ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 5, 2014
УДК 539.375
© 2014 г. Мирсалимов В.М., Гасанов Ф.Ф.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИНОРОДНЫХ УПРУГИХ ВКЛЮЧЕНИЙ, ПОВЕРХНОСТЬ КОТОРЫХ РАВНОМЕРНО ПОКРЫТА ОДНОРОДНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПЛЕНКОЙ, И ДВУХ СИСТЕМ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРЕЩИН С КОНЦЕВЫМИ ЗОНАМИ
Азербайджанский технический университет, г. Баку
Рассматривается упругая среда (плоскость), ослабленная периодической системой круглых отверстий, заполненных шайбами из однородного упругого материала, поверхность которых покрыта однородной цилиндрической пленкой. Плоскость ослаблена двумя периодическими системами прямолинейных трещин со связями между берегами в концевых зонах. Строятся общие представления, описывающие класс задач с периодическим распределением напряжений вне круговых отверстий и трещин при поперечном сдвиге. Решение задачи сводится к решению двух нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Из решения этих уравнений находятся усилия в связях концевых зон. Условие развития трещины формируется с учетом критерия предельного сдвига связей материала.
В настоящее время во многих отраслях современной техники применяются технические средства в виде перфорированных элементов. В этой связи большое значение приобретает разработка методов расчета на прочность перфорированных элементов машин и конструкций с трещинами. Исследование этих вопросов важно в связи с развитием энергетики, химической промышленности и других отраслей техники, а также широким использованием материалов, имеющих периодическую структуру (композиты).
Достаточно полное представление о характерном распределении напряжений в микроструктуре линейно армированных материалов можно получить, исследуя распределение напряжений при сдвиге в плоскости, перпендикулярной к ориентации волокон. Решение этой задачи открывает новые возможности прогнозирования механических свойств композитных материалов по данным исходным характеристикам для составляющих компонентов и виду микроструктуры.
В большинстве работ (см. обзор работ [1, 2]) авторы ограничивались рассмотрением трещины Гриффитса, т.е. трещины с невзаимодействующими кромками. В структурно-неоднородных материалах при наличии вблизи трещины зон с нарушенной структурой в процесс разрушения вовлекается значительная часть трещины. В этом случае зону разрушения можно рассмотреть как некоторую концевую зону, примыкающую к трещине, с материалом с частично нарушенными межчастичными связями.
В настоящей статье принято, что берега трещины взаимодействуют в концевых зонах, причем силы этого взаимодействия, называемые силами сцепления, распределены таким образом, что вершина трещины перестает быть особой точкой напряженно-деформированного состояния.
1ху
т
т
ху
Рис. 1
Постановка задачи. Пусть имеется упругая среда, ослабленная периодической системой круглых отверстий, имеющих радиусы X (X < 1) и центры этих отверстий, находятся в точках Рт = тю (да = 0, ±1, ±2, ...), ю = 2.
Круговые отверстия плоскости (связующее) заполнены шайбами из однородного упругого материала, поверхность которых равномерно покрыта однородной цилиндрической пленкой. Плоскость ослаблена двумя периодическими системами прямолинейных трещин с концевыми зонами со связями между берегами (рис. 1). Модели трещин с концевыми зонами предложены [3] для хрупких материалов, а в [4, 5] рассматривались модели с концевыми зонами в состоянии пластического течения при постоянном напряжении. Берега трещин сдвига вне концевых зон свободны от внешних нагрузок, а на составное тело действуют напряжения ах = 0, ау = 0, тху = (сдвиг на бесконечности).
По мере возрастания внешней нагрузки на продолжении трещин будут возникать зоны предразрушения. Используется модель трещины со связями между берегами в концевых зонах предразрушения [6]. Концевые зоны трещин моделируются областями с ослабленными межчастичными связями в материале. В случае, когда длина концевой зоны трещины не является малой по сравнению с длиной трещины, то методы оценки сопротивления материала разрушению, основанные на рассмотрении трещины с малой концевой зоной, неприменимы. В этих случаях нужно моделирование напряженного состояния в концевой зоне трещины проводить с учетом деформационных характеристик связей.
