).
Возьмем декартову систему координат с началом координат на одной из поверхностей слоя, осью х, направленной вглубь слоя. Ось у направим параллельно вектору электрического поля электромагнитной волны. Тогда поведение электрического и магнитного полей волны внутри слоя описывается следующей системой диффе-ненциальных уравнений [3]:
(1)
T = - P(1) - R 2>|2, (2a)
R = 1 |P(1) + P(2)|2, (2b)
—у - ikHz = 0, dx
d-HH + ik( sin20 - 1) Ey = - **jy. dx c
А = 1 - Т - Я.
(2с)
Величины Р® ( = 1, 2) определяются следующими выражениями
р(1) _ ео8 6 - 1 1 _ 12
ео8 6 + 1'
(3)
Величины же Я-1 и ^2) соответствуют импедансу на нижней поверхности слоя при антисимметричной по электрическому полю (случай 1, когда Еу(0) = —Еу(оТ), Н(0) = Иг(а)) и симметричной по электрическому полю (случай 2, когда Еу(0) = Еу(а), Н(0) = —Н(й)) конфигурации внешних полей.
Импеданс при этом в обоих сдучаях определен следующим образом
¿1) _ Еу(-0) Н- (-0 ).
(4)
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРОХОЖДЕНИЯ, ОТРАЖЕНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ В ТОНКОМ СЛОЕ
Рассмотрим случай, когда ширина слоя а меньше глубины скин-слоя 5. Отметим, что глубина скин-слоя существенно зависит от частоты излучения, монотонно уменьшаясь по мере роста последней. Наименьшее значение величина 5 принимает в так называемом инфракрасном случае [8]
5о = Ю,
Юр
юр — плазменная частота. Для типичных металлов [8] 50 ~ 10-5 см.
Таким образом для пленок, толщина которых d меньше 50 наше предположение справедливо для любых частот.
Электрическое и магнитное поля мало меняются на расстояниях меньше глубины скин-слоя. Поэтому при выполнении данного предположения d < 5 эти поля будут мало меняться внутри слоя. В случае 1, когда Нг(0) = Иг(а), можно принять, что величина И1 постоянна внутри слоя. Изменение же величины электрического поля на толщине слоя можно определить из первого уравнения системы (1)
Еу(а) — Еу(0) = ikdHz.
Учитывая антисимметричный характер электрического поля в этом случае получаем
Е,( 0) = -кНН-
Соответственно (4) для импеданса имеем
Я1 = —kd/2. (5)
Для случая 2, когда Еу(0) = Еу(а), постоянным внутри слоя можно считать электрическое поле, которое обозначим через Еу. Тогда изменение магнитного поля на ширине слоя можно определить из второго уравнения системы (1)
d
Нг(1) - (0) = 1кй( 8Ш26 - 1)Еу - — 1 (х) йх. (6)
о
При этом
]у(х) = ст(х)Еу,
ст(х) — проводимость, которая в общем случае зависит от координаты х. Введем проводимость, усредненную по толщине слоя
а а
_ Ей 1(х)йх _ 1 !а(х)йх. (7)
0
Тогда соотношение (6) можно переписать в виде
Щ1) - Нг(0) = 1кй{аи26 - 1)Еу - 42°йЕу. Учитывая симметрию магнитного поля, отсюда получаем
Н (0) = -11кй( аи26 - 1) Еу + 4п1^Еу.
0
Для импеданса (4) получаем
^2) =
2 с
2
- ¡сЫ(бш 0 - 1) + 4пй
Предположим далее, что длина волны падающего излучения существенно превосходит толщину слоя. Это предположение выполняется для большинства случаев, когда толщина слоя меньше
глубины скин-слоя. Тогда величина кй < 1 и в выражениях для импедансов ей можно пренебречь. При этом получаем
Я» = о, Я2) =
2 п йуй
р( 1) = с СОБ 0 - 2 п й У л р( 2) = -1 с СОБ 0 + 2пй ст/
В соответствии с выражениями (2а) и (2Ь) по-
лучаем
Т =
Я =
А =
С СОБ 0
С СОБ 0 + 2пй Уй 2п й уй
С СОБ 0 + 2 п й Уй 4 с п Яе(стй) й соб 0 С СОБ 0 + 2п й стй
Т=
+в -
(8а) (8Ь) (8с)
Я =
В предельном случае непроводящего слоя, когда уй ^ 0 из этих выражений имеем Т ^ 1, Я ^ 0, А ^ 0. При почти касательном падении, когда 0 ^ п/2 получаем Т^ 0, Я ^ 1, А ^ 0.
