ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 3, с. 413-416
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 551.51
ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ШЛЮЗОВАНИЯ, ОБ ОСТЫВАНИИ КОМНАТЫ С ОТКРЫТОЙ ФОРТОЧКОЙ И О МАССООБМЕНЕ ЧЕРЕЗ ПРОЛИВЫ
© 2008 г. Г.С. Голицын
Институт физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН 119017 Москва, Пыжевский пер., 3 E-mail: mail_adm@isaran.ru Поступила в редакцию 28.12.2007 г.
1. ШЛЮЗОВАНИЕ
В классической книге Л.И. Седова "Методы подобия и размерности в механике" [1] в самом начале есть задача о водосливе: пусть в плотине, огораживающей водохранилище, имеются ворота вертикальным размером Н шириной I, которые в начальный момент открываются. Из соображений размерности и подобия массовый расход воды через ворота будет равен
Q = pg1/2h3/2f(h/l),
(1)
где ДО - безразмерная функция, описывающая форму ворот у разных плотин. В каждом конкретном случае при очень большом запасе воды в водохранилище это будет постоянное число, по крайней мере, в течение времени, пока изменения уровня водохранилища будут малы по сравнению с Н. Корень из произведения gН является характерным значением скоростей процессов со свободной поверхностью.
При шлюзовании судов объем камеры шлюза конечен и встает вопрос о скорости процесса. Для простоты рассмотрим последний шлюз из их системы в канале, например, в Волго-Балте, когда вода уходит в систему, уровень которой уже не изменяется. Пусть шлюз имеет площадь £, превышение воды в нем над уровнем системы Н, ширина ворот I. Тогда баланс массы воды в шлюзе можно записать как
adh .. , , ,1/2
S dt = -а h gh) ,
(2)
dZ
d t
= -2Z
3/2
где введено безразмерное время 1 2S
т =
Tn =
a l (gh n)
1/2
(3)
(4)
Решение уравнения (3) элементарно и имеет вид при £(0) = 1
С (т) = (1 + т)-2. (5)
Рассмотрим пример шлюза длиной 100 м и шириной I = 20 м, т.е. 5 = 2000 м2. Начальное превышение Н0 = 5 м. При а = 0.25 (см. ниже и [2]) масштаб времени (4) будет близок к 120 секундам. За это время величина £(т = 1) уменьшится в 4 раза, т.е. составит 1.25 м. Превышение в 0.1 м достигается примерно за 14 минут. Это, конечно, идеализированное описание, внутри шлюза распространяются нестационарные волны и течения, но порядок величины времени шлюзования представляется вполне реалистичным для тех, кто путешествовал на пароходе по каналам со шлюзами.
2. ПРОВЕТРИВАНИЕ КОМНАТЫ
Сходное уравнение баланса теплосодержания (энтальпии) имеет место для случая проветривания комнат. В предыдущем случае происходит выравнивание потенциальной энергии поднятой массы воды, а здесь - тепловой энергии. Рассмотрим комнату объемом V с форточкой площадью S и температурой T1 = T + AT, где T - температура окружающей среды, предполагаемая далее неизменной. Избыточная энтальпия помещения в начальный момент времени равна I = pcp VAT. Тогда баланс энтальпии в комнате будет описываться следующим уравнением
где а - безразмерное число порядка единицы, заменяющее величину ДН/0 в (1). Нормируем Н на начальное значение превышения Но. Тогда для безразмерного текущего превышения £ = Н/Н0 получаем уравнение
dl dt
= - q + qi,
(6)
где q - поток энтальпии, связанный с обменом воздухом с внешней средой, q1 - тепловая мощность внутренних источников в помещении, например, освещения, бытовой техники, людей и т.п. Внутренние источники способствуют перемешиванию воздуха.
Рассмотрим сначала пустую комнату, т.е. q1 = 0. Величина q описывается выражением, похожим на поток массы в предыдущем случае, но с редуцированной силой тяжести g' = g(ДT/7), меняющейся в
n
0
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
....................................................4
3
2 1
_i_I_I_I_I_
0.5 1.0
1.5
2.0
2.5
3.0 т
Зависимость безразмерной величины 0 от времени, нормированного на т0 согласно (8) для различных значений параметра подобия: 1 - П = 0; 2 - П = 0.1; 3 - П = = 0.3; 4 - П = 0.5.
процессе выравнивания температур. Тогда уравнение эволюции избыточной энтальпии запишется в виде
TdA T
A T,
РСрУЦГ = -apCpATS( g—S
,1/2
1/2
где коэффициент а, специфичный для каждого помещения, учитывает высоту форточки над полом, отличие ее формы от квадратной (здесь предполагается, что б12 относится к вертикальному размеру форточки) и т.п. Запишем уравнение эволюции энтальпии в безразмерном виде для текущей относительной избыточной температуры б = ДТ(0/ДТ(0):
d0 ,„3/2
— = -20 , dT
(7)
где время т = //т0 нормировано на естественный масштаб времени, возникающий в нашей задаче
тп =
2V(T/AT0)
„5/4 1/2
a S g
1/2
(8)
20 до 5 градусов. Уравнение (7) предполагает, что маштаб перемешивания внутри помещения много меньше временного маштаба задачи, определяемого формулой (8).