Моделирование концевых зон состоит в рассмотрении их как части трещин и в явном приложении к поверхности трещин в концевых зонах сил сцепления, сдерживающих их раскрытие. Размеры концевых зон трещин считаются соизмеримыми по сравнению с длиной трещин. Взаимодействие берегов концевых зон моделируется путем введения между берегами зоны предразрушения связей с заданной диаграммой деформирования. Физическая природа таких связей и размеры зон предразрушения зависят от вида материала. При действии внешней нагрузки на составное тело в связях, соединяющие берега концевых зон трещин, будут возникать касательные усилия дх(х) и ду(х). Эти напряжения заранее неизвестны и подлежат определению.
Задача о напряженно-деформированном состоянии составной кусочно-однородной среды сводится к построению в каждой из областей, занятой средой, двух функ-
ций Ф(г) и У (г) по заданным условиям на границах упругих сред. Граничные условия в рассматриваемой задаче имеют вид
К - /ТГ0)ь\^т = (0 - "ге(и + '= (и + '
К-'тге^и = К - "л),\п , (и + 'и);\пт = (« + 'и),\пт;
I 7Я I 7Я 1 ™ 1 Тп
на берегах трещин с концевыми зонами (о,, — /'т^ = /Х(х) коллинеарных оси абсцисс, (ох — пху) = /у(х) коллинеарных оси ординат.
Здесь ют — граница раздела пленка—шайба; 0.т — граница раздела пленка—плоскость в ячейке с номером т; величины, относящиеся к покрытию, шайбе и плоскости, в дальнейшем обозначаются соответственно индексами ,, Ь и я; /Х(х) = 0 на свободных берегах трещин; /х(х) = — /дх(х) на берегах концевых зон трещин; /У(у)=0 на свободных берегах трещин коллинеарных оси ординат; /У(у)= —'ду(у) на берегах концевых зон трещин.
Основные соотношения поставленной задачи необходимо дополнить соотношениями, связывающими сдвиг берегов концевых зон трещин и усилия в связях. Без потери общности эти уравнения представим в виде
и+(х, 0) - и-(х, 0) = С (х, дх(х)) дх(х), и+( 0, у) - и — (0, у) = С (у, (у)) (у). (2)
Здесь функции С(х, дх(х)) и С(у, ду(у)) представляют собой эффективные податливости связей; (и+ — и—) — сдвиг берегов концевых зон трещин коллинеарных оси абсцисс; (и+ — и-) — сдвиг берегов концевых зон трещин коллинеарных оси ординат.
Граничные условия в рассматриваемой задаче для отыскания комплексных потенциалов имеют вид [7]
Фь(X!) + фь(Т1) - [ТФЬ(X!) + Уь(Т1)]е
2 ¡е
Ф,(X!) + Ф;(X!) - [Х1Ф;(X!) + ¥,(Т1)]е2¡е,
- ХьФь^!) + Фь(X!) - ^ФЬ(X1) + Уь(X!)]е =
= -{- Х;ФХГ7) + Ф;(X!) - ^Ф,(X!) + У;(X!)]е™},
М-;
2/е (3)
2ге
Ф;^) + Ф;(X) - [XФ ; (X) + У; (X)] в =
Ф^) + Ф^) - [XФ¡(X) + У^)]е2Ш,
2/е
-Х/Ф^) + Ф/X) - [XФ;(X) + У¡(X)]е
^\ - Х^;^) + Ф;(x) -
М-;
XФ; (X) + У; (X)
2/е
е
(4)
ф,(;) + ф,(;) + ;ф;( ;) + у, (;) = /х (;),
ф,( ;1) + ф, (;1) + ^ф; (;1) + у, (;1) = /у( ^).
Здесь X = Хе'в + тю; X! = (1 — к)е'в + тю, т = 0, ±1, ±2, ...; к — толщина покрытия; , и ^ — аффиксы точек берегов трещин, коллинеарных осям абсцисс и ординат, соответственно.
Таким образом, необходимо определить три пары аналитических функций Ф,(г), У,(г), ФЬ(г), УЬ(г) и Фя(г), Уя(г) из краевых условий (3), (4).
Решение краевой задачи. Решение краевой задачи (3), (4) ищем в виде
Ф(г) = Фх(г) + Ф2(г) + Фз(г), ВД = ^(г) + ^(г) + ЗД,
Ф*
(z) = i X a2kz2k, z) = i X b2kz2k,
k = 0
к = 0
Ф
(z) = i X ^2kz2k, 4,(z) = i X h2kz2k'
к = -да
k = -да
(5)
k=0
2k + 2 (2k), PV ( +2 (2k+1)! '
Ф1 (z) = < + i X a2k + 2 --P-Jz)
2k + 2 (2k)
z) = ni + i X в
2k + 2"
A - - P - ' ( z) - i
k=0
(2k + 1)!
