научная статья по теме ЯВНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОЙ НЕГОЛОНОМНОЙ ЗАДАЧИ Математика

Текст научной статьи на тему «ЯВНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОЙ НЕГОЛОНОМНОЙ ЗАДАЧИ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2008, том 422, № 4, с. 475-478

УДК 515.168.3

МЕХАНИКА

ЯВНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОЙ НЕГОЛОНОМНОЙ ЗАДАЧИ © 2008 г. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, В. Г. Марихин

Представлено академиком В.В. Козловым 28.04.2008 г. Поступило 07.05.2008 г.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ

Уравнения, описывающие движение без проскальзывания тела, ограниченного сферической поверхностью, по сферическому основанию, могут быть записаны в виде [1]

M = M х w, n = кn х w, к =

a + b'

(1)

где ю - угловая скорость тела, п - нормаль в точке контакта, а - радиус сферического основания, Ь - радиус сферической оболочки тела (рис. 1). Здесь и далее все векторы и тензоры заданы в (подвижной) системе координат, связанной с главными осями движущегося тела. Момент в точке контакта М связан с угловой скоростью ю линейным соотношением

М = Iю + йп(п х ю), й = шЬ2,

где ш - масса тела, I = ё1а§(/1, 12,13) - центральный тензор инерции. Коэффициент к может принимать любые положительные и отрицательные значения в зависимости от возможных ситуаций (рис. 1).

Отметим, что аналогичная система при добавлении дополнительной связи (ю, п) = 0, исключающей верчение, также является интегрируемой; ее явное интегрирование выполнено в работе [14].

Случай к = 1 соответствует а ^ т.е. качению шара по плоскости (шар Чаплыгина); как известно, эта система является интегрируемой и описана во многих работах [2, 4, 8, 12].

При произвольном к система (1) имеет три интеграла движения

= (п, п) = 1, Н = 1 (М, ю), ^ = (М, М) (2)

Ижевский институт компьютерных исследований Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау Российской Академии наук, Москва

и допускает инвариантную меру рйюйп с плотностью [15]

р2 = (п, п) - й(п, (I + й)-1 п).

Известен еще один замечательный интегрируемый случай системы (1) при к = -1 [1], который соответствует обкату неподвижного шара телом со сферической полостью (рис. 1в). При этом отношение радиусов сферы и шара ^ = 1. Линейный дополнительный интеграл в этом случае имеет вид (аналог интеграла площадей)

F2 = (AM, n),

(a)

(3)

(•) n , i (в)

0 < k < 1

k > 1

k < 0

Рис. 1. Качение тела со сферическим участком по сфере. Штриховкой обозначена неподвижная поверх-

n

n

476 где

БОРИСОВ и др.

А = Г| (-1! + /2 + 1з), 1 (¡1 - /2 + I з),

1

2 ( ¡1 + ¡2- ¡3 )

2 и 1- -I- (и + V) ( 2 й + а 1 ) + а2 - й а 1 х I + й - йп % п)

х (4а3 + 2а1 а2 - а3 - йа1 + (а1 - 2а2 + 4йа1) х

2 -1

х(и + V)-4й(и + V) ) ,

Покажем, каким образом можно явно проин- где а1 - £^; , а2 - £ ^ ;2, аз - Л-^з.

тегрировать систему (1) при к - -1 в квадратурах ™ л

^^ Таким образом, после замены времени полу-

на нулевом уровне интеграла е2 - 0. Эта задача ^ - д,

3 * 2 „ чаем гамильтонову систему на двумерной сфере

аналогична интегрированию уравнении движе- & ^

тт / ¿2, которую можно представить в форме уравнения задачи Чаплыгина (о качении шара по плос- „ ^ »г ^ ^

С ^ нии на специальной (нулевой) орбите коалгебры

кости) при нулевой постоянной интеграла площа- „ 4 ^ ' * *

о гот К г/1 -714 е(3). В нашем случае окончательно получим

деи [8] (см. также [4, 7]), однако существенно ] :

сложнее. СлучаИ Ф 0 мы пока не рассматриваем.