Если есть внутренний источник тепла в помещении, то надо пользоваться уравнением баланса (6). В наших безразмерных переменных оно сводится к виду
йб Т-, ~3/2
d т
= П - 0
П =
?T0
qT
1/2
(9)
2р cpVA T ( 0 )
apcp ATS5/4( g A T о )1/2'
где безразмерный параметр, характеризующий внутренний источник, выражен с помощью масштаба времени (8). Балансовое уравнение (9) показывает, что конечное установившееся состояние определяется соотношением
lim 0(т) = П2/3 =
1/3
T (
2/3^5/3 1/3 Ат, lp С
a S g AT0vp cp
2/3
(10)
Уравнение (9) заменами переменных £ = б/(дт0)2/3 и т1 = т(дт0)1/3 может быть сведено к универсальному виду
f = 1-z
d т1
3/2
Пусть объем помещения V = 20 м2 х 3 м = 60 м3, S = 0.1 м2 = 0.25 м х 0.4 м, Т = 273 К, ДТ = 20 К, g = = 9.8 м/с2, а = 0.15. Подобная задача рассматривалась в работе [2], где для разности плотностей воздуха в помещении и снаружи его было получено уравнение типа (7), лабораторные эксперименты подтвердили его работоспособность, и где было найдено, что коэффициент а заключен в пределах от 0.05 до 0.25 в зависимости от формы отверстия (щель или квадрат) и от высоты его расположения на боковой стенке. Для нашего примера т0 = 280' = 4 ч 40 мин. За это время, согласно решению (5), разность температур уменьшится с
проинтегрировано в элементарных функциях, но результат не будет очень наглядным для сравнения роли источников тепловой мощности различной интенсивности, так как временны е масштабы сами будут зависеть от этой мощности.
На рисунке представлены результаты численного интегрирования уравнения (9) при начальном условии б(0) = 1 и значениях параметра подобия П = 0; 0.1; 0.3; 0.5. При П = 1 сразу устанавливается предельное особое решение б(т) = 1. Если мощность внутреннего источника д = 100 Вт - одна лампочка, или 1 человек, употребляющий в сутки около 2100 ккал пищи, то для нашего помещения в 60 м3 имеем П = 0.27, а П2/3 = 0.417, т.е. предельное значение температуры в помещении будет 8.3°С, если вначале было 20°С. Поток энтальпии через форточку в нашем примере 372 Вт. Уменьшение разности температур между внешней и предельной в комнате произойдет, примерно, при т = 0.7.
Задача может быть рассмотрена на два шлюза конечных объемов или на две комнаты также конечных объемов, из которых одна сообщается с внешней средой. Тогда будут фигурировать два уравнения баланса типа (6) для двух переменных уровней в шлюзах или значений температур в комнатах. В случае разных температур и двух отверстий на разных высотах, детально изученных в [2], в помещении устанавливается вертикальная стратификация воздуха по плотности, различные режимы
ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ШЛЮЗОВАНИЯ
415
течений и т.д. Здесь же проиллюстрированы интересные в методологическом отношении простейшие режимы.
3. ТЕРМОХАЛИННАЯ ЦИРКУЛЯЦИЯ ЧЕРЕЗ ПРОЛИВЫ
Внутренние моря, питаемые реками, часто сообщаются с океаном или гораздо более крупными морями узкими проливами. При этом плотность вод внутренних морей заметно отличается от плотности внешних бассейнов и через проливы возникает обмен водными массами. Такова ситуация для Средиземного моря и Атлантического океана, обменивающихся через Гибралтар, для Черного моря и Средиземного, между которыми Босфор, Мраморное море и Дарданеллы, для Азовского и Черного морей, сообщающихся через Керченский пролив, для Балтийского и Северного морей. Этот обмен и устанавливающиеся в результате него плотности водных масс в неплохом приближении могут быть установлены нашей теорией с соответствующей модификацией результатов [2]. Представляется, что наши аналитические результаты будут иметь хотя бы методическую и образовательную ценность.
Запишем уравнение баланса для избыточной плотности для бассейна с объемом V, источником массы (реки) q, сообщающегося через пролив площадью £ с гораздо большим объемом воды:
Установившееся решение, как и прежде, имеет
V 7 = q - а £ др( ^^
(11)
Тп =
V
0 / -74 1/2 с
а( gd) £
и тогда уравнение обретает вид, сходный с (9)
(12)
dp „ 3/2
"-Г = п - р , d т
где параметр подобия
п=
q
аро £ (gd)
1/2
(13)
(14)
вид
2/3 1/3
ДР = Роп2/3 = (аЬ) © .
(15)
где второй член справа описывает скорость обмена массой между морями, т.е. термохалинную циркуляцию, средняя скорость которой есть корень из произведения редуцированного ускорения свободного падения на характерную глубину пролива d. Предполагается, что внутреннее перемешивание вод разной плотности в море происходит гораздо быстрее обмена с внешним источником.
Введем безразмерные переменные: р =Др/р0, т = = //т0, где р0 - плотность воды, а масштаб времени
Это соотношение может быть использовано для оценок разности плотностей, если известны параметры справа, для оценки суммарного стока пресных вод, если известны Др и параметры пролива или если известны сток и разность плотностей, то можно оценить комбинацию аSd1/2. Последнее, вероятно, и может представлять практический интерес как интегральная характеристика обмена водными массами через проливы.
Рассмотрим, как наши соотношения работают в наиболее простых случаях Черного и Азовского морей. Для интерпретации результатов нам понадобится уравнение состояния морской воды [3], которое мы возьмем в упрощенном виде, учитывая лишь зависимость от солености р = р0[1 + 7.8 х 10-4(£ - £0)], где р = р0[1 + 7.8 х 10-4(£ - £0)], где р0 - 1 х 103 кг/м3, £0- 35%е В Черном море £0 - 18%е, согласно [5], в Средиземном - 36%е и более, для Мраморного моря примем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.