; Xa
k=0
2k + 2"
л 2k + 2 ~(2k), ч A S ( z)
( 2 k + 1 ) ! '
Ф2( z) = fg(,) Ctg П( t - z) dt, ^2(z) = - —2 fg( ,) Sin -2П(t - z) d,, 2— J — 2—2 J —
Ф
,(z) = -2Ю Jg1(,1)ctg—(i,1 -z)(d,1),
z) = -2Ю J i g1( ,1) ctg —( i,1- z) +
ctg n(it1 - z) + -ПЧ 2t1 + iz) Sin n( it1 - z) ю 2— ю
g1 (,1) №.
Здесь g(t), g1(t1) — искомые функции.
g(x) = -IhLA[u+(x, 0) - (x, 0)] на L1, 1 + Xsdx
g1(y) = [u+(0, y) - u-(0, y)] на L2,
1 + isdy
(6)
где х = 3 — 4 V для плоской деформации, х = (3 — v)/(l + V) для плоского напряженного состояния; и — коэффициент Пуассона материала плоскости; ц — модуль сдвига;
* П 1 1 [ П 1
p(z) = (^—J sin zj - ' S(z) — специальная мероморфная функция [7]; инте-
гралы в (5) берутся по линиям L1 = {[—€, —a] + [a, €]}, L2 = {[—г, —b] + [b, r]|.
Из условий антисимметричности относительно координатных осей находим, что Ima2k = 0, ImP2k = 0, к = 1, 2, .... Из условия постоянства главного вектора всех сил, действующих на дугу, соединяющую две конгруэнтные точки в области D занятой материалом связующего, следует a0 = (л2/24)Р2Х2.
К основным интегральным представлениям следует добавить дополнительные условия, вытекающие из физического смысла задачи
да
да
со
со
со
со
L
2
L
2
+
;) й; = 0, £(;) й; = 0, ;1) ^ = 0, ;1) ^ = 0.
(7)
Неизвестные функции g(t) и g1(t1) и коэффициенты а2к, Ь2к, g2k, к2к, а2к, в2к должны быть определены из краевых условий (3), (4).
Применяя метод степенных рядов, получим совокупность бесконечных линейных алгебраических уравнений
¿2 к1!
2к
Ц ь - Ц ; " 1-Ц ь ( X ; + 1 ) -
{( 2 к + 1) а2к12 + ь2к - 211к 2 Ь Я-21!2 к
Ц ь + XьЦ -' 1-Ц ь ( X ; + 1 ) -
2к а2к11 ,
к- 2к - 2^ 2 = ( 2к + 1) а2к^ + ь2к - 2^ 2 +
Ц ь - Ц ; Ць( X ; + 1 )-1
2к
( 2 к + 1) а2к11 -
Ць- Ц; -(2к- 1)2ка1кх\к--А^Ц-(2к- 1)ь2к-2С + 2,
Ць(X;+ 1)
Ць^; + 1)
Н_ 2к- 21—2к-2 = а2к12к + (2 к + 1) а2к1?к-2-
2к 1
Ць (X;+ 1)
Ц, ( X ; + 1).. Ц;
Ц(ь Ц ){(2к- 1)а2к12к + ь2к_21?к + 2} (к = 1, 2, ...),
Ць Ш + 1)
¡'¿0 = -(X¡ + 1)
ХЛ 2/ + 2 .да л
а2/ + 21 га, /-1 Xxy + А0
= 0 ■
-(1 - ¡(2к - 1)¿2к 12к - (1 + X;¡¿—2к1-2к -Ц; Ц;
-И- ¡Л—2к-212^ 2 = (X, + 1)
^ £ а2/ + 21
= 0
2/ + 2 к + 2
О, к + А2к
1 - Ц-)(2к + 1)¡¿-2к1-2к- (1 + X;Ц ¡¿2к12к-Ц; Ц;
-(1-1Н—2к_21—2к-2 = -(X, + 1)(¡а-2к + А 2к),
(8)
'(¿212 - ¿-21 2) -/А0 = ^ а2/ + 212/ + \^ в2/ + 212/ + +
/ = 0
/ = 0
0, /
+ ; ^(2/ + 2)а 2/ + 212/ + \ / - "Гу + А
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.