ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005
© 2005 г. A.A. Переломова*, С.Б. Лебле*
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВИХРЕВЫХ И АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН. ОТ ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ
Уравнения для (2 + 1)-мерного возмущения в пограничном слое разложены на собственные моды: вихревую волну и две акустических волны. Уравнения состояния (аппроксимация рядом Тейлора) предполагаются произвольными. Моды определяются посредством локальных уравнений связи, которые выделяются из общей системы, линеаризованной на потоке в пограничном слое. Каждая такая связь определяет инвариантное подпространство и соответствующий проектор. Нелинейное уравнение для вихревой волны исследуется с помощью специальной ортогональной системы координат, основанной на линиях тока. Преобразования Лапласа и Мутара связывают уравнения для ортогональных кривых с уравнениями Лапласа. Нелинейность определяет правильный вид взаимодействия между вихревым и акустическими полями возмущений в пограничном слое, которые определяются как результат проектирования на подпространство решений уравнения Орра-Зоммерфельда для волны Толлмина Шлихтинга (линейной вихревой волны) и при помощи соответствующей процедуры для акустических волн. Предложен новый механизм нелинейного резонансного управления волной Толлмина-Шлихтинга с помощью звуковых волн посредством четырехволнового взаимодействия.
Ключевые слова: механика жидкостей и газов, пограничный слой, проекторы на собственные моды, волны Толлмина-Шлихтинга, преобразование Лапласа, преобразование Мутара, акустика, JV-волновые системы.
1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В настоящей работе используются две основные идеи, причем обе связаны с надлежащим выбором переменных. Первая идея - ввести новые зависимые переменные в такой комбинации (с операторными коэффициентами), чтобы зафиксировать соотношения, определяющие конкретную ветвь (корень) дисперсионного уравнения основной системы, линеаризованной на основном потоке [1]. Вторая идея - так скомбинировать независимые переменные, чтобы введенные на первом шаге преобразования зависимые
* Technical University of Gdansk, ul. G. Naturowicza, 11/12, 80-952, Gdansk-Wrzeszcz, Poland. E-mail: anpe@mif.pg.gda.pl, leble@mif.pg.gda.pl
172
а. а. переломова, с.б. лебле
переменные остались неизменными. Эта процедура сопровождается введением ортогональных координатных линий. Такой подход представляет собой попытку ограничиться минимальным числом переменных для выбранного типа движения (моды), избегая введения граничных подслоев.
Первая цель достигается с помощью ортогональных матрично-дифференциальных операторов проектирования, чьи структурные особенности определяют упомянутые соотношения, связывающие компоненты вектора состояния рассматриваемой системы. Явный вид таких операторов дан в п. 2.3. Вторая цель до некоторой степени аналогична той, которую преследует метод годографа: в качестве координат выбирается одна из новых зависимых переменных вместе с сопутствующей ей (локально) ортогональной переменной. Эта задача решается с помощью объединенного преобразования Лапла-са-Мутара.
Пример гидротермодинамики был выбран нами потому, что в нем проявляются характерные трудности, связанные с неединственностью моды поля в целом, неоднородностью среды и нелинейностью. Описание возмущений и их взаимодействия восходит к работе [2] и интенсивно изучалось в работе [3]. История вопроса изложена в работе [4]. Теория акустических солитонов и сопутствующих возмущений в неоднородных /слоистых средах рассматривается в работе [5].
Начнем с введения следующих обозначений: р,р- возмущения плотности и давления, е, Т - удельной внутренней энергии (на единицу массы) и температуры, т], <г - сдвиговая и объемная вязкости, х ~ коэффициент теплопроводности, и - вектор скорости.
Далее запишем уравнения состояния в виде рядов Тейлора для энергии (калорическое):
г . Е2ро Ез 2 . Е4Р0 2 . Еъ . .
р0е = Ехр+-р+—р£ + —5-р +—РР+---, (1)
Ро Ро Ро Ро
и для температуры (термическое):
©1 &2Р0 РоС'у р^Су
Фоновые значения отмечены индексом "нуль", Сь, - удельная теплоемкость (на единицу массы) при постоянном объеме, Е{, 0{ - безразмерные коэффициенты.
