МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2012
УДК 539.3
© 2012 г. А. А. МОЛЧАНОВ, Д. А. ПОЖАРСКИЙ ЗАДАЧА ГАЛИНА ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО УПРУГОГО КЛИНА
Изучена трехмерная контактная задача о вдавливании эллиптического в плане штампа в грань линейно-упругого клина с двумя параметрами упругости при действии на ребре клина дополнительной сосредоточенной силы. Другая грань клина свободна от напряжений. Задача сведена к интегральному уравнению относительно контактного давления, для которого найдено асимптотическое решение, эффективное для относительно удаленной от ребра клина заданной области контакта. Проведенные расчеты позволяют оценить влияние силы, приложенной вне области контакта, на распределение контактных давлений. Рассмотренная задача обобщает задачу Л.А. Галина о силе, приложенной вне кругового штампа на упругом полупространстве [1, 2]. Полученная асимптотика в частном случае (угол клина равен 180°, эксцентриситет эллипса контакта равен нулю) совпадает с разложением в ряд точного решения Галина.
Ранее рассматривались задачи о внедрении в пространственный клин эллиптического в плане штампа с известной ([3], асимптотический метод) или неизвестной ([4], численный метод) областью контакта, когда грань клина вне области контакта не нагружена. Решение задачи Галина позволило свести контактную задачу о взаимодействии нескольких штампов на полупространстве к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода (метод Андрейкива—Панасюка) [2]. Актуальным направлением механики контактных взаимодействий является модель дискретного контакта и связанные с ней задачи о взаимодействии штампов [2, 5—8]. Для изучения взаимодействия штампов на грани клина аналогично может быть получено асимптотическое решение задачи о силе, приложенной не на ребре клина, а в произвольной точке этой грани вне области контакта.
Ключевые слова: контактные задачи, теория упругости, клин.
1. Постановка задачи. В цилиндрических координатах г, ф, г рассмотрим трехмерный упругий клин {г е [0, да), ф е [0, а], г е (—<»)} с углом раствора а; ось г направлена по ребру клина. Материал клина характеризуется модулем сдвига О и коэффициентом Пуассона V. Грань ф = 0 свободна от напряжений. В грань ф = а без перекоса вдавливается эллиптический в плане штамп с плоским основанием, к которому приложена сила Р. Область контакта — эллипс О = {(г — а)2/с2 + г/Ь2}, Ь > с, а > с. В начале координат г = г = 0 к грани ф = а приложена нормальная сосредоточенная сила Q (фигура). Для простоты считаем задачу симметричной по координате г. Осадка штампа равна 8. При заданных величинах а, О, V, а, Ь, с и 8 требуется определить контактное давление под штампом = —д(г, г), (г, г) е О и затем найти силу Р.
Сила Q вызывает в заданной области контакта Q дополнительное нормальное перемещение [4]:
и,(r, а, z) = -Щ*!=, в = JL 2пвл/ r + z
A0 (r, z) = A + 2 Ith — [ W+( и) F+ ( и) - W_( и) F_( и)] cos (и ln^r + z + ^ íu (1.1) пл 2 V r )
0
. 2 а + sin2a ✓ ч , ch аи + cos а A = п--—, W±( и) = ±---
2 (а2 - sin а) sh аи ± и sin а
Функции F±(u) удовлетворяют интегральным уравнениям Фредгольма второго рода (0 < u < да):
да
F±(и) - (1 - 2V) (и, y)F±(y)dy = п(1 - 2v)L±(и, 0)
0
да
sh ntg± (t) dt
L± (и, y) = 2 ch П- sh ПУ W± (y) Г 22
( ch nt + ch п и)( ch nt + ch ny) 1 - cos а , п и fth (п t/2)g± (t) dt
0
да
(1.2)
t í a\ i 1 + cos а , п и f L± (и, 0) = ±п ------— ch — I -
а ± sin а 2 J
chп t + ch пи
0
g±( t) = v cth а?)
