БИОФИЗИКА, 2013, том 58, вып. 3, с. 531-539
БИОФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 576.3
ВЗАИМОДЕЙ СТВИЕ МЫШЕЧНОЙ КЛЕТКИ И ВНЕШНЕГО МЕХАНИЧЕСКОГО ПОЛЯ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
© 2013 г. Н.С. Бирюков, И.В. Огнева
Государственный научный центр Российской Федерации - Институт медико-биологических проблем РАН,
123007, Москва, Xорошевское шоссе, 76а E-mail: iogneva@yandex.ru Поступила в p едакцию 12.09.12 г.
На основе теории тонкостенных упругих стержней предложена математическая модель мембраны мышечной клетки, в которой учтены внешние механические воздействия. Проведена численная оценка деформации, возникающей в волокнах различных скелетных мышц голени в условиях антиортостатического вывешивания грызунов. Показано, что наибольшие деформации характерны для волокон камбаловидной мышцы и их величина связана с жесткостью подмембранного цитоскелета.
Ключевые слова: механочувствительность, мышечное волокно, микрогравитация, математическое моделирование.
Клетка, как и любая механическая система, во внешнем поле находится в напряженном, с точки зрения механики, со стоянии. Изменение внешнего воздействия (его вектор а, амплитуды) закономер но пр иведет к изменению механического напряжения в клетке и возникновению деформаций. Ур овень значимости, последствия этих деформаций для клетки будут зависеть от собственных механических характеристик клетки и чувствительности ее механосенсоров.
П роцесс преобразования физических сигналов в биохимические и формирование адекватного клеточного ответа называется механо-трансдукцией или механочувствительностью [1]. При этом ключевым вопросом является величина силы, способной приводить к запуску клеточного ответа.
Силовое воздействие может быть оказано на клетку с помощью различных экспериментальных методов, и если приложенная сила достаточна, то может быть проанализирована и реакция клетки. Так, авторы работы [1] показали, что для клеток эндотелия критическим является напряжение сдвига, равное 1 Па. В пересчете на площадь в 1 мкм2 сила составляет примерно 1 нН. Уровень силы, необходимой для изменения конформации и других белков, также может быть определен. Его верхней оценкой можно считать силу, необходимую для разрыва связи между двумя белками. Так, для диссоциации фибронектина от интегрина требуется сила 30-100 пН [2]. Для разворачивания доменов фибронектина необходимо 3-5 пН [3].
В работе [4] показано с использованием лазерных пинцетов, что для диссоциации альфа-ак-тинина, а также филамина, от актина требуется сила 40-80 пН.
При этом все клетки можно условно разделить на два типа: клетки, формирующие внутреннее напряжение только в ответ на внешнее воздействие, и клетки, способные, дополнительно к этому, генер ир овать собственное механическое усилие - мышечные клетки. Мышечные клетки имеют особое строение, развитый ци-тоскелет, который занимает большую часть клетки и формирует сократительный аппарат. Ввиду этих особенностей структуры мышечных клеток и опр еделяющей роли сократительного аппарата в генерации механического напряжения, механосенсор мышечных клеток может быть связан с их сократительным аппаратом, например с М-линией [5].
Однако подмембранный цитоскелет мышечных клеток в целом схож с подмембранным цитоскелетом немышечных клеток, за исключением некоторых особых точек (в частности, в области проекции Z-диcка и М-линии на мембрану). Поскольку формирование клеток происходило в условиях постоянно действующей внешней механической силы, то можно полагать, что по крайней мере первые акты механорецепции могут быть связаны с компар-тментом, универсальным для любого типа клеток - мембраной с подмембранным цитоскеле-том. В связи с этим возникает вопрос: какая сила действует на мембрану мышечного волок-
531
10*
на при изменении вектор а и величины силы тяжести, при изменении уровня сокр атительной активности волокна, и может ли это воздействие привести к изменению собственных меха -нических характеристик мышечных клеток и запуску клеточного ответа?
