ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 75. Вып. 6, 2011
УДК 521.1
250-летию задачи двух неподвижных центров посвящается
© 2011 г. В. В. Аниковский, С. Г. Журавлёв
ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ И КОСМОДИНАМИКЕ
Приведен последовательный анализ многочисленных обобщений классической задачи двух неподвижных центров, начиная с момента ее формулировки и решения Эйлером в 1760 г. и до наших дней. Отмечается роль многочисленных исследователей этой задачи. Приведенные публикации со всей очевидностью показывают, что основные результаты по обобщениям задачи и их аналитическим и качественным исследованиям получены в XIX в. и в самом начале XX в. Современным исследователям принадлежат лишь достаточно многочисленные, иногда эффектные и одновременно эффективные приложения отдельных обобщений (задача Гредеакса одна из них).
В конце 1950-х — начале 1960-х гг. были опубликованы циклы работ [1—7] , в которых показано, что так называемая обобщенная задача двух неподвижных центров имеет важные приложения, прежде всего, в теории движения искусственных спутников Земли. После этого появились многочисленные публикации, авторы которых пытались найти столь же эффективные другие обобщения задачи п (п > 2) неподвижных центров. В результате во многих появившихся позже работах декларировалось отыскание "новых" интегрируемых в квадратурах модельных задач небесной механики (трех, четырех и т.д. неподвижных центров) и решаемых на их основе задач космодинамики, которые, как будет показано ниже, в своей основе являются лишь частными случаями давно известных (более 100 лет) обобщений задачи Эйлера [8—10].
В этой связи ниже последовательно рассмотрены обобщения задачи Эйлера, включающие в себя практически все известные обобщения Лагранжа, Лежандра, Якоби, Лиувилля, Вельде и Дарбу, сформулированные и проанализированы^ в самом общем виде Хильтебейтелем [11, 12] и Тальквистом [13—19], и выяснена роль современных исследователей в решении этой проблемы.
В относительно недавно опубликованном обзоре по обобщенной задаче двух неподвижных центров [20] содержится анализ работ, касающихся в основном комплексно-значного обобщения классической задачи двух неподвижных центров и ее применения в небесной механике и космодинамике. Были упомянуты некоторые работы, содержащие обобщения и на случай п > 2 неподвижных центров. Однако 1) список последних работ далеко не полон, 2) не только не подвергалось, но даже сомнений не было высказано в отношении авторства "новых" модельных задач, которые на самом деле являются известными со времен Лагранжа, Лиувилля, Дарбу и др. обобщениями задачи двух неподвижных центров, 3) подробно рассмотренные в обзоре задачи Дарбу и Гредеакса сами являются частным случаем давно известной задачи Эйлера—Якоби, 4) остались без внимания опять-таки известные обобщения задачи на случай двух подвижных центров, а также случая с вращающейся плоскостью [21—26] (см. [27]), 5) появившиеся в последние десятилетия результаты по интегрируемости и неинтегрируемости задач классической механики [28—31] позволяют по-новому посмотреть на проблему.
Изложение начнем с постановки задачи двух неподвижных центров Эйлера, рассмотрим последовательно во временном пространстве ее обобщения и завершим обзор самым широким обобщением, которое назовем задачей Эйлера-Лагранжа—Лиувилля—Вельде—Дарбу—Хильтебей-теля (ЭЛЛВДХ) и которое, как будет показано ниже, включает в себя многие известные обобщения и приложения. Вторую цепочку обобщений составляет задача Эйлера—Лагранжа—Якоби— Мультона(ЭЛЯМ) для п неподвижных центров на прямой линии.
1. Задача Эйлера. Задача Эйлера состоит в исследовании движения материальной точки М , под воздействием двух неподвижных центров К1 и К2 (обозначения взяты из работы Хильтейбейтеля [12]), которые создают силы, пропорциональные массам т1 и т2,
соответственно, и обратно пропорциональные квадратам расстояний [8—10] (1760— 1767). При этом движение материальной точки происходит лишь в плоскости, содержащей неподвижные центры. Последнее достигается выбором начальной скорости движения материальной точки, а именно, вектор упомянутой скорости должен пересекать прямую линию, проходящую через неподвижные центры. Тогда действующие на материальную точку М силы запишутся в виде
Ях = -тх/г2, = -Щ /г2 (1.1)
2. Задача Эйлера—Лагранжа. Лагранж [24—26] (1766—1769) обобщил постановку задачи Эйлера на пространственный случай, введя в рассмотрение вращающуюся плоскость (относительно соединяющей неподвижные центры прямой), в которой по-прежнему происходит движение материальной точки. Кроме того, он доказал, что интегрируемость задачи сохраняется при добавлении еще одной силы, действующей на материальную точку прямо пропорционально расстоянию и направленную в середину отрезка, соединяющего неподвижные центры. К действующим силам (1.1) добавляется сила
Я3 = -т3г3 (2.1)
В результате в силовую функцию задачи двух неподвижных центров добавляется слагаемое, обусловленное вращением плоскости (эффект Кориолиса), структура которого такова, что разделение переменных (интегрирование) по-прежнему имеет место. Угол поворота плоскости от некоторого начального положения является циклической переменной, и уравнения для него отщепляются от соответствующих уравнений движения материальной точки в плоскости.