±1 .2 а t) ± sin а
2 ' еИ а I + ео82 а В частном случае полупространства на основании (1.1), (1.2) получим
Ы(р(г,п, г) = -£/(2я^Л/ТГ+72) (1.3)
Используя (1.1) и известные функции Грина для трехмерного клина [4], получим относительно q(r, z) следующее интегральное уравнение:
1- (х, у) К(х, у, г, г) йхйу =
2 п
5 -
<2Ло (г, г)
2я0л/г2 +
, ( г, г )еП
К(х, у, г, г) = 1 /Я + К(х, у, г, г), Я = [(Г - х)2 + (г - у)2]1/2
К(х, у, г, г) = Ц пи(Щ(и) - еШпи)К1и(вх)
оо
(1.4)
+ у [ Щ+(и)К+ (и, рх) - Щ_(и)¥ (и, рх)] \Кы(вг) сое в (г - у)йвйи
Щ(и) = [Щ+(и) - Щ_(и)]/2
Здесь Кш(г) — функция Бесселя, а функции Р±(и, Рх) удовлетворяют интегральным уравнениям Фредгольма второго рода (0 < и < да):
К
(и, вх) = (1 - 2V) ]Х(и, у)|>±(у, вх) + еИЦ-Ку(вх)
йу
(1.5)
Отметим, что перемещение (1.1) получается из ядра интегрального уравнения (1.4) при х ^ 0, у = 0 (с точностью до множителя). При а = п ядро интегрального уравнения (1.4) совпадает с ядром интегрального уравнения контактной задачи для полупространства.
2. Асимптотическое решение. Для получения асимптотического решения введем безразмерные величины (штрихи далее опускаем)
г - а , г л а с?, 5 Я пи
г = -, г = -, А = -, 6 = -, 5 = -, Я = -, в = в Ь
Ь Ь Ь Ь Ь Ь
4 (Г, г') = Я(г, г)/0, а = е/(2п0Ь2), Р = Р / (0 Ь2), П'^П Уравнение (1.4) в обозначениях (2.1) принимает вид ((г, г) е О):
(2.1)
(х, у )
- + К(х + А, у, г + А, г) Я
йхйу = 2 п
5 -
ОАоАг+Кг) 7( г + А)2 + г2^
(2.2)
Для решения интегрального уравнения (2.2) применим регулярный асимптотический метод [3, 4], эффективный при больших значениях параметра А, т.е. вдали от ребра клина.
С использованием известных интегралов [4, 9] разложим гладкую часть ядра уравнения (2.2) в ряд по отрицательным степеням А. Имеем (А ^ да):
А1 А2(х + г) А3(х2 + г2) + А4(у - г)2 + А5хг ( 1 К(х + А, у, г + А, г) = — + —-- + —---—---— + О —
А л 2 Л 3
А2
А3
А
А1 = а0 + К0, А2 = -А- , А3 = 8- а0 + - 2
а + к
(2.3)
- К,
А4 = а1/2 - к2 , А5 = а0/4 - а1 + 2к1 (п = 0, 1, т = 0, 1, 2)
о
со со
со
0
о
а. = (-1)
J[thnuW(и) - 1 ](0.25 + и )"du 0 (2.4)
да
K„ = Jsh ^ [ W+ ( и ) FX и ) - W_ ( и ) Fm ( и )] du
Значения функций (%), где % — узел квадратурной формулы Гаусса, определяются как значения при u = uk функций, удовлетворяющих интегральным уравнениям Фредгольма второго рода (0 < u < да):
Fm(и) = (1 - 2V) JL±(и, y)
F± (y ) + Ch (П У/2 ) Lm ( иЬ У У
dy
8( еИ ям + еИ пу)
и
Х0(м, у) = 16, Х2(м, у) = (1 + (м + у)2)( 1 + (м - у)2) (2.5)
Ьх(м, у) = (3 - (м + у)2)(1 + (м - у)2) + (3 - (м - у)2)(1 + (м + у)2)
Аналогично разложим функцию в правой части уравнения (2.2). С учетом того, что (1 ^ да):
1 = 1 - Г + + о( 1
X х2 2х3
cos Гиln r + X )2 + z' + I zГ) = i - uVГ1 - ^ + о( 1
Г r + X J 2X2 Г XJ Ч
получим разложение (1 ^ да):
Ao(r + z) _Bi + Bjx + B3 r2 + B2 z 2 + / 1
(2.6)
V( r + X)2 + z2 X X X X"'
Bi = -B2 = -B3 = A + ¿0, B4 = -(A + bo + bi) / 2 (2.7)
bn = 2 [th — [ W+ (и)F+(u) - W_(u)F (u)]u2"du (n = 0, 1) я J 2
Здесь постоянная ^ определяется предпоследней формулой (1.1), а функции F±(u) удовлетворяют интегральным уравнениям Фредгольма (1.2). Разложения (2.3) и (2.7), если их продолжить, равномерно сходятся в области у), (г, z) е ^ при X > тах(а-1, 1 + е).
В табл. 1 приводятся значения независимых коэффициентов разложений (2.3) и (2.7) при V = 0.3 и а = пк/6.