Для ответа на эти вопро сы необходимо оценить напряжения и дефор мации, возникающие в сарколемме мышечных клеток при изменении внешних механических условий. Подобная оценка требует данных о продольной и поперечной жесткости сарколеммы, поскольку мышечная клетка представляет собой трехмер ную конструкцию [6]. Однако в продольном направлении сделать это весьма затруднительно, поскольку вклад сократительного аппарата в измеряемую продольную жесткость на несколько порядков выше, нежели сарколеммы. Ранее нам удалось определить жесткость сар колеммы при поперечном нагружении с использованием атомного силового микроскопа [7], причем в экспериментах с изменением внешних механических условий для скелетных мышц и сердечной мышцы грызунов. Изменение внешних механических условий было реализовано общепринятым методом при антиортостатическом вывешивании животных за хвост на угол 30° относительно пола клетки (метод Ильина-Новикова в модификации Морей-Холтон [8]). Антиорто статическое вывешивание животных приводило, с одной стороны, к разгрузке задних конечностей, а с другой - к увеличению механического напряжения на кардиомиоциты. Кроме того, изменялась и ориентация волокон скелетных мышц и кардиомиоцитов в поле силы тяжести.
Тем не менее наличие экспериментальных данных только о поперечной жесткости мембраны с кортикальным цитоскелетом не дает возможности оценить в целом влияние изменения вектора силы тяжести на сарколемму и ее возможного участия в актах первичной меха-норецепции. Все вышеизложенное определяет необходимость построения математической модели сар колеммы мышечной клетки.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
что позволяет отнести эту конструкцию к длинным цилиндрическим оболочкам, называемым тонкостенными стержнями [9].
Для этого вида конструкций характерно, что поперечные сечения, плоские до деформации, искривляются по некоторой поверхности W(х,г) - депланации сечения. Для стержней закрытого профиля, к которым отнесем мышечное волокно, характерна равномерная по длине стержня депланация поперечных сечений, т.е. W (х,г) = W (х).
В задаче Сен-Венана: VW (х) = (УФ + х) х к, где Ф - «функция Прандтля», нижнее подчеркивание обозначает вектор. Для тонкого сечения в роли W может рассматриваться секто-риальная площадь. Тогда для рассмотрения участка мембраны между Z-диcком и М-линией воспользуемся постановками теории тонкостенных стержней. Будем рассматривать цилиндрический стержень с тонким односвязным сечением ¥ и объемной нагрузкой /. Для простоты рассмотрения будем считать, что один торец (г = г0) закреплен, а на другом (г = г1) задана поверхностная нагрузка р(х), представляющая собой результирующую между Z- и М-дисками, которую определим позднее.
Для описания данного трехмерного случая воспользуемся вариационным подходом [10]:
| йг\ (=8= - + | фиХг^ = 0,
(1)
и(х,г0), П3 = ц
( V ^
="=+
V /
где и - вектор перемещения, П3 - объемная энергия, ц - постоянная Ламэ, V - коэффициент Пуассона, £ - тензор деформации, гт£ - след тензора деформации (первый главный инвариант), двойное нижнее подчеркивание обозначает тензор.
Для вывода уравнений из вариационной постановки введем следующую аппроксимацию перемещения:
и(х_,г) = и = + и1 = и(г) + 0(г) х = + а(г Щ (=)=, (2)
Постановка задачи. Пусть 8 - толщина мембраны с кортикальным цитоскелетом, й - диаметр волокна, I - длина волокна. Тогда имеют место соотношения:
8<01 й<01 7 — 7 —
й I
где и(г) - трансляционное перемещение, 9(г) -вектор поворота, а(г) - угол закручивания на единицу длины, W(х) - функция депланации:
ДW = 0, = х к V W |Э¥ = = • =,
I - орт материальной (лагранжевой) координаты.
г
¥
¥
г
0
Допустим, что поперечные сдвиги отсутствуют, тогда:
и± = к! Х = К. (3)
Учитывая (3), аппроксимация (2) примет
вид:
т. е.