Добавление в силовую функцию третьего слагаемого, пропорционального первой степени расстояния, не нарушает свойства интегрируемости уравнений движения, и таким образом получается задача трех неподвижных центров на прямой.
Лагранж также отметил, что такой подход (с вращающейся плоскостью) возможен и в предельном случае (см. ниже).
Здесь уместно отметить роль Лежандра, посвятившего большое число работ технике интегрирования соответствующих уравнений движения и вопросам сведения квадратур задачи к эллиптическим и другим функциям [31—35] (1811 — 1844).
3. Задача Эйлера—Лагранжа—Лиувилля—Вельде. Лиувилль [34—36] (1846), которому принадлежат фундаментальные результаты по интегрируемости общих уравнений динамики и, в частности, уравнений задачи п тел небесной механики, отметил, что интегрирование уравнений задачи двух неподвижных центров возможно в общем случае, когда силовая функция задачи имеет вид
V=щ-т (3.1)
а - в
где а, в — параметры софокусных эллипсов или гипербол, /(а), Ф(Р) — некоторые непрерывные функции своих аргументов.
Приведенный вид функции — частный случай функции следующего вида:
V = 4 + А2 + В + — + ср2 (3.2)
X у2 Г г'
где А, А', В, В', С — постоянные, г, г' и р — расстояния до двух фокусов и до общего центра софокусных эллипсов (в предыдущих формулах гь г2 и г3 соответственно).
Это соответствует случаю, когда материальная точка подвержена действию:
1) двух сил, нормальных к осям и обратно пропорциональным кубам расстояний до
осей (производная второго слагаемого, равная -2 А /у , отражает как раз эффект от вращения плоскости);
2) двух неподвижных центров, расположенных в двух фокусах и притягивающих по закону Ньютона;
3) одного неподвижного центра, расположенного в общем центре софокусных конических сечений и притягивающего пропорционально расстоянию.
Во втором мемуаре [34] (1847) Лиувилль изложил другой подход к интегрированию уравнений движения в рамках упомянутого обобщения задачи Эйлера—Лагранжа и отметил еще один интегрируемый "курьезный" случай задачи трех центров — одного неподвижного в центре, действующего на материальную точку с силой, пропорциональной расстоянию, и двух подвижных центров, движущихся по окружности относительно первого неподвижного центра таким образом, что долгота при обращении двух подвижных центров и материальной точки совпадают (в этой связи уместно отметить работу Бессеры [37]), который выдавал используемый им этот вариант за новую модельную задачу небесной механики).
Варианту задачи с двумя подвижными (!) центрами посвящена наша отдельная работа [27], и здесь не будем касаться этого варианта.
Таким образом, Лиувилль подтвердил, что имеется частный вариант задачи — три неподвижных центра на прямой (задачей трех тел этот вариант не назывался).
Далее, Кёнигсбергер [38] (1860) в своей диссертации выразил эллиптические интегралы и, в частности, общий интеграл задачи, рассмотренные в работах Лежандра, через тета-функции Якоби.
Немного позже Вельде [19] (1889) указал (без ссылок на работы Лиувилля), что вариант задачи, предложенный Лагранжем, допускает такую интерпретацию: еще две силы, прямо пропорциональные расстоянию и направленные в неподвижные центры Kl, и могут быть добавлены без нарушения свойства интегрируемости задачи.Тогда действующие силы будут такими:
Я = -шгх - Ш[, Я2 = -тг2 -Ш2, Я, = -тъгъ (3.3)
Г\ г2
Это кажется очевидным, поскольку по правилу параллелограмма сложения векторов имеем
-тгх - тг2 = -т(г\ + г2) = -2тг3
так что использование трех компонент, направленных к трем центрам, или их равнодействующей, направленной в середину отрезка [Къ К2], ничего не изменяет в смысле интегрируемости.
Действительно, заменив в равенстве (3.3) -т3г3 на -(т3 + 2т)г3 = -Ш3г3, имеем вариант Лагранжа (1.1), (2.1).
4. Задача Эйлера—Лагранжа—Лиувилля—Вельде—Дарбу.
Дарбу [41] (1901), рассматривая вариант силовой функции Лиувилля (3.2), заявил "... я не знаю, отмечалось ли, что ко всем этим действиям можно добавить два других, которые происходят от двух мнимых фокусов эллипсов и притягивают также по закону Ньютона".
Координаты упомянутых мнимых фокусов имеют вид
х = 0, у = ±с1
Таким образом, выражение (3.2) силовой функции дополняется слагаемыми
Д + Д (4.1)
1 г[
Дополнительные величины Д, Б{ — постоянные, Гъ г' — расстояния до двух мнимых фокусов.
Дополненное выражение силовой функции будет действительной величиной, если постоянные Д, Д — комплексно-сопряженные мнимые величины.
Если в выражении (3.2), дополненным слагаемыми (4.1), положить В = В' = 0, т.е. исключить два действительных центра К4, К5, то получится известное комплексно-
значное обобщение задачи двух неподвижных центров К^т — ш2), К2(т + г^г) плюс третий центр К3(т3) в начале координат.
Обобщение, близкое к такому обобщ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.