Рассмотрим двумерный поток в координатах х (в направлении течения от переднего фронта модели), г (по нормали к координате поверхности модели) и
ь = (и,ги)+й0, (3)
где йо = (1/0(2),0) - постоянная составляющая скорости в направлении потока, а (и, ю) = у1 - флуктуации скорости.
С учетом уравнений (1)-(3) основная система имеет вид
VI . /„ч
т = ~2^гР+ "" • (2)
° дх удя дх )
ди л/ди др _ . (д2и д2Ь)\ _
дю ^ у. дю ^ др д-1 ( д2и + _ _
с^ ° дх дг \dxdz дг2 )
(4)
мшчат
взаимодействие вихревых и акустических волн
173
• звелением ортого-с^гтху ограничиться моды), избегая вве-
;' - ф еренциальных г упомянутые со-емой системы. I степени аналогич-I- зыбирается одна э) ортогональной ^эзования Лалла-
^роявляются ха-к вел ом. неоднород-Тйгтвия восходит к в работе [4]. ■шюродных / слоис-
агзости и давления, сдвиговая I зэрости.
(калоричес-
(1) (2)
(на единицу
от переднего
(3)
ь- потока, а
-2-
(4)
где е = С/оо/с-число Маха, Яе = С/оо/оРо/»?-число Рейнольдса, Л = иоо1про/(г)/3+<;). Вводя для правой части векторный нелинейный член
Ч> =
. ди
-«Ш-^ж + РЁ
(5)
можно переписать систему (4) в виде
—<р + Ь(р = ф, ср =
(6)
где ¡р - вектор состояния жидкости (сплошной среды) и Ь - матричный оператор, элементы которого находятся из системы (4). Постоянные Z и 5 определены следующим образом:
£<2
Ег
ЕЗ + Е5), 5
\-Е2 (
\ + Е2 + 2ЕА + ЦД
(7)
Постоянная с = \/ро(1 — Еъ) / {роЕ\) - линейная скорость звука при С/о = 0. Данное матричное представление позволяет осуществить дальнейшую процедуру проектирования и делает ее более прозрачной.
2. МОДЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Результаты данного раздела были кратко представлены в работе [6].
Используем линейный вариант системы (6) в качестве основы для определения моделей и следующие обозначения для безразмерных переменных:
ад - ф(г) = У02(г)10,
иос
X и
Х* = Ь' и* = Ё/оГ'
и =
шп
1о '
Р* =
Рои^'
(8)
Величина IIто - значение скорости потока вдали от границы, а ¿о - ширина пограничного слоя. В новых переменных (звездочки опущены) линейный аналог (6) имеет вид
др т, др п (ди ди>\ ди тГди , др „ _1 . (д2и д2и>\
дю тг <Эи> др д „-гС д2и д2и>\
(9) (10) (П)
Г^МШШШШ!!! шшаанй' :
174 A.A. ПБРБЛОМОВА, C.B. ЛББЛБ
2.1. Вихревая мода (Толлмина—Шлихтинга). Для введения вихревой моды обычно используется предел несжимаемой жидкости (е = 0):
Другая связь полей скорости и давления получается из уравнений (10), (11) и является, наверное, новой:
2 сф^- + Ар = 0. (13)
ох
Традиционное для теории пограничного слоя х-однородное приближение позволяет использовать /с-представление для операторов д/дх —> —гк. Уравнения (12) и (13) совместно определяют вектор моды Толлмина-Шлихтинга (ТШ):
pts- (14)
Уравнения (9)—(11) дают хорошо известное уравнение дляТШ-моды [4] в терминах функции тока Ф:
<ЭФ дФ
и = W = -—,
OZ ох
Уравнение Орра-Зоммерфельда (03) следует из уравнения (15), когда Ф = ф(г) х exp (ikct — ikx):
Pts \ 1 . к.
uts 1 = 2к'г dz ф
WTSJ ! { —д 4 2ИсфгЛ
[ад-с]
,2,
дф =
dz ReA;
dz4 Zk dz*+k%P
Это уравнение составляет основу теории устойчивости и для любой пары (к, Ие) определяет собственную функцию ф(г) и комплексную фазовую скорость с = ш/к = сг+гс{. Знак Сг представляет собой критерий устойчивости потока: отрицательное значение соответствует росту возмущений.
2.2. Акустические моды. Для двух акустических мод используется безвихревое поле скоростей:
ди дш _ дг дх
В пределе Ие-1 = 0, Д-1 = 0, ф = 0 уравнения (9)-(11) дают дисперсионное соотношение для акустических мод, которое напрямую связало с волновым оператором. Вектор, представляющий бегущую направо волну, имеет вид
А\-( Рил1 | = | -»еЛД-1'2 | рА1. (16)
Квадратный корень оператора Д определяется как интегральный оператор посредством преобразования Фурье.
к
* -
вихревой моды (12)
-1) и является,
(13)
тние позволяет 12) и (13) сов-
(14)
терминах функ-
(15) ф(г) х
Ле) опре-в/к = сг -\-ici. 1 значение со-
•?звихревое
к- - соотноше-г. 1см. Вектор,
(16)
средством
взаимодбиствие вихревых и акустических волн
175
2.3. Проекторы в линейной задаче. Произвольное возмущение представляет собой сумму мод и, с учетом (14), (16), выглядит следующим образом:
( РА1 +РА2+РТБ \ = НРА1 - НРА2 + КРТ5 ) V МРА1 - МРА2 + <2РТЗ /
(17)
где операторы имеют вид
Я = —еА~1/21к, М = еД"1/2
дг'
К 2к2 дг ф^' ® 2ф{кА'
(18)
Связь (17) может рассматриваться как взаимно однозначное отображение динамических переменных, что немедленно дает проектор, выделяющий ТШ-волну:
'О -2к2А-2гА;3А~\
РТ5 _
■ э
^дг -к2
.-1
(19)
Проектор для правой и левой акустических волн выписан в работе [6]. Эти проекторы обладают всеми свойствами ортогональных проекторов:
Ярд _ РТ5)
Ртэ + РА1 + РА2 =1, РтБ ■ РА1 = • • • = 0.
Хотелось бы подчеркнуть неабелеву природу этих операторов.
Проекторы коммутируют с операторами I ■ {д/дЬ) и Ь; следовательно, действуя проекторами на уравнение (6), можно получить эволюционное уравнение соответствующей мода.
Действуя проектором РТ5 на систему (6), получаем
.<9Ф А <9Ф дФ дф „ а2т
А— + У0А— - — - Ие =
дt дх ох дг
д_ дг
ди ди др и дх Ш дг ^ дх ди) ди)
д_ дх
др
4 дх Ю дг ^ дг
= + еД-1/2^А1 _ еД-1/2^РА2 ) дг дх дх '
дх дг
д2
дг
(20)
(21)
Предел е = 0 дает вихревую (ТШ) моду для несжимаемого потока рт5 = 0, поэтому
Р = (2Ра1 + <?РА2- (22)
176
a.a. переломова, c.b. лебле
Окончательно уравнение (20) принимает вид
ДФt + Т^оДФх - ФхФг - Re-1 Д2ф = -ФгДФх + ФхДФг-- е(ДФД1/2(рА1 - рА2) + ДФХД~1/2(Ра1 - РА2)х + + ДФ, Д-1/2(ра1 - PA2)z) + 0(е2). (23)
Если Vo = 0, ф = 0, простое самодействие дает известное уравнение для функции тока. Оно следует из формулы (23):
ДФ4 - Re-1 Д2Ф + ФгДФх - Ф*ДФ* = 0.
Действуя проектором Pai на систему (4), получаем эволюционное уравнение для данной моды, которое учитывает возмущения акустического давления:
= + + еД-1/2[-Ф,Д1/2РА1х + ФхД1/2РА1,-
- 2ФхгД_1/2рА1хх - 2Ф«Д-1/2РА1х, + 2ФххД"1/2Ра1х,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.