Если обозначить
В =
2п й
С СОБ 0
то формулы (8) можно записать в компактном виде:
1
1 + В
-12
А=
2ЯеВ
|1 + В 2
(9)
Рассмотрим случай металлической пленки. низкочастотном случае, когда ю ^ 0, величина Пусть выполняется соотношение кй < 1. Тогда в может быть представлена в виде [9]
2
2
V й
уй = ФГ-)CTo, * = Г Ф( V) I
(10)
Здесь
1
1
Ф(^) V 2^
:(1 -Р) {(
1 1А 1 -
г 1 - ре
- М.
а!
Здесь I — длина свободного пробега электронов, р — коэффициент зеркальности, ст0 =
= юр т / (4 п) — статическая проводимость объемного образца, т = 1/чЕ — время свободного пробега электронов, ^ — скорость электрона на поверхности Ферми. Предполагается, что поверхность Ферми имеет сферическую форму.
В низкочастотном случае, когда применима формула (10), коэффициенты Т, Я, А в соответствии с формулами (8) не зависят от частоты падающего излучения.
Для произвольных частот выражения (8) остаются в силе при условии, что в качестве величины I необходимо использовать следующее выражение
0 0.7 1.4 п/2
9
Рис. 1. Зависимость коэффициентов прохождения (кривая 7), отражения (кривая 2) и поглощения (кривая 3) от величины угла падения д, 0 < 0 < п/2, а = 10-7 см, ю = 10-2 юр, р = 0.5.
а
Рис. 2. Зависимость коэффициентов прохождения (кривая 7), отражения (кривая 2) и поглощения (кривая 3) при нор_7 _6 _1
мальном падении волны (0 = 0), от величины толщины слоя а, 10 7 см <а < 10 6 см, ю = 10 1 юр, р = 0.5.
Р
Рис. 3. Зависимость коэффициентов прохождения (кривая 7), отражения (кривая 2) и поглощения (кривая 3) от величины коэффициента зеркальности р (0 < р < 1) при нормальном падении волны (0 = 0), ю = 10-1 юр, а = 10-7 см.
ю/юр
Рис. 4. Зависимость коэффициента отражения Я от величины частоты колебаний поля и при различных значениях толщины слоя а и при нормальном падении электромагнитной волны (0 = 0). Кривые 7—3 отвечают значениям а = 10_7 см, 2 х 10_7 см, 3 х 10_7 см. Коэффициент зеркальности равен нулю (р = 0).
ю/юр
Рис. 5. Зависимость коэффициента отражения Я от величины частоты колебаний поля ю при различных значениях толщины слоя а и при нормальном падении электромагнитной волны (0 = 0). Кривые 7—3 отвечают значениям а = 10_7 см, 2 х 10_7 см, 3 х 10_7 см. Коэффициент зеркальности равен единице (р = 1).
l ^
V¡гт 1 -1 ют'
а вместо а0 выражение
а 0 ^
1 -1 ют
В случае произвольных частот коэффициенты прохождения, отражения и поглощения вычисляются и по формулам (9), в которых
м = 1 (1 - Iют),
В =
2 п 1 а 0
с еоБ 6( 1 -1 ют)
-<' - р) Л1 - ') -1 -е
м Л {3 {V 1
-ре
а
ад
Рассмотрим случай тонкого слоя калия. Тогда [1] юр = 6.5 х 1015 с-1, = 8.52 х 107 см/с. Частоту объемных столкновений электронов возьмем равной V = т-1 = 10-3 юр. На рис. 1-3 соответственно изображена зависимость коэффициентов коэффициентов прохождения, отражения и поглощения от угла падения электромагнитной волны на границу, от толщины слоя и от коэффициента зеркальности. На рис. 4 и 5 изображена зависимость коэффициента отражения от частоты колебаний электромагнитного поля при различных значениях толщины слоя. На рис. 4 рассматривается случай, когда коэффициент зеркальности равен нулю. На рис. 5 рассматривается случай, когда коэффициент зеркальности равен единице.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Из рис. 1 видно, что зависимости всех коэффициентов Т = Т(0), Я = Я(0) и А = А(0) начинают сильно проявляться вблизи 0 = п/2. При этом коэффициент поглощения имеет гладкий максимум вблизи точки 0 = п/2.
Интересно отметить (см. рис. 2), что величина коэффициента поглощения практически не зависит от толщины слоя й (при изменении й от 10-7 до 10-6 см). При этом изменении й примерно в 2 раза коэффициент прохождения уменьшается, а коэффициент отражения увеличивается (также в 2 раза).
На рис. 3 впервые выясняется зависимость коэффициентов Т = Т(р), Я = Я(р) и А = А(р) от величины коэффициента зеркальности. Коэффициенты Т, Я, А обнаруживают сильную зависимость от коэффициента зеркальности, что выясняется впервые. С ростом коэффициента зеркальности коэффициент отражения растет, а коэффициент поглощения уменьшается.
Анализ графиков на рис. 4 и рис. 5 показывает, что с ростом частоты колебаний коэффициент
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.