что
м(х,г) = Ц - К1х + е';Ж+ Ц + ег_ х х), (4)
м; = и;. - ц1_ + е';ж, = ЦЦ^ + е;! х к. (5)
Из классической теории упругости известно,
£ = Уы?, (6)
где 5 - символ симметрирования. Используя (4), (6) примет вид:
£ = и';кк - Щх к к + е"гЖк_ к + + е;ужк к + е;(! х = = (К - и1х_+)к к + е;((у ж + к х х)_)4 =
= егк к + е;(УФ х к к)4,
где УЖ + к х х = УФ х к и £; =
и! - ш"! х + еЖ,
г г
Тогда:
£ •• £ = £2 + е,2УФ|2
г 2 , (ггк)2 = £г2.
Подставляя (8) в (1), получим объемную плотность энергии:
(
п3 = И
£г2 + е
1 - V
|УФ|2
Л
+ ■
; ' 2 1 - 2v ;
V /
= и-—-£2 + ■Це'2|УФ|2. 1 - 2v г 2 г1 1
Так как и =
Е
2(1 + V)
, то :
П3 = Уе £г2 + це;2|УФ|2) ,
где
Е = Е-
±3 2Ч~' 1 - V
, Е - модуль Юнга.
п3 = |(К - КХ + е;ж )2 + и е;2|УФ|2 = (10) Е
= Е2[К ¡2 + (К.Х.)(К1Х.) + е;'2ж2 + + 2и[е"ж - 2и;и1х. - 2К[хе;> ] + -2 е!2|УФ|2.
Проинтегрируем (10) по сечению:
П1 ^ {п3^Е = Е-К^Е + и!\х + (11)
е е [е
+ е;2|ж 2dF +
Е Е Е
е^Ж 2йЕ + 2и[е;\жйЕ - 2Кги/1|х^Е -
2
Е Е
Е и
= Е2 (Еи'2 + КЦ К! + е;'2/0 - 2е;'^/ п + 2 се;2,
(7) где / = |х х^Е, I = {ж 2йЕ, \жйЕ = 0,
Е ЕЕ
к 21 = ¡ЖхйЕ, С = {|УФ|2^Е = 2|Ф^Е.
Е Е Е
Теперь найдем р аботу объемных нагр узок:
| !§ийЕ = | _£(8и/ + к х х8е; - х 15ц71 + ЖШ[)йЕ =
(8)
8к;|/;ёе + 8ц/1{ + !8е;{х х _йе -
Е Е Е
- к Х 8^ _£ х хй?е + 8е;{[_ шйе =
(12)
= 4;8к; + + т(к х 8ци1 + !8ег) + Ь8е;, где д; = | /;ёЕ, ц = | ¿¿Е, тт. = {к х .¿¿Е,
Е
(9)
(1 + v)(1 - 2v) С учетом (7), (9) примет вид:
Ь = | !7ЖйЕ - распределенный бимомент на еди-
Е
ницу длины.
Аналогично, работа нагрузок на торце:
| р8ыёЕ = 21;8К; + 2118Ц/1 + (13)
Е
+ м_1(к х 8цт1 + к х 8е;) + в 18е;,
Е
Е
Е
Е
V
Е
Е
где Й1; = | р;й¥, Йи = | р1й¥, Мл = \х х =>й¥, ¥ ¥ ¥ В1 = | ц7Щй¥ - бимомент на торце.
Учитывая полученные равенства (12) и (13), вариационное уравнение примет вид:
(17)
Е¿(Ц? - пег4)) - д1 = 0,
г=г 1 : E¿(U1 - ^7') = йШ Е= х /(цl - ^7') = 0, Еи^ 21 - Е/е;4) + цсе"г - Ь = 0,
г = ;1 : цСВ, - Е(/е; - ЦЦ 2=) - Ь = 0, Ъ(те" - Щи21) = В1, г = 0:и(х, г = 0)= 0.
¡[qz8Uz + =18Ц71 + ш{ = х 8Ц1 + _8е7) + Ь8е;]й;
ЭП, эп , эп эп
—18 и + —18Ц + —г8е! + эи 7 ЗиЛ -1 эе' г эе 7
18е:
й; +
' ЗП1 л .
а, + qz = 0, Й; = ^ = ^Ц, г1 : О; = Ок
7.
аа| + ц = 0, М1 + = х Й1 + тп1 = 0,
эп1 л '' '' м_. = = х —1 = Е= х =(ц - пе7), эц/± - 7
г1 : Й
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.