При учете (2.3) и (2.7) асимптотическое решение уравнения (2.2), эффективное при больших значениях X, ищем в виде
да
0
да
да
0
Таблица 1
к 2 3 4 5 6 7 8
А 5.732 0.9226 0.2836 0.06492 0 0.01537 —0.03016
А3 0.8287 0.1802 0.06815 0.01596 0 0.003428 —0.009416
—А4 1.087 0.1198 0.04676 0.01538 0 0.005868 0.0009889
А5 4.075 0.5621 0.1473 0.03299 0 0.008517 —0.01133
В1 9.727 2.473 1.533 1.125 1.000 1.024 0.8999
—д» 3.507 0.9075 0.8298 0.6123 0.5000 0.5384 0.4716
4(х, у) = У4^ + О(-1) (А^®)
Пг0 АП
(2.8)
В пространственных контактных задачах сходимость асимптотических разложений контактного давления типа (2.8) обычно не устанавливается, ее трудно строго доказать (асимптотические разложения не обязаны быть сходящимися). Аналогично трехмерной контактной задаче для упругого слоя ([10, с. 400]) границы рационального использования по А асимптотического решения (2.8) при больших А будем определять из того условия, что отбрасывание членов более высокого порядка малости, скажем А-4, изменяет значения контактных давлений не более чем на 5%.
Приходим к цепочке интегральных уравнений с ядром для последовательного определения функций из разложения (2.8). Каждое из уравнений этой цепочки решается в явном виде. В результате получим
5 -о I х 2
40(х, у) = -л---, 41 (х, у) = - - ч, s(x, у) = 1 - х - у2
6 К$(х, у)
бК$(х, у)
5А 1
От = аВт + —т (т = 1, 2, 3, 4), 42(х, у) = б-1—.
К 6s(х, у)
. К2 Е - б2К)
4з( х, у) =
1
1
6 5 (х, у) I К
А2°1 5(Аз62 + А4) + 2 (04^1 + Озб2^2)
К2
3К
+
А2 0 1 е 2 + — (04^01 - Оз ^00) + — (Оз б2^10 - 04 V-) [, е = ЦЕ - 6 К) V V ]
(2.9)
К( Е -I
где К = К(е), Е = Е(е) — полные эллиптические интегралы
V = - (1 - е2)К2 + 2(2 - е2)КЕ- зЕ2
VI = (1 - е2)(1.5 - е2)К2 - 2(1 - е2)КЕ + 0.5Е2
V2 = (1.5 - 0.5 е2) К2 - 2КЕ + 0.5 Е2, Voo = К - (1 + 0.5е2 )Е V01 = v10 = Е - (1 - 0.5е2)К, v11 = (1 - е2)2К - (1 - 1.5е2)Е
(2.10)
6
2
Таблица 2
0 0.2 О.. 0 0. 0..
Q*
X = 2 X = 4
a = 90°
q* 0.7635 0.5816 0.3998 0.8378 0.7352 0.6326
P* 2.404 1.811 1.219 a = 120° 2.633 2.308 1.983
q* 0.8706 0.7388 0.6071 0.8979 0.8293 0.7607
P* 2.737 2.329 1.920 a = 150° 2.821 2.606 2.392
q* 0.9137 0.8121 0.7105 0.9205 0.8689 0.8172
P* 2.872 2.557 2.242 2.892 2.730 2.569
Для вдавливающей штамп силы получим выражение
3
P = Jq(x, y)dxdy = 2я ^ X + o(-4) (X ^ œ)
n X" VX4
n = 0
Pn(x, y ) = S/K, Px = -0! /K, P2 = A1 Qi/K
-2
(2.11)
„ 1 I Aj Qi S(A3 s + A4 ) ^ 2 Л
P3 = 7-1 - "V - V 3 -- у 4- + -(04-i + 03s -2) }• +
K 3K - J
+ г4- [e2(Q4-ni - Q3-nn) + Q3s2-in - Q4-11) ] 3 -
Расчеты по формулам (2.8)—(2.11) проведем при v = 0.3 и s = 0.5. Значения приведенных контактного давления q* = q(0, 0)5-1 и вдавливающей силы P* = P5-1 в зависимости от приложенной вне области контакта приведенной силы Q* = Q5-1 даны в табл. 2 при разных углах клина и значениях X.
Из табл. 2 видно, что при возрастании дополнительной силы Q, приложенной вне штампа, снижается как контактное давление, так и вдавливающая штамп сила. При возрастании угла клина и значения X (область контакта отдаляется от ребра) контактное давление и вдавливающая сила возрастают.
Согласование полученного решения с точным решением Галина продемонстрируем для интегральной характеристики контактного давления си
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.