Прежде всего выразим угловую скорость при - 0 из уравнении (1) формулоИ

Н =

5 (М 3

8 (у, В у )2 ^

с«т2,

ю = ВП"Х П-, В = (I + й - йп % п)А.

(П, Вп)'

(4)

^ =

4 (У, В у )2

52т2 -4 £ й

т;

Г"'1 1

Определим сфероконические координаты и, V на сфере п2 - 1:

5 = (у, Му) - й(у, Ау)2,

(7)

2 (/; - и)(/; - 1) -ф.ф7ф. "2 = ШЧ)' 'Ф; Ф к Ф'•

= I; + й.

(5)

С; =

2

Р 5

■4П(^ - Л)У2(р2

к Ф;

2

й5

4(М 3

С помощью выражении (5) представим уравнения й; = П(^ - Л)У¡(5( + й) - (у, I(I + й)А у) + движения (1) в форме системы Чаплыгина [7]

к Ф;

й дТ дТ й дТ дТ

Т-лТ - :Г = иФ, Т--Г- - 5;- = , (6) й д и ди йíдv д V

где Т - 2- (¿МиМ2 + йuv и V + Ь^у2) - интеграл энергии Н (2), выраженньш на уровне - 0 в сфероконических координатах, Ф - (аиМ + а^) - ли-неиная однородная по скоростям функция. Из-за громоздкости мы не приводим здесь явные выра- а орбита фиксируется значением интегралов жения для Т, Ф.

Согласно методу приводящего множителя Чаплыгина, после замены времени И(и, - йт система 4 приводится к лагранжеву виду

+ 2й(у, Му)(у, Ау)),

где А - 2А. Скобки Пуассона определены соотношениями

{т;, т]} = £;^тк, {т,, у,} = е^Ук, (У;, У,-} = 0,

у = 1, (т, у) = 0.

<й_дТ--д1 = 0 = о

йтд и' ди ' йтдv' д V

йи

й V

и = Т", V = йт йт

Приводящии множитель N совпадает с плотностью инвариантнои меры N йи йv йРи йР„ ( где Ри -

- дТ Р - дТ

д М ' v дх>

РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

Используем приведенное здесь каноническое представление алгебры е(3) (координаты Дарбу):

т1 = Р1 (х2- 1) + Р2 (у2-1),

т2 = гр1 (х2 + 1) + гр2 (у2 + 1),

= ху - 1 х - у '

х + у х - у'

тз = 2 р1 х + 2 р2 у, у 1 ху - 1

^2 = ; Т-7' у3 =

з

2

ЯВНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

477

Используя (8), запишем пару (H, F) в канонической форме [13]:

TT S1(s1) d2 S2(s2) D2

H = -P1- :-TP2'

s1 - s2

s1 - s2

H = а(x, у)p1 + 2b(X, у)^2 + С(х, у)р2;, F = А(x, у)р1 + 2B(x, у)Р1Р2 + С(x, у)р\.

(9)

,, s2S1( s1) 2 s1S2( s2 ) „2 F = -P1- --" P2'

(11)

s1 — S2

Можно показать [13, 3], что разделяющиеся переменные являются корнями уравнения

(B - bs)2 = (А - as)(C - es).

(10)

В новых координатах функции H и F принимают форму Лиувилля

- ^2

Введем обозначения а = (/2 + Jl-/ з)(- / 2 + Л-Л)(- Л + Л + /-3), в = /1 + /2 + /2 -2 /1/2 - 2 /2 /3 - 2 /3 /1, у = /1 /2 /з, е = /1 + /2 + /3.

При этом выражение для £(х) будет иметь вид

S (х)

_ 2 ( 88 х3 + 8 ( d - е ) x2 + ( 2 е 2 ß - 4 d е ) х - 4у - d ß + JÄ)

Y(2x - е + 2d)2

(12)

где

х=

2 xq e

-, P = уо F ( xq ),

2 у( X2 - 1) - Ьх0

2 1 2 V = —(4ас - Ь ) 16

приводит алгебраическую кривую, соответствующую уравнениям движения, к искомой форме Вейерштрасса

У2 = Р ( Хо ) Р ( Хо ), Р2(х) = ^(4ахй2-2ахйе - Vх2 + хйр2 +

+ 4 x 5ß + v) + H (x ß2 d2 + 8 xdSß + 16 x 52), (13)

P3(x) = П(x - xk),

k = 1

xk =

Jk(2 Jk - е)2П(d - Jk)

l Ф k

В случае й = 0 рациональная функция 5 принимает простую форму

S( x) = 16

А = х2 (р2 + 8а й) + 2 х (4ру + й р2 - 2 йа е + 4 ай2) + + (4 у + йв)2 = ах2 + Ьх + с.

Выражение для 5 содержит радикалы, от которых можно избавиться преобразованием к форме Вейерштрасса. Эта процедура необходима для явного интегрирования системы в эллиптических функциях. Действительно, преобразование

( x - J1 ) ( x - J2 ) ( x - J 3 )

2

J1J 2 J 3 ( 2 x - J1 - J 2 - J 3 )

х (х(ь\ + /2 + /2 - 2 /1 /2 - 2 /2/3 - 2 /3 /1) + + 4 /1 / 2 / 3 )2.

Заметим, что случай й = 0 соответствует классической и хорошо изученной задаче Эйлера-Пуан-со, по интегрированию которой имеется множество работ. Однако наш метод при й = 0 отличается от классических схем интегрирования, хотя имеется связь между двумя подходами, осуществляемая с помощью дробно-линейного преобразования

НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ

Укажем некоторые открытые проблемы, родственные рассмотренной задаче:

проинтегрировать явно систему (1) при k = -1 и ненулевой постоянной линейного интеграла F2 (3);

проинтегрировать явно систему (1) при k = ±1 и добавлении потенциального поля Бруна с потенциалом U(g) = (g, Ig);

выполнить топологический и качественный анализ рассматриваемой в этой работе интегрируемой системы;

исследовать возможность вложения в евклидово пространство поверхности, матрица которой определяется кинетической энергией T(u, v, U, V) рассматриваемой системы.

Авторы благодарны Е.В. Ферапонтову и В.В. Соколову за полезные обсуждения.

Исследования А.В. Борисова и И.С. Мамаева поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (проекты 08-01-00651, 07-0109210). Работа И.С. Мамаева выполнена в рамках

3

478

БОРИСОВ и др.

гранта Президента Российской Федерации для поддержки молодых ученых - докторов наук (проект МД-5239.2008.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Борисов A.B., Федоров ЮН. // Вестн. МГУ. Сер. математика, механика. 1995. № 6. С. 793-195.

2. Borisov A.V., MamaevIS. // Reg. and Chaot. Dyn. 2002. V. 7. № 2. P. 177-200.

3. Eisenhart LP. Separable Systems of Stäckel // Ann. Math. 1934. V. 35. № 2. 1934. P. 284-305.

4. Kilin A.A. // Reg. and Chaot. Dyn. 2001. V. 6. № 3. P. 291-306.

5. Чаплыгин C.A. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе. Собр. соч. М.; Л.: ОГИЗ, 1948. Т. 1. С. 15-25.

6. Борисов A.B., Мамаев И.С. // Мат. заметки. 2001. Т. 70. № 5. С. 793-796.

7. Борисов A.B., Мамаев И.С. // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48. № 1. С. 33-45.

8. Чаплыгин С.А. О катании шара по горизонтальной плоскости. Собр. соч. М.; Л.: ОГИЗ, 1948. Т. 1. С. 76-101.

9. Борисов A.B., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. М.; Ижевск: РХД, 2001. 384 с.

10. Козлов B.B. // Успехи механики. 1985. Т. 8. № 3. С. 85-107.

11. Маркеев А.П. // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. Т. 21. № 1. С. 65.

12. Харламов М П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988.

13. Марихин BT., Соколов B.B. // ТМФ. 2006. Т. 149. № 2. С. 147-160.

14. Borisov A.V., Mamaev I.S. // Reg. and Chaot. Dyn. 2007. V. 12. № 2. P. 153-159.

15. Ярощук B.A. // Вестн. МГУ. Сер. математика, механика. 1992. № 6. С. 